畢業(yè)設計（論文）逆向思維——反證法在中學數(shù)學中的應用

1、本科生畢業(yè)論文設計逆向思維反證法在中學數(shù)學中的應用作者姓名：杜丹丹指導教師：周麗娜所在學院：數(shù)學與信息科學學院專業(yè)（系）：數(shù)學與應用數(shù)學班級（屆）：2015屆數(shù)學c班二一五年五月一日目錄中文摘要、關鍵字 11 引言 22 反證法的基礎知識 32.1 反證法的定義及步驟 32.2 反證法的邏輯依據及分類 32.2.1 反證法的邏輯依據42.2.2 反證法的分類42.3 如何運用反證法 52.3.1 怎樣正確的進行“反設” 52.3.2 如何正確的導出矛盾63 反證法的適用范圍63.1 何時宜用反證法 63.1.1 結論是以否定的形式存在的63.1.2 “反設”簡單的命題 83.1.3 數(shù)學中起始

2、命題的證明 93.1.4 要證明題的逆命題成立 103.1.5 結論涉及“無限”的命題113.1.6 結論中有“至少”或者“至多”命題123.1.7 “唯一性”命題133.2 反證法的注意事項144 結論15參考文獻17英文摘要、關鍵字18逆向思維反證法在中學數(shù)學中的應用數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 指導教師 周麗娜 作者 杜丹丹摘要：反證法是我們比較熟悉的一種證明方法，然而很多學生對這種方法的熟悉僅僅停留在他的表面，而沒有真正的掌握這種方法。本文主要從反證法的基礎知識和反證法的運用兩方面來進行闡述。反證法的基礎知識方面主要寫了反證法概念和解題步驟，邏輯基礎和分類。反證法的運用方面主

3、要寫了反證法的適用范圍和注意事項。關鍵詞：數(shù)學 逆向思維 反證法 解題1 引言通過對數(shù)學的學習，我們知道要證明一個數(shù)學的題目，有兩種方法，一種是直接證明，另一種是間接證明。兩種證明方法都非常的重要，相輔相成。對于前者我們比較熟悉，接觸的比較多，也是我們習慣于運用的方法，而間接證明方法運用則比較少，其中反證法就是我們在中學中就接觸過的一種間接證明方法，它是數(shù)學解題中的一種不可缺少的證明辦法，所以在中學數(shù)學的教育學習中，它占據不可忽視的位置。然而對于中學生而言，對于反證法的理解存在著一定的誤區(qū)，從教學實際過程中，我發(fā)現(xiàn)學生習慣于運用常規(guī)的方法去解決問題，解決問題的時候從正面入手，只運用正向的思維，

4、然而，數(shù)學中有著形形色色的問題，有些問題從正面入手比較好解決，有的問題從反面入手比較好解決，如果一味的只運用正向思維，而不注重逆向思維，我們在解題的過程中就會遇到許許多多的麻煩，反證法是依照逆向思維來解決問題。所以掌握好反證法對我們解決問題有很大幫助。我們所學習的反證法是畢達哥拉斯學派的影響下發(fā)展的一種證明方法。在西方的數(shù)學認為所有的事物都可以用數(shù)來表示，比如一些常見的桌椅板凳都可以用整數(shù)來表示他的數(shù)目，甚至認為自己可以用整數(shù)與幾何能夠描述這個宇宙。但是隨著數(shù)學這門學科的不斷發(fā)展，數(shù)學史上出現(xiàn)了第一次數(shù)學危機“”。這打破了西方人固有的數(shù)學理念-萬物皆是數(shù)。這一次的數(shù)學危機使人們觀察事物，還要注

5、重邏輯思維。西方的數(shù)學主要是在證明方面是比較成功。他們在數(shù)學上追求數(shù)學的精準。雖然他們也研究計算的，但是計算是低級的，計算的作用只是為而服務的。他們重視數(shù)學中的證明和推理。西方思想家柏拉圖推出證明數(shù)學要從他的反面來進行假設。然后通過一系列的邏輯推理，等價的變換等多種方法，最后達到你的目的，證明你的結論。亞里士多德也提出要好好利用這種邏輯思想，他并不贊成畢達哥拉斯的數(shù)學理念。亞里士多德認為數(shù)學證明就是通過邏輯思維可以使證明原理能被大家看到的過程。于是幾何原本就這樣誕生了。英國近代數(shù)學家哈代曾說：“反證法是數(shù)學家最有力的一件武器，比起象棋開局時犧牲一子以取得優(yōu)勢的讓棋法，它還要高明，象棋對弈者不外

