哈工大 大學(xué)物理2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(習(xí)題課)

1、1 1 . 掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度、角加掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度、角加 速度等物理量及角量和線量的關(guān)系速度等物理量及角量和線量的關(guān)系.能借助于直角坐能借助于直角坐 標(biāo)系熟練應(yīng)用勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。標(biāo)系熟練應(yīng)用勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。 2 . 理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義。理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義。掌握剛體定軸掌握剛體定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)定律并能結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律并能結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 與質(zhì)點(diǎn)組合系統(tǒng)的有關(guān)問(wèn)題。與質(zhì)點(diǎn)組合系統(tǒng)的有關(guān)問(wèn)題。 3 . 會(huì)計(jì)算力矩的功，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和剛體的重會(huì)計(jì)算力矩的功，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和剛體的重 力勢(shì)

2、能。能在含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及重力場(chǎng)的剛體問(wèn)題中力勢(shì)能。能在含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及重力場(chǎng)的剛體問(wèn)題中 正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。 4 . 熟練計(jì)算剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量，掌握角動(dòng)量定熟練計(jì)算剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量，掌握角動(dòng)量定 理，并能對(duì)含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在內(nèi)的系統(tǒng)正確理，并能對(duì)含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在內(nèi)的系統(tǒng)正確應(yīng)用應(yīng)用 角動(dòng)量守恒定律。角動(dòng)量守恒定律。 2 1. 理解和掌握有關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的基本概念理解和掌握有關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的基本概念 力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、角動(dòng)量力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、角動(dòng)量 等。等。 2. 理解和掌握有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本理解和掌握有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本 規(guī)律，特別是轉(zhuǎn)動(dòng)定

3、律和角動(dòng)量守恒定律規(guī)律，特別是轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量守恒定律 及其應(yīng)用。及其應(yīng)用。 角動(dòng)量定理，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，角動(dòng)量守恒定角動(dòng)量定理，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，角動(dòng)量守恒定 律在綜合性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。律在綜合性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。 3 1 . 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 角位置角位置 td d 角運(yùn)動(dòng)方程角運(yùn)動(dòng)方程 = (t) 角位移角位移 角速度角速度 2 ttd d d d 2 角加速度角加速度 rs 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 rv t ar ran 2 4 2 .力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (1)力矩力矩 2 0 2 1 tt FrM (2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

4、 2 iir mJ 當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布 mrJd 2 組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 i JJJJJ. 321 2 = 0 2 +2 勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 = 0 + t 5 3 .剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM 4. 力矩的功力矩的功 2 1 d Z MA t J d d 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 i iiK vmE) 2 1 ( 2 2 2 1 J 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 KZ EJJMA 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律:只有重力做功時(shí)只有重力做功時(shí) 常量常量 C mghJ 2 2 1 6 5.

5、 角動(dòng)量和沖量矩角動(dòng)量和沖量矩 JLZ 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量 tM Z 2 1 t t dtM Z t L M Z Z d d 恒力矩的沖量恒力矩的沖量 變力矩的沖量變力矩的沖量 6. 角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律:當(dāng)合外力矩為零或遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩時(shí)當(dāng)合外力矩為零或遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩時(shí) 1122 2 1 dJJtM t t Z 常量常量 Z J 12 )()( JJ 7 7 .質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量對(duì)比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量對(duì)比 2 1 d Z MA 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸

6、轉(zhuǎn)動(dòng) td d 位移位移 x 速度速度 2 2 d d d d t x t v a 加速度加速度 xFAd功功 角位移角位移 角速度角速度 t x v d d 2 ttd d d d 2 角加速度角加速度 質(zhì)量質(zhì)量 m 2 iir mJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 功功 動(dòng)能動(dòng)能 2 2 1 mvEK 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 2 1 JEK mv動(dòng)量動(dòng)量 J角動(dòng)量角動(dòng)量 FvP 功率功率 PM 角功率角功率 8 一人造地球衛(wèi)星到地球中心的最大距離和最小距離分別是一人造地球衛(wèi)星到地球中心的最大距離和最小距離分別是 BA RR 和 設(shè)衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量分別是，動(dòng)能分別是，則有設(shè)衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量分別是，動(dòng)能分別是

