高中數(shù)學 第二章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的基本定理及坐標表示（第二課時）示范教案 新人教A版必修4

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第三節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示第二課時教學分析1前面學習了平面向量的坐標表示,實際是平面向量的代數(shù)表示在引入了平面向量的坐標表示后可使向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數(shù)量運算2本小節(jié)主要是運用向量線性運算的交換律、結合律、分配律，推導兩個向量的和的坐標、差的坐標以及數(shù)乘的坐標運算推導的關鍵是靈活運用向量線性運算的交換律、結合律和分配律3引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn),一個自然的想法是向量的某些關系，特別是向量的平行、垂直，是否也能通過坐標來研究呢?前面已經找出兩個向量共線的條件(如

2、果存在實數(shù),使得ab，那么a與b共線），本節(jié)則進一步地把向量共線的條件轉化為坐標表示這種轉化是比較容易的，只要將向量用坐標表示出來，再運用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標表示要注意的是，向量的共線與向量的平行是一致的三維目標1通過經歷探究活動，使學生掌握平面向量的和、差、實數(shù)與向量的積的坐標表示方法理解并掌握平面向量的坐標運算以及向量共線的坐標表示2引入平面向量的坐標可使向量運算完全代數(shù)化，平面向量的坐標成了數(shù)與形結合的載體3在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識重點難點教學重點：平面向量的坐標運算教學難點：對平面向量共線的坐標表示的理解

3、課時安排1課時導入新課思路1。向量具有代數(shù)特征，與平面直角坐標系緊密相聯(lián)那么我們在學習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關系時，直線與直線的平行是一種重要的關系關于x、y的二元一次方程axbyc0（a、b不同時為零）何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運算如何體現(xiàn)?思路2。對于平面內的任意向量a，過定點o作向量a，則點a的位置被向量a的大小和方向所唯一確定如果以定點o為原點建立平面直角坐標系，那么點a的位置可通過其坐標來反映，從而向量a也可以用坐標來表示,這樣我們就可以通過坐標來研究向量問題了事實上，向量的坐標表示，實際是向量的代數(shù)表示引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數(shù)化，將

4、數(shù)與形緊密結合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數(shù)量運算引進向量的坐標表示后，向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn)，那么向量的平行、垂直，是否也能通過坐標來研究呢？推進新課我們研究了平面向量的坐標表示，現(xiàn)在已知a(x1,y1)，b(x2，y2)，你能得出ab，ab，a的坐標表示嗎?如圖1，已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎樣表示的坐標？你能在圖中標出坐標為(x2x1，y2y1)的p點嗎？標出點p后，你能總結出什么結論?活動：教師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算，教師可以讓學生到黑板去板書步驟可得:圖1ab（x1iy1j)（x2iy2j)(x1x2)i（

5、y1y2)j,即ab（x1x2，y1y2）同理ab(x1x2,y1y2)又a（x1iy1j）x1iy1j。a（x1，y1）教師和學生一起總結，把上述結論用文字敘述分別為:兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差);實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標教師再引導學生找出點與向量的關系：將向量平移,使得點a與坐標原點o重合，則平移后的b點位置就是p點向量的坐標與以原點為始點，點p為終點的向量坐標是相同的，這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系學生通過平移也可以發(fā)現(xiàn)：向量的模與向量的模是相等的由此,我們可以得出平面內兩點間的距離公式：|。教師對總結完全的同學進行

6、表揚，并鼓勵學生，只要善于開動腦筋，勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲討論結果：能(x2，y2)（x1，y1)（x2x1，y2y1）結論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標如何用坐標表示兩個共線向量？若a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么是向量a、b共線的什么條件？活動:教師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關系此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設a(x1,y1），b（x2，y2），其中b0。我們知道，a、b共線，當且僅當存在實數(shù)，使ab.如果用坐標表示，可寫為(x1，y1）（x2,y2),即消去后得x1y2x2y10.這就