6、犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學家索性把全局拱手讓予對方！”這就充分的對反證法的地位和作用做出了充分的肯定，同時說明了反證法的核心思想，先提出與命題結論的反面是正確的，然后推導出矛盾，如此就證明了我們做出的假設不能成立，從而肯定了原來的結論是正確的。法國數(shù)學家阿達瑪曾經這樣評價反證法：“這種方法在于表明：若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾?！边@段話的意思是說，如果假設命題的結論不正確，并運用其進行推導，如果推導產生矛盾，從而知道與結論相反的方面是錯誤的，從而可知結論本身是正確的。2 反證法的基礎知識2.1 反證法的定義及步驟反證法是指從反面的角度對問題進行思考的一種證明方法，他首先要在原命題的

7、條件下，假設原命題的發(fā)面成立，即做出“反設”，然后進行推導，直至推導出顯而易見的矛盾結果，從而證明原命題成立。這種證明方法叫做反證法。從上面反證法的定義我們已經知道，利用這種方法進行證明，我們并不是上來就要證明這個命題，而是通過判斷與原命題對立的命題，即“反設”是錯誤的來證明原命題是正確的。因此，它的步驟是：（1）進行“反設”-審清題目，分清題目中的前提和結論。假設我們要證命題的結論對立面是成立的,并且把它當作新增的一個條件,加入到已知的條件中去。（2）推導矛盾-通過合乎邏輯的推理,最終推導出來矛盾。（3）做出判斷-判斷出我們做出的“反設”不能成立,從而確定要證的命題的結論成立。2.2 反證法

8、的邏輯依據及分類逆向思維是反證法的主導，反證法的目的是推導出矛盾。從而證明“反設”是不成立的，達到證明原命題是正確的。證明的步驟簡單的歸納為成：否定（結論）-矛盾-否定（“反設”）。可以這樣來說反證法的基本思想，就是的“否定再否定”。反證法被譽為數(shù)學家最精良的武器之一，它在證明方法中具有不可磨滅的位置。2.2.1 反證法的邏輯基礎我們在應用反證法進行證明時，從“反設”開始進行推導，如果能夠推導出，則證明使“反設”成立的必要條件是不可能存在的，原命題的成立就獲得了證明。反證法是隨著人們的活動產生，它所應用的思維邏輯的規(guī)律主要是“”和“”。在相同的一個思維環(huán)境里，兩個相反的判斷不可能同時都是正確的

9、，所以兩個命題中最多有一個是真的，這就是我們所說的“”。例如判斷“是偶數(shù)”和“是奇數(shù)”，這兩個判斷不能同時成立，必定有一個是假的。而“排中律”是指在相同一個思維環(huán)境里，在兩個相反的判斷里，不可能同時為錯誤的，其中最多有一個是假的判斷。例如“是有理數(shù)數(shù)”和“不是有理數(shù)數(shù)”中必定有一個為真的判斷。在運用反證法的解決問題過程中。我們做出的“反設”與要證明的題目是兩個相反的判斷，依據“”我們知道這兩個相反的判斷不可能同時為真的，必有一假，因為我們知道與我們做出的“反設”相矛盾的已知條件、公理、定理等都是正確的，所以“反設”是假的，我們又根據“排中律”可以知道兩個相反的判斷中，不能同時是假的，我們已經確

10、定“反設”為錯誤的，因為他們之中一定有一個判斷為真。所以原命題就一定是真的。所以，反證法是有一定的邏輯根據的，反證法作為一種證明方法是有強大的邏輯基礎作為支撐的。2.2.2 反證法的分類我們利用這種方法解決證明題時，我們會發(fā)現(xiàn)有時候“反設”的情況只有一種情況。我們只要證明“反設”這一種情況是錯誤的即可證明原命題是正確的。例如原命題為“在一個內的兩、都和平行，求證、不”，我們做出的“反設”應為“、”只要證明、相交這種情況不成立就可以了。然而有些結論的“反設”不只一種情況，可能有兩種情況，甚至好幾種情況。我們必需把“反設”中的每種情形全部進行反駁，然后才可以證明原命題是成立的。例如原命題為“三角形

11、中最多有一個鈍角”那么我們做出的“反設”應該為“三角形中至少有兩個鈍角”，“反設”中包括的三角形中有兩個鈍角和三個鈍角兩種情況，我們運用反證法解題時，首先把三角形中有兩個鈍角作為條件，推導出矛盾，證明這種情況不成立，然后把三角形中有三個鈍角作為條件，推導出矛盾，證明這種情況也不成立，進而肯定原來的命題正確。因此，我們根據“反設”的情況不同來給反證法進行分類。如果結論的反面只有一種情況，我們把它叫做簡單歸謬法。如果“反設”不僅僅有一種，我們把它叫做窮舉歸謬法。2.3 如何運用反證法2.3.1 怎樣正確的進行“反設”做出“反設”是反正法的開始的步驟，所以運用這種方法來證明題目能否成功，這一步非常重

