關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用初探

1、摘要1abstract11.前言12.預(yù)備知識22.1帶有peano型余項(xiàng)的泰勒公式22.2帶有l(wèi)agrange型余項(xiàng)的泰勒公式32.3函數(shù)的泰勒公式(或maclaurin公式)展開42.4常見的maclaurin公式53.泰勒（taylor）公式的應(yīng)用63.1定義某些非初等函數(shù)63.2利用泰勒公式求極限63.3利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)73.4泰勒公式在不等式（等式）證明中的應(yīng)用83.5利用泰勒公式近似計(jì)算和誤差估計(jì)93.6帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分計(jì)算中的應(yīng)用103.6.1定理及其證明103.6.2定理的應(yīng)用113.7泰勒公式在討論級數(shù)收斂性中的應(yīng)用123.8泰勒公式巧解行列式123.9利

2、用泰勒公式求某些微分方程的解144.總結(jié)15謝辭16參考文獻(xiàn)17關(guān)于泰勒（taylor）公式的應(yīng)用初探 韓 凱（咸陽師范學(xué)院數(shù)信學(xué)院 陜西 咸陽 712000） 摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容,集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。本文主要采用舉例分析的方法，闡述了泰勒公式在求極限、近似值和導(dǎo)數(shù)，證明定積分，計(jì)算定積分以及判定級數(shù)收斂和求解行列式方面的應(yīng)用及技巧。通過以上幾個(gè)方面的研究，使我們在特殊的情況形成特定的思想，使解題能夠起到事半功倍的效果。關(guān)鍵詞：泰勒公式；定積分；級數(shù)收斂；行列式。the initial exploration of appl

3、ication on taylor formulahan kai(department of mathematics of xian yang normal university xian yang shaanxi 712000)abstract: taylor formula is a very important content of mathematics analysis, it can focally embody the soul of “approximation” of calculus, and is extensively applied in most aspects o

4、f calculus. by using some examples about it, the present paper elucidates its applications and skills in some aspects, such as limitation, approximation differential coefficient, proof of inequality determinant of series convergence and determinant solving. through studying the skills above, this pa

5、per aims to form special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.key words: taylor formula, definite integral, series convergence, determinant.1.前言18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒（brook taylor）， 于1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生。泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，書內(nèi)陳述了他已于 17

6、12年7月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家 、天文學(xué)家）信中首先提出的著名定理泰勒定理。1772年 ，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了此公式之重要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但泰勒于證明當(dāng)中并沒有考慮級數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)，這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成。泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級數(shù)，同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者 。泰勒公式的問世，使得許多以前難以解決或是不能解決的問題都得到了希望并且很多都成了現(xiàn)實(shí)，所以我們有必要很好的掌握這一公式。 2.預(yù)備知識2.1帶有peano型余項(xiàng)的泰勒公式皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式，是各種形式泰勒公式中，所需要條件較少、形式簡單，在處理某些定性問

7、題時(shí)極為簡便的泰勒公式。定理 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，則有 (1) 證明：記 顯然在處階可導(dǎo)，從而在的鄰域內(nèi)階可導(dǎo)，且有 由于在點(diǎn)處連續(xù)，所以 為證（1）必須且只需證明。有前面分析知該極限為未定式，連續(xù)運(yùn)用次洛必達(dá)法則得=注意到，由導(dǎo)數(shù)定義得 因此 ，定理得證。注 該定理說明當(dāng)時(shí)用泰勒公式近似代替時(shí)，其誤差是比高階的無窮小。其中=o叫做皮亞諾型余項(xiàng)。與帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式相比，該定理對的假設(shè)條件較少，只需在點(diǎn)處階可導(dǎo)，不需階導(dǎo)數(shù)存在，也不需在的鄰域內(nèi)存在階（連續(xù)）導(dǎo)數(shù)，因此應(yīng)用范圍較廣。2.2帶有l(wèi)agrange型余項(xiàng)的泰勒公式定理 若函數(shù)在上存在連續(xù)階導(dǎo)數(shù)，則，泰勒公式（1）其中 稱

8、為拉格朗日余項(xiàng)。證明：，有顯然有=0，=0，= 。若令，則有 在區(qū)間上連續(xù)應(yīng)用柯西中值定理次，有= （記）從而得到 （1）得證。2.3函數(shù)的泰勒公式(或maclaurin公式)展開函數(shù)的taylor展開式：若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的taylor級數(shù)（taylor公式僅有有限項(xiàng)，是用多項(xiàng)式逼近函數(shù)。項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí)，得 ， 稱此級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的taylor級數(shù)。只要函數(shù)在點(diǎn)無限次可導(dǎo)，就可寫出其taylor級數(shù)。稱=時(shí)的taylor級數(shù)為maclaurin級數(shù)，即級數(shù)。）收斂且和恰為，則稱函數(shù)在點(diǎn)可展開成taylor級數(shù)（自然要附帶展開區(qū)間）。 稱此時(shí)的taylor級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的taylor展開式或