7、，則有 BA LL 、 KBKA EE 、 BA B R A R （） （） （） （） （） KAKBAB EELL, KAKBAB EELL, KAKBAB EELL, KAKBAB EELL, KAKBAB EELL, （5） 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 、質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為、質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和和 m的小球，桿可繞通過(guò)其中心的小球，桿可繞通過(guò)其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在且與桿垂直的水平光滑固定軸在 鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始桿與水平方向成某一角度鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始桿與水平方向成某一角度，處于靜止?fàn)睿幱陟o止?fàn)?態(tài)，釋放后，桿繞態(tài)，釋放后，桿繞O軸轉(zhuǎn)

8、動(dòng)。則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，該系統(tǒng)所軸轉(zhuǎn)動(dòng)。則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，該系統(tǒng)所 受到的合外力矩的大小受到的合外力矩的大小M=_,此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大 小小 _。 l 2/mgl )3/(2lg 9 在一水平放置的質(zhì)量為在一水平放置的質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為 的均勻細(xì)桿上，套著一質(zhì)量也的均勻細(xì)桿上，套著一質(zhì)量也 為為m的套管的套管B(可看作質(zhì)點(diǎn)可看作質(zhì)點(diǎn))，套管用細(xì)線拉住，它到，套管用細(xì)線拉住，它到豎直軸豎直軸 軸軸 的距離為的距離為 ，桿和套管所組成的系統(tǒng)以角速度，桿和套管所組成的系統(tǒng)以角速度 繞繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 如圖所示。若在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線被拉斷，套管將沿著桿滑動(dòng)。在如

9、圖所示。若在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線被拉斷，套管將沿著桿滑動(dòng)。在 套管滑動(dòng)過(guò)程中，該系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度套管滑動(dòng)過(guò)程中，該系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 與套管離軸的距離與套管離軸的距離x的函的函 數(shù)關(guān)系為數(shù)關(guān)系為( )。（已知桿本身對(duì)。（已知桿本身對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ） l o o 2/ l 0 o o o o 3/ 2 ml l m m 2/ l 0 o o )3(4 7 22 0 2 xl l 10 如圖，長(zhǎng)為如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng) L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)桿的端點(diǎn)的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)桿的端點(diǎn)O O并與桿垂并與桿垂 直的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿的另一端連接一個(gè)質(zhì)量為直的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿的另一端連接一

10、個(gè)質(zhì)量為m m的小球。桿從的小球。桿從 水平位置由靜止開始自由下擺，忽略軸處的摩擦，當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與豎水平位置由靜止開始自由下擺，忽略軸處的摩擦，當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與豎 直方向成直方向成角時(shí)，小球與桿的角速度為角時(shí)，小球與桿的角速度為 ? O L g cos 2 3 注意角速度定義注意角速度定義 11 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為2L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度，以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度v0 在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全發(fā)生完全 非彈性碰撞，碰撞點(diǎn)位于棒中心的一方非彈性碰撞，碰撞點(diǎn)位于棒中心的一方1/2L處，如圖所示。求處，

11、如圖所示。求 棒在碰撞后的瞬時(shí)繞棒在碰撞后的瞬時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。（細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)。（細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn) 且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，式中的，式中的 分別分別 為棒的質(zhì)量和長(zhǎng)度）為棒的質(zhì)量和長(zhǎng)度） 2 3/1ml lm和 O 0 v 0 v A B L 2 1 L 2 1 L 碰撞前瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為 LmvLvxdxvxdxv LL 0 2 0 2/3 0 2/ 0 00 2 1 碰撞后瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為 2 12 7 mLJ 碰撞前后角動(dòng)量守恒，有碰撞前后角動(dòng)量守恒，有 LmvmL 0 2 2 1 12/7)7/(6 0