12、要，在反證法的證明方法中，推導的過程是根據“反設”作為條件，一步一步來尋找使之成立的必要條件，如果“反設”沒有作對，那么接下來的證明也不會順利的進行，即使能夠推導出矛盾，也不能運用“排中律”和“矛盾律”來推出原命題的結論是正確的。所以如果做出的“反設”是錯誤的，導致整道題都不能做出來。所以我們應該學會做出“反設”。首先，我們要懂得分清哪個是命題中的題設，哪個是命題中的結論。我們做出的“反設”只是對命題的結論進行，而不是對命題的條件進行，更不是對命題的條件和結論一起。例如“若,.則,”的“反設”為“若,則,”。然后要分清結論與“反設”之間的邏輯關系，不是所有的“反設”都是只把原命題中的“是（不是

13、）”變成“不是（是）”這樣簡單。例如結論為“，中至少有一個大于”他的“反設”不是簡單的為“，中至少有一個小于等于”，正確的“反設”應該為“，都等于”。因此分清邏輯關系是我們做出準確的“反設”的關鍵。以下是一些我們經常遇到的幾種詞語和與之對應的否定形式。結論中的“是”“反設”中應為“不是”，結論中“存在”的“反設”中應為“不存在”，結論中“都是”的“反設”中應為“不都是”，結論中“至少有個”的“反設”中應為“至多有個”，結論中“大于（小于）”的“反設”中應為“不大于（不小于）”，結論中“等于”的“反設”中應為“不等于”，結論中“至多有一個”的“反設”中應為“至少有兩個”，結論中“至少有一個”的“

14、反設”中應為“一個都沒有”等等。2.3.2 如何正確的導出矛盾我們正確的做出了“反設”，我們知道接下來就要把“反設”當作已知條件來進行推導，然后推導出矛盾，這一步是我們做題的核心過程，如果這一步出錯，那么我們可能推不出矛盾，即使能夠推導出矛盾也不能否定“反設”，來證明要證明的結論是成立的。所以能正確的進行推導非常重要。在推導的過程中，我們要從“反設”出發(fā)，不要從給出的條件出發(fā)，例如“對于任意非負數(shù)恒有，求證”，我們應該從“反設”開始證明，而不是從開始證明，這樣證明即使導出矛盾，這種證明方法也不是反證法。所以我們進行推導要從“反設”出發(fā)。進行推理時每一步都必須有理論可依，我們每一步都是在尋找使“

15、反設”成立的必要條件，然后還要充分的利用已知條件。例如“是中的三個內角，證明至少有一個不小于”。證明：假設、,因此,這和“三角形的內角和為”的定理矛盾，因此、這一假設不成立，故而、至少有一個不小于。3 反證法的適用范圍3.1 何時適合運用反證法3.1.1 結論是以否定的形式存在的此類題目中經常有“不”，“沒有”、“不是”、“不可能”的一些短語出現(xiàn)。我們想要證明某個東西不會具有某種性質，或者擁有著某個性質的東西不可能存在。在大部分的情況下“存在”、“可能”具有某些性質，比“不存在”、“不可能”擁有某種性質要具體的多，我們也更加的容易理解、研究和掌握。而且我們數(shù)學中的大多是以的形式出現(xiàn)的，運用的方

16、法不方便，所以此時運用間接證明的方法要比直接證明更加的簡單。例1已知，是中相鄰的三項，而且不等于零，求證：，不可能是。證明：假設，是成等差數(shù)列有，即，兩邊乘以，得又由于，成，且不等于零所以，由此可知即，所以這與已知，的不為零，即相矛盾。因此數(shù)列，不可能是。例2假設，且，求證：證明：假設因為，所以即所以等式兩邊同時乘以得：即所以，所以所以，這和題目中知條件相盾所以假設不能成立，所以3.1.2 “反設”簡單的命題這類題目的“反設”與原題的結相比，“反設”更加的明確、簡單。用反證法易于導出矛盾例3已知，且，求證：，中至少有一個小于證明：假設，都不小于，即，因為，所以，因此即，這與已知條件中相矛盾因此