9、冪級數(shù)展開式。簡稱函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級數(shù)。當(dāng)=0 時(shí)，稱taylor展開式為maclaurin展開式?？烧箺l件：定理(必要條件) 若函數(shù)在點(diǎn)可展，則必有在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) 。定理(充要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)。則在區(qū)間內(nèi)等于其taylor級數(shù)(即可展)的充要條件是：對， 有。其中是taylor公式中的余項(xiàng)。定理(充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界，則函數(shù)可展。例：展開函數(shù)，(1) 按冪；(2) 按冪。解 ， ， ； ， ， ；， ， ；， ， ；。所以 ， (1) ?？梢?， 的多項(xiàng)式的maclaurin展開式就是其本身。 (2) 。2.4常見的maclaurin

10、公式1. ； 2.3. 4. 5. = 3.泰勒（taylor）公式的應(yīng)用3.1定義某些非初等函數(shù)若函數(shù)在(或某個(gè)區(qū)間)上連續(xù),則函數(shù)在上存在原函數(shù)，,而這個(gè)原函數(shù)不一定可用初等函數(shù)表示,如此仿佛陷入了困境。事實(shí)上,若可運(yùn)用泰勒公式展成冪級數(shù),則可表示為冪級數(shù)的和函數(shù)形式。例如:函數(shù)在上連續(xù),因而它在上存在原函數(shù),但它的原函數(shù)是非初等函數(shù),于是可采用下述方法:由泰勒公式知, ，由于它在任意閉區(qū)間上都一致收斂,于是,它的原函數(shù) 3.2利用泰勒公式求極限為了簡化極限運(yùn)算，有時(shí)可以用某項(xiàng)的泰勒展開式代替該項(xiàng)，使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能簡捷的求出。例：求極限分析：此為型極限

11、，若用羅比達(dá)法則很麻煩，這時(shí)可將和分別用其泰勒展開式代替，則可以簡化此比試。解：由得：于是=有泰勒公式計(jì)算的實(shí)質(zhì)是用等價(jià)無窮小來計(jì)算極限，我們知道，當(dāng)時(shí)，等，這種等價(jià)無窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展開至一次項(xiàng)，有些問題用泰勒公式和我們所熟悉的等價(jià)無窮小結(jié)合，問題又能進(jìn)一步簡化。例：就極限解：= （*）下面用泰勒公式法和等價(jià)無窮小法結(jié)合起來考慮。用泰勒公式將展開：=，于是將式（*）分子上的用上式代替，而分母中的用代替，則：=3.3利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)例：設(shè) ,求 .分析如果直接求高階導(dǎo)數(shù),比較麻煩,并且規(guī)律性不是很強(qiáng), 可以考慮利用函數(shù)在x = 0 處的麥克勞林展開式.解： 又 在處的麥克勞林

12、展開式為 比較和 中的系數(shù),得，這里,我們通過maclaurin 公式把求解一個(gè)復(fù)雜的反三解函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),而后者的求解是非常簡單的.3.4泰勒公式在不等式證明中的應(yīng)用例：設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，并存在一點(diǎn)，使，證明至少存在一點(diǎn)，使。證：因具有二階導(dǎo)數(shù)，將在點(diǎn)展開成為一階泰勒展開式：（1）其中在與之間。（1） 當(dāng)時(shí)，在（1）式中取，得： （2）其中在與之間。因?yàn)?，（由已知），且，（假設(shè)）所以由（2）式得：，這里，故存在一點(diǎn)，使（2） 當(dāng)時(shí)，在（1）中取，得： 其中在b與c之間,即因?yàn)?，（已知），（假設(shè)），由（3）式可得，因?yàn)?，而，所以，故存在一點(diǎn)，使。綜上所述，

13、無論為正還是為負(fù)，至少存在一點(diǎn)，使，證畢。3.5利用泰勒公式近似計(jì)算和誤差估計(jì)根據(jù)泰勒展開式的余項(xiàng)可以具體地估計(jì)出用泰勒公式近似地表示一個(gè)函數(shù)時(shí)所產(chǎn)生的誤差。由拉格朗日型余項(xiàng)，如果 , 為一定數(shù)，則其余項(xiàng)不會超過。由此可以近似地計(jì)算某些數(shù)值并估計(jì)它們的誤差。例：求ln1.2的近似值，使誤差不超過0.0001。解： 設(shè)，將其在= 0處展成帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式其中 ( 在0 和 之間)，令 ，則。要使則取 即可。此時(shí) 0.2 0.02 + 0.00267 0.00040 + 0.00006 = 0.1823 其誤差。3.6帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分計(jì)算中的應(yīng)用3.6.1定理及其證明泰勒定