12、Lv （平行軸定理）（平行軸定理） 12 力矩的計(jì)算力矩的計(jì)算 一般情況下，剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩可以用公式一般情況下，剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩可以用公式 M=FrsinM=Frsin計(jì)算，有時(shí)剛體上各點(diǎn)所受的力大小不等、計(jì)算，有時(shí)剛體上各點(diǎn)所受的力大小不等、 或者方向不同、或者力臂不同，則需要用積分方法計(jì)或者方向不同、或者力臂不同，則需要用積分方法計(jì) 算。算。 例、唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞著通過(guò)盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，例、唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞著通過(guò)盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 唱片放上去后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨盤轉(zhuǎn)動(dòng)。唱片放上去后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨盤轉(zhuǎn)動(dòng)。 設(shè)唱片可以看成半徑為設(shè)唱片可以看成半徑為R R的均勻圓盤，質(zhì)量為

13、的均勻圓盤，質(zhì)量為m m， 唱片與轉(zhuǎn)盤之間的摩擦系數(shù)為唱片與轉(zhuǎn)盤之間的摩擦系數(shù)為，轉(zhuǎn)盤原來(lái)以角，轉(zhuǎn)盤原來(lái)以角 速度速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去時(shí)受到的摩擦力矩勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去時(shí)受到的摩擦力矩 為多大？唱片達(dá)到角速度為多大？唱片達(dá)到角速度需要多長(zhǎng)時(shí)間？在這需要多長(zhǎng)時(shí)間？在這 段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤保持角速度不變，則驅(qū)動(dòng)力做功段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤保持角速度不變，則驅(qū)動(dòng)力做功 多少？摩擦力矩做了多少功？唱片獲得了多大動(dòng)多少？摩擦力矩做了多少功？唱片獲得了多大動(dòng) 能？能？ 13 分析：唱片上的摩擦力不是作用在一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)唱片和轉(zhuǎn)盤的接觸分析：唱片上的摩擦力不是作用在一點(diǎn)，而是分布在整個(gè)唱片和轉(zhuǎn)盤的接觸 面上

14、。各部分的摩擦力方向都是不同的，垂直與它的徑向。因?yàn)槌鞑糠置嫔?。各部分的摩擦力方向都是不同的，垂直與它的徑向。因?yàn)槌鞑糠?所受摩擦力的力臂不同，所以摩擦力矩用積分方法。積分時(shí)，面元的選取很所受摩擦力的力臂不同，所以摩擦力矩用積分方法。積分時(shí)，面元的選取很 關(guān)鍵。關(guān)鍵。 dSrd dr 解法解法1 1：在唱片上取面元如圖。：在唱片上取面元如圖。 面元的面積為：面元的面積為： 質(zhì)量為：質(zhì)量為： 22 mmrd dr dmdS RR d df r 14 面元質(zhì)量為面元質(zhì)量為： 22 mmrd dr dmdS RR 此面元受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力為此面元受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力為： 2 mrd dr dfdN

15、gdmg R 摩擦力矩：摩擦力矩： 2 2 mgr d dr dMrdf R 所以，整個(gè)唱片所受的摩擦力矩為：所以，整個(gè)唱片所受的摩擦力矩為： 2 2 2 00 2 3 R mg MdMdr drmgR R 15 解法二、把唱片分成許多同心圓環(huán)，任取半徑解法二、把唱片分成許多同心圓環(huán)，任取半徑r-r+drr-r+dr的圓環(huán)作為的圓環(huán)作為 面元，其上各點(diǎn)所受的摩擦力沿著圓環(huán)的切線方向。如圖。對(duì)轉(zhuǎn)面元，其上各點(diǎn)所受的摩擦力沿著圓環(huán)的切線方向。如圖。對(duì)轉(zhuǎn) 軸的力臂都相同。因此圓環(huán)所受的摩擦力矩為：軸的力臂都相同。因此圓環(huán)所受的摩擦力矩為： dMrgdm 其中其中 22 2 mm dmdSrdr RR