17、假設是錯誤的，因此，中至少有小于例4證明：等腰的兩個，必定是。證明：假設，不是，即，是因為，是等腰三角形的兩個底角，所以（1）假設，都是直角，則而，這與“三角形內角和等于”的定理相矛盾（2）假設，都是鈍角，則而，這與三角形內角和等于的定理相矛盾綜上所述，假設（1），（2）都是錯誤的，所以，一定是銳角所以等腰三角形的兩個底角一定是銳角例5如圖所示，是，、兩點在上，、兩點在上，求證：和是異面直線。證明：假設和不是，那么和是共面直線設他們都在平面內所以，所以，即直線這與已知條件，是相矛盾，所以假設是錯誤的，所以和是。3.1.3 數(shù)學中起始命題的證明證明起始命題，因為可以利用的定理和定義比較少，所以直

18、接證明比較困難，然而運用反證法，增加了“反設”這一個可以利用的條件，所以利用反證法更容易證明。例6的證明，如圖所示，在中，設、的長度分別為、，的長為，作，是。證明。證明：假設，即假設，則由可知，或者即，或者在和中，因為所以若，則在和中，因為所以若，則又因為所以，這與作法相矛盾，所以的假設是錯誤的所以例7如圖所示，直線，于同一個，則證明：假設與不平行，設是經過點與直線平行的直線,因為，,所以我們知道經過一點只有一條直線于平面所以這與我們的定理相矛盾所以與不平行是錯誤的，因此由此,我們得到：于一個平面的兩條直線平行。3.1.4 要證命題的逆命題成立已知一個命題的逆命題成立，來證原命題成立時，使用反

19、證法可以更加充分的利用已知條件，帶來了很多方便。例8證明兩條直線，被直線，如圖所示，如果兩直線所形成的，求證：與不平行。證明：假設，所以有因為兩直線平行，同旁內角互補所以，這與已知相矛盾所以不成立所以與不平行例9，不在內，在內，證明與平行。證明：假設直線與平面不平行，因為不在平面內，所以與相交，過點做在內的平行線所以因為，所以又因為，且，所以與相交于點，這與相矛盾所以做出的假設不正確，所以與平行。3.1.5 結論涉及“無限”的命題原的結論中提到“無限”和“無窮”等詞語時。我們運用反證法來解決這一類問題，第一步要對原命題的結論做出“反設”，所以“無限”的反面就變?yōu)椤坝邢蕖?。我們對于處理“有限”?/p>

20、問題比處理“無限”的問題辦法要多一些，“有限”的問題比較具體，我們也比較容易理解。是以此時使用反證法來解題更加簡便簡單些。例10 證明是。證明：假設是有理數(shù)，所以（是不可約分的分數(shù)）所以，所以可以被整除，所以也可以被整除。設（是正的自然數(shù)）所以，得所以也可以被整除，也可以被整除。這樣，有公約數(shù)，和，互質相矛盾所以假設不正確，所以是3.1.6 結論中有“至少”或者“至多”命題它的結論中常常含有“至多”、“至少”、“最多”、“最少”“”、“”等詞匯。這一類命題如果利用正向思維，很難入手，命題中包含著幾種情況，使我們容易漏掉一種情況，或者多考慮一種情況，反而更加容易出錯。而如果利用反證法，“反設”的

21、情況會比較容易理解和明確，使我們更加容易找到方向入手，所以運用反證法更加的方便。例11已知、是互不相等的，求，中至少有一個方程有相異的。證明：假設，中都沒有相的所以，所以即，所以，這與題設中、是互不相等的相。所以假設是錯誤的所以，中至少有一個方程有相異的例12證明一個三角形的中有一個證明：假設的中有兩個。則這兩個的都是鈍角，也就是說中有兩個鈍角。那么這個的和就大于。這與三角形的和為這一定理相矛盾。所以的中不可能有兩個，即證明的中最多有一個。3.1.7 “唯一性”命題結論中常常出現(xiàn)“唯一存在”、“有且只有一個”等詞匯?！拔ㄒ恍浴泵}與“至多有一個”是不同的，“唯一性”命題是指“有且只有一個”存在

22、。而“至多有一個”是指“有一個或者一個也沒有”。他們很相似，而“至多一個”是“至多”的命題，所以要證明這個命題，需要運用反證法，只需反駁多于一個的情況就可以了，所以證明“唯一性”問題也需要運用反證法，因此證明“唯一性”命題只要否定它多余一個，并且要證明它存在。例13已知，證明關于的方程有且只有一個根證明：因為，所以方程至少有一個根（證明存在性）假設方程至少存在兩個根，假設為，則，所以所以又因為所以因此，這和已知條件，所以假設不正確，方程有且只有一個根例14證明：兩條直線相交有且只有一個交點。如圖所示，已知直線，求證直線、相交時只有一個交點證明：假設直線，相交時有兩個交點，分別，則，既在直線上，