14、理：若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，則，有其中 稱為積分型余項(xiàng).為了證明上述定理，我們先證明下面的引理.引理：若函數(shù)，在閉區(qū)間上存在連續(xù)的 階導(dǎo)數(shù)，則有 證明：.若，則有，結(jié)論成立。.設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即有。.則當(dāng)時(shí)，有 由，可知，對所有的自然數(shù)，式成立。下面我們用引理來證明泰勒定理。證明：設(shè)，則由引理有從而有：泰勒公式亦可以改寫為3.6.2定理的應(yīng)用 例1：計(jì)算 解：設(shè)，則，由公式有例2 計(jì)算解：例3 計(jì)算， 解：設(shè)，則 3.7泰勒公式在討論級數(shù)收斂性中的應(yīng)用定理1 若,且 ,則與 同斂散性。定理2 若條件收斂,而絕對收斂,則條件收斂。利用上述兩個(gè)定理和泰勒公式可以很方便地討論一些復(fù)雜級數(shù)的

15、斂散性。例 :判別 ， 的斂散性。此題難度很大,用其他方法幾乎無法討論其斂散性,若用泰勒公式作工具則能輕而易舉地得出結(jié)論。解:由泰勒公式得的一階展開式,在0與之間,從而，在0 與之間,于是因?yàn)楫?dāng)時(shí)條件收斂,當(dāng)時(shí)絕對收斂,又由知, 當(dāng) 時(shí)，收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散。所以，當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)條件收斂,當(dāng) 時(shí)絕對收斂。3.8泰勒公式巧解行列式利用泰勒公式計(jì)算行列式的主要思路:根據(jù)所求行列式的特點(diǎn), 構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù), 再把這個(gè)行列式函數(shù)按泰勒公式在某點(diǎn)展開, 只要求出行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)值即可。 下面通過一個(gè)例子來具體說明求解過程。例: 求n 階行列式的值: (注: 本例可利用代數(shù)知識中的遞推法、數(shù)學(xué)歸納法求

16、解; 這里介紹利用泰勒公式計(jì)算, 起到一定的簡化作用。)解: 把行列式看作 的函數(shù),記, 則=.將在 按泰勒公式展開: 這里，下面求行列式函數(shù)dn (x) 的各階導(dǎo)數(shù): 類似地: 遞推關(guān)系還可推出: (因)則代入 在 的泰勒展開式若 則若 則令 得當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)結(jié)論: 只要行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)較易計(jì)算, 則應(yīng)用泰勒公式計(jì)算行列式就便利。3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函數(shù)或非初等函數(shù)，如微分方程 (1)的求解問題便是如此，因而解這類方程我們可以設(shè)想其解可以表示成泰勒級數(shù)的形式，進(jìn)一步，我們可以大膽設(shè)想可以表示成為更為一般的冪級數(shù)形式，從而得出了解這類方程的一個(gè)重要方法。事

17、實(shí)上，若在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)，可以展開關(guān)于的泰勒級數(shù)（或冪級數(shù)），則方程（1）的解在的鄰域d內(nèi)也能展開成關(guān)于的泰勒級數(shù)（或冪級數(shù)），即。例：解微分方程解：顯然，可在的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，故原方程有形如 (2)的冪級數(shù)解。將（2）及其導(dǎo)數(shù)帶入原方程得：即：，令的同次冪系數(shù)為零，得，從而。既有所以其通解為，即。4.總結(jié)本文是在閱讀大量有關(guān)泰勒公式的資料后作出的初步整理，這篇文章主要通過用比較大的篇幅和例子較系統(tǒng)的介紹了泰勒公式的由來、發(fā)展經(jīng)過的有關(guān)知識。泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。 本文主要采用舉例分析的方法，闡述了泰勒公式在求極限, 近似值和導(dǎo)數(shù)，證明

18、定積分，計(jì)算定積分以及判定級數(shù)收斂和求解行列式等方面的應(yīng)用及技巧。通過以上幾個(gè)方面的研究，使我們在特殊的情況形成特定的思想，使解題能夠起到事半功倍的效果。只有了解了這些知識，在此基礎(chǔ)上不斷加強(qiáng)訓(xùn)練、不斷進(jìn)行總結(jié)，才能牢固掌握，才能善于熟練運(yùn)用。這樣的學(xué)習(xí)可使學(xué)習(xí)者養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，靈活的從不同角度尋找解題途徑，形成獨(dú)特的解題技巧，在數(shù)學(xué)研究中取得可喜成績。謝 辭通過幾個(gè)月的準(zhǔn)備, 從收集、整理到寫作，通過閱讀大量天線方面的書籍和資料,通過指導(dǎo)老師張老師一次次耐心的引導(dǎo)與指點(diǎn)，今天終于可以順利的完成論文的最后的謝辭了?；叵氪髮W(xué)期間的點(diǎn)點(diǎn)滴滴真是讓人難以忘懷，感慨萬分。大學(xué)四年的不懈努力讓我數(shù)學(xué)有了更深一步的認(rèn)識與了解。感謝大學(xué)期間所有傳授我知識的老師，是她們的細(xì)心教導(dǎo)使我有了良好的專業(yè)課知識，這是我完成論文的基礎(chǔ)。在此，特別向張力娜老師表示崇高的敬意和衷心的感謝！謝謝她在我撰寫論文的過程中給予我極大地幫助。張老師嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；她那循循善誘的教導(dǎo)和不拘