16、 代入得到：代入得到： 2 2 2 mg dMr dr R 所以整個(gè)唱片受到的摩擦力矩為：所以整個(gè)唱片受到的摩擦力矩為： 2 2 0 22 3 R mg MdMr drmgR R drr df df df 16 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，唱片在此摩擦力矩作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，其根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，唱片在此摩擦力矩作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，其 轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為：轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為： M J 其中，唱片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：其中，唱片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 2 1 2 Jm R 代入可以得到：代入可以得到： 2 2 4 3 1 3 2 mgR g R mR 所以，唱片的角速度從零增加到所以，唱片的角速度從零增加到所需要的時(shí)間為：所需

17、要的時(shí)間為： 3 4 4 3 R t g g R 17 在這段時(shí)間內(nèi)，摩擦力矩做功：在這段時(shí)間內(nèi)，摩擦力矩做功： 2 22 1 . 24 AM dMMmR 唱片獲得的動(dòng)能：唱片獲得的動(dòng)能： 22222 11 11 22 24 k EJmRmR 所以唱機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩做功為：所以唱機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩做功為： 22 1 2 k AAEm R 18 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 這類問(wèn)題多見于含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體和可視為質(zhì)點(diǎn)的這類問(wèn)題多見于含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體和可視為質(zhì)點(diǎn)的 物體組成的系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題。處理這類問(wèn)題的方法和物體組成的系統(tǒng)的力學(xué)問(wèn)題。處理這類問(wèn)題的方法和 處理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題相同，即先選取研究對(duì)象，分析各處理

18、質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題相同，即先選取研究對(duì)象，分析各 隔離體所受的力或者力矩，畫出示力圖，判斷各隔離隔離體所受的力或者力矩，畫出示力圖，判斷各隔離 體的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律或者轉(zhuǎn)動(dòng)定律分別體的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律或者轉(zhuǎn)動(dòng)定律分別 列出運(yùn)動(dòng)方程，還要加上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的聯(lián)系，比如列出運(yùn)動(dòng)方程，還要加上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的聯(lián)系，比如 線量與角量之間的關(guān)系。線量與角量之間的關(guān)系。 例、電風(fēng)扇的功率恒定為例、電風(fēng)扇的功率恒定為P P，風(fēng)葉轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，風(fēng)葉轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J J， 設(shè)風(fēng)葉受到空氣的阻力矩與風(fēng)葉的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度設(shè)風(fēng)葉受到空氣的阻力矩與風(fēng)葉的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比成正比 （比例系數(shù)為（比例系數(shù)為k

19、 k）。求：（）。求：（1 1）電扇通電后）電扇通電后t t秒時(shí)的角速秒時(shí)的角速 度；（度；（2 2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速；（）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速；（3 3）若在電扇穩(wěn)定）若在電扇穩(wěn)定 轉(zhuǎn)動(dòng)后斷開電源，則風(fēng)扇還能繼續(xù)轉(zhuǎn)過(guò)多少角度？轉(zhuǎn)動(dòng)后斷開電源，則風(fēng)扇還能繼續(xù)轉(zhuǎn)過(guò)多少角度？ 19 分析：電扇的恒定功率為分析：電扇的恒定功率為P P，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為時(shí)，則其電動(dòng)力矩為時(shí)，則其電動(dòng)力矩為 M=P/M=P/，電扇在此力矩與阻力矩作用下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)斷開電源后，電扇在此力矩與阻力矩作用下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)斷開電源后， 只受到阻力矩的作用，電扇將做減速轉(zhuǎn)動(dòng)，最后停止，由運(yùn)只受到阻力矩的作用，電扇將做減速轉(zhuǎn)動(dòng)，最后停止，