23、又在直線上那么經過，兩點有兩條直線分別為直線和直線這與兩點決定一條直線這一定理相矛盾所以假設是錯誤的，兩條直線有且只有一個交點。例15若函數(shù)在上的圖像是的，并且,而且在上是增函數(shù)，求證在內有且只有一個。證明：因為在上的圖像是的，且,即所以在內至少有一個。假設在內有兩個零點，且。所以，。因為在上單調增，所以若，則,即,這與自然事實矛盾若，則,即,這與自然事實矛盾所以假設不正確，所以在內有且只有一個。3.2 反證法的注意事項在數(shù)學證明中，反證法有的時候確實能夠起到直接證明方法無法起到的特殊作用，他可以把困難的問題變得簡單，把繁瑣的過程變得簡潔。甚至直接證明方法解決不了的問題，可以運用反證法求解。然

24、而我們不能對每一道題都運用反證法，要根據具體的問題具體分析。如果濫用反證法，反而達不到反證法把問題變簡單的效果，甚至會把簡單的問題變得復雜。當我們遇到一個證明題時，首先要考慮我們能不能用正向思維，直接證明的方法來解決它，如果能用直接證明的方法來解決，我們就采用直接證法，不能放著平坦的大道不走，而走偏僻的小徑。了解什么時候適合運用反證法，一般都是正面證明不容易時才會使用。反證法并不是萬能的。在運用反證法解題時，要按照反證法的解題步驟來寫，每一個步驟都不能省略，“反設”是反證法的開始部分，推導矛盾是反證法的核心過程，做出判斷是反證法的重要結果，三者缺一不可。運用反證法的推理過程一定要完全正確，而且

25、要運用題中給出的已知條件，如果沒有用上已知條件，要么推導不出矛盾，要么推導出的矛盾不能判定“反設”是錯誤的。如果“反設”的情況不只一種，我們要分清“反設”中包含的各個情況之間的邏輯關系，每一種情況之間都應該是彼此互斥的，他們的總和正好是“反設”，要做到每種情況都不重不漏。這樣才能有條理的對“反設”進行一一反駁，如果有兩種情況是重合的，那將會給你的證明增加困難，加大了證明的工作量，你需要在多對一種情況進行反駁，而如果漏掉了一種情況，對“反設”就沒有進行徹底的否定，就不能得出“反設”是錯誤的判斷，所以就不能解決該證明題。反證法是邏輯推理的一種基本方法，通常與其他的證明方法一起使用，或者把它運用到證

26、明的某個環(huán)節(jié)當中，不是孤立使用的。4 結論在我們解決問題時一般會采用正向思維，所以我們遇到問題時就會習慣性的運用正向思維，正向思維就成為了我們的定式思維。然而并不是所有的問題都能用這種思維定式解決，所以我們還要學會從辯證思維的觀點出發(fā)，沖破這種思維定式，學會從習慣思路的反方向去思考分析問題。許多中學生不能掌握反證法在數(shù)學中的應用，只能看到它的表面，而不能理解它的精神實質，所以我從反證法的由來，反證法的概念，解題步驟，邏輯基礎和分類，以及反證法的適用范圍和等方面來說明。反證法這種逆向的思維方式，在我們學習數(shù)學的道路上扮演著非常重要的角色，反證法的應用非常普遍，在我們中學中的幾何問題的證明，三角形

27、的證明，不等式的證明，數(shù)列的證明中都有它的應用，反證法是我們學習數(shù)學的另一種方法，學習和研究反證法是我受益匪淺。參考文獻1杜永忠.中學數(shù)學解題方法反證法m.四川教育出版社.1989.2孫玉清.反證法m.上海教育出版社.1986.3楊景星.怎樣運用反證法m.福建教育出版社.1986.4唐德論.反證法及其應用m.湖南教育出版社.1988.5王連笑.反證法漫談m.天津人民出版社.1981.6劉紹學.人教版高中數(shù)學必修二m.人民教育出版社.2004.7段耀勇，楊朝明.反證法的歷史沿革j.武警學院學報.2003，19（4）：86-88.8楊婷.數(shù)學中反證法的應用j.佳木斯教育學院學報.2013，19（4）：86-88.9丁 琳.反證法在數(shù)學解題中的應用j.教學與管理.2006，78-79.10程向陽.淺析反證