20、由運(yùn) 動(dòng)學(xué)關(guān)系可以算出電扇轉(zhuǎn)過(guò)的角度。動(dòng)學(xué)關(guān)系可以算出電扇轉(zhuǎn)過(guò)的角度。 f Mk 解：解：（1 1）由于阻力矩）由于阻力矩M Mf f正比與正比與，則有：，則有： K K為比例系數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：為比例系數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有： f MMJ 即：即： Pd kJ dt 20 分離變量后積分：分離變量后積分： 2 00 t J ddt Pk 積分得到：積分得到： 2/ (1) kt J Pe k （2 2）當(dāng)）當(dāng)t t趨于無(wú)窮時(shí)，電扇達(dá)到穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速：趨于無(wú)窮時(shí)，電扇達(dá)到穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速： m P k （3 3）電源斷開，只有受到阻力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到：）電源斷開，只有受到阻力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定

21、律得到： 21 分離變量后積分：分離變量后積分： d kJ dt 0 1 m t k ddt J 由此得到：由此得到： kk tt JJ m P ee k 則電扇轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：則電扇轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 00 k t J PJP dtedt kkk 22 剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用 這兩條規(guī)律的地位與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的動(dòng)量定理和動(dòng)量守這兩條規(guī)律的地位與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的動(dòng)量定理和動(dòng)量守 恒定律相當(dāng)。恒定律相當(dāng)。 應(yīng)用角動(dòng)量定理時(shí)，必須隔離剛體，分析受力情況，應(yīng)用角動(dòng)量定理時(shí)，必須隔離剛體，分析受力情況， 確定各隔離體在過(guò)程中所受的外力矩以及作用前后的確定各隔離體

22、在過(guò)程中所受的外力矩以及作用前后的 角動(dòng)量，列出關(guān)系式。角動(dòng)量，列出關(guān)系式。 應(yīng)用角動(dòng)量守恒，必須分析是否符合守恒的條件（系應(yīng)用角動(dòng)量守恒，必須分析是否符合守恒的條件（系 統(tǒng)所受的合外力矩為零）。還必須注意，系統(tǒng)的角動(dòng)統(tǒng)所受的合外力矩為零）。還必須注意，系統(tǒng)的角動(dòng) 量是對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)軸而言的，且角速度量是對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)軸而言的，且角速度必須對(duì)慣性系必須對(duì)慣性系 而言的。而言的。 23 例、質(zhì)量為例、質(zhì)量為M M，半徑為，半徑為R R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可以繞通過(guò)中心的豎直的轉(zhuǎn)臺(tái)，可以繞通過(guò)中心的豎直 軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m m的人，站在離中心的人，站在離中心r r處處 （rRrR），開始時(shí)

23、，人和臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如果這個(gè)人），開始時(shí)，人和臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如果這個(gè)人 沿著半徑為沿著半徑為r r的圓周勻速走一圈，設(shè)他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)的圓周勻速走一圈，設(shè)他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn) 動(dòng)速度為動(dòng)速度為u u，如圖。求轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角速度和相對(duì)地面轉(zhuǎn)，如圖。求轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角速度和相對(duì)地面轉(zhuǎn) 過(guò)的角度。過(guò)的角度。 Rr u 分析：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為系統(tǒng)，該系統(tǒng)分析：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為系統(tǒng)，該系統(tǒng) 沒(méi)有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)沒(méi)有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng) 的角動(dòng)量守恒。應(yīng)用角動(dòng)量守恒定的角動(dòng)量守恒。應(yīng)用角動(dòng)量守恒定 律時(shí)，其中的角速度和速度都是相律時(shí)，其中的角速度和速度都是相 對(duì)慣性系（地面）而言的。因此人對(duì)慣性系（地面

24、）而言的。因此人 在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)時(shí)，必須考慮人相對(duì)在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)時(shí)，必須考慮人相對(duì) 于地面的速度。于地面的速度。 24 解：對(duì)于人和轉(zhuǎn)臺(tái)的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有受到對(duì)豎直軸的外力解：對(duì)于人和轉(zhuǎn)臺(tái)的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有受到對(duì)豎直軸的外力 矩，系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。設(shè)人相對(duì)于地面的速度為矩，系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。設(shè)人相對(duì)于地面的速度為 v v，轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)，轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì) 于地面的轉(zhuǎn)速為于地面的轉(zhuǎn)速為，于是有：，于是有： 0mvrJ 而：而：vur 2 1 2 JMR 代入得：代入得： 22 1 2 mru mrMR 25 式中負(fù)號(hào)代表轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和人在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)的方向相反。根式中負(fù)號(hào)代表轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)

25、動(dòng)的方向和人在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)的方向相反。根 據(jù)題意，據(jù)題意，u u是常量，所以是常量，所以也是常量，即轉(zhuǎn)臺(tái)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。也是常量，即轉(zhuǎn)臺(tái)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。 22 1 2 mru tt mrMR 設(shè)在時(shí)間設(shè)在時(shí)間t t內(nèi)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度為內(nèi)轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，則，則： 而而u/ru/r. . t t是人相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，由題設(shè)：是人相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，由題設(shè)： 2 u t r 因此，在此過(guò)程中轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：因此，在此過(guò)程中轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 2 22 2 1 2 mr mrMR 26 角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)

26、用 角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律適用的條件不同， 在應(yīng)用時(shí)必須根據(jù)條件而有所選擇。 例、長(zhǎng)為例、長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為m m1 1的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)O O點(diǎn)垂點(diǎn)垂 直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令桿自水平位置靜止擺下，直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令桿自水平位置靜止擺下， 在鉛直位置處與質(zhì)量為在鉛直位置處與質(zhì)量為m m2 2的物體發(fā)生完全非彈性的物體發(fā)生完全非彈性 碰撞，如圖，碰后物體沿摩擦系數(shù)為碰撞，如圖，碰后物體沿摩擦系數(shù)為的水平面的水平面 滑動(dòng)，求此物體滑過(guò)的距離以及桿上升的角度?；瑒?dòng)，求此物體滑過(guò)的距離以及桿上升的角度。 l 27 分析：可以分成三個(gè)過(guò)程。分析：可以分成三個(gè)過(guò)程。（1 1）桿從

27、水平位置擺到豎直位置，）桿從水平位置擺到豎直位置， 只有重力做功，所以機(jī)械能守恒；（只有重力做功，所以機(jī)械能守恒；（2 2）桿與物體發(fā)生碰撞。）桿與物體發(fā)生碰撞。 把桿和物體作為一個(gè)系統(tǒng)，沒(méi)有受到外力矩的作用，所以系把桿和物體作為一個(gè)系統(tǒng)，沒(méi)有受到外力矩的作用，所以系 統(tǒng)角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。（桿受到軸力的外力作統(tǒng)角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。（桿受到軸力的外力作 用）；（用）；（3 3）物體和桿分別運(yùn)動(dòng)。物體滑動(dòng)，摩擦力做功，可）物體和桿分別運(yùn)動(dòng)。物體滑動(dòng)，摩擦力做功，可 以由功能原理求距離，桿上升過(guò)程，機(jī)械能守恒。以由功能原理求距離，桿上升過(guò)程，機(jī)械能守恒。 2 11 2 1 11 22 1 3 Jm glm gl Jml m1 m2 解：桿自水平位置擺到鉛直位置時(shí)，設(shè)桿在鉛解：桿自水平位置擺到鉛直位置時(shí)，設(shè)桿在鉛 直位置時(shí)角速度為直位置時(shí)角速度為，并以地面為勢(shì)能的零點(diǎn)，并以地面為勢(shì)能的零點(diǎn)， 由機(jī)械能守恒定律可以得到：由機(jī)械能守恒定律可以得到： 由此二式可以得到：由此二式可以得到： 3 g l 28 桿與物體發(fā)生完全非彈性碰撞時(shí)，他們將擁有共同的速度桿與物體發(fā)生完全非彈性碰撞時(shí)，他們將擁有共同的速度v v，由，由 于系統(tǒng)沒(méi)有受到外力矩的作用，所以角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后的角于系統(tǒng)沒(méi)有受到外力矩的作用，所以角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后的角 速度為速度為，有：，有：