7、是說，當且僅當x1y2x2y10時向量a、b（b0）共線又我們知道x1y2x2y10與x1y2x2y1是等價的，但這與是不等價的因為當x1x20時，x1y2x2y10成立，但與均無意義因此是向量a、b共線的充分不必要條件由此也看出向量的應用更具一般性,更簡捷、實用，讓學生仔細體會這點討論結果：x1y2x2y10時，向量a、b（b0)共線充分不必要條件a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)使得ab，那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？活動：教師引導推證：設a（x1，y1）,b（x2，y2），其中ba，由ab，（x1，y1）（x2，y2)消去,得x1y2x2y10.討論結果：ab（b

8、0）的充要條件是x1y2x2y10。教師應向學生特別提醒感悟：(1）消去時不能兩式相除,y1、y2有可能為0，而b0,x2、y2中至少有一個不為0。(2)充要條件不能寫成(x1、x2有可能為0)（3）從而向量共線的充要條件有兩種形式：ab(b0）思路1例1已知a(2，1),b（3，4）,求ab，ab,3a4b的坐標活動：本例是向量代數(shù)運算的簡單應用，讓學生根據向量的線性運算進行向量的和、差及數(shù)乘的坐標運算，再根據向量的線性運算律和向量的坐標概念得出結論若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標，那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標，從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉化可由學生自己完成

9、解：ab（2，1)(3，4）（1,5)；ab(2，1）(3,4)（5，3）;3a4b3(2,1）4（3,4)(6，3）（12，16)(6,19)點評:本例是平面向量坐標運算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標運算公式。變式訓練已知平面向量a(1,1)，b（1,1)，則向量ab等于( ）a(2，1） b（2，1）c（1，0) d(1，2)答案:d例2如圖2，已知abcd的三個頂點a、b、c的坐標分別是(2，1)、(1,3)、（3，4),試求頂點d的坐標圖2活動：本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算這里給出了兩種方法：方法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”，解題過程中應用了方程思想；方

10、法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標，進而得到點d的坐標解題過程中,關鍵是充分利用圖形中各線段的位置關系(主要是平行關系)，數(shù)形結合地思考,將頂點d的坐標表示為已知點的坐標解：方法一:如圖2，設頂點d的坐標為（x，y)(1（2），31）(1,2)，（3x，4y）由，得（1，2)（3x，4y）頂點d的坐標為(2，2)方法二：如圖2，由向量加法的平行四邊形法則,可知(2（1)，13)（3（1)，43)(3,1），而（1，3)(3，1)（2，2），頂點d的坐標為（2,2)點評：本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.變式訓練如圖3,已知平面上三點的坐標分別為a(2，1)，b(1,3）

11、，c(3,4）,求點d的坐標，使這四點構成平行四邊形四個頂點圖3解：當平行四邊形為abcd1時，仿例2得：d1（2,2）；當平行四邊形為acd2b時，仿例2得：d2（4，6)；當平行四邊形為d3acb時，仿例2得：d3（6，0).例3已知a(1，1），b（1,3），c（2，5),試判斷a、b、c三點之間的位置關系活動:教師引導學生利用向量的共線來判斷首先要探究三個點組合成兩個向量，然后根據兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線教師引導學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式來判斷向量之間的關系讓學生通過觀察圖象領悟先猜后證的思維方式解：在平面直角坐標系中作出

12、a、b、c三點，觀察圖形，我們猜想a、b、c三點共線下面給出證明(1(1)，3（1）)(2，4),(2（1）,5（1）)（3，6），又26340，且直線ab、直線ac有公共點a，a、b、c三點共線點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法，其實質是從同一點出發(fā)的兩個向量共線，則這兩個向量的三個頂點共線這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的。變式訓練已知a(4,2)，b（6，y）,且ab，求y。解：ab,4y260。y3。思路2例1設點p是線段p1p2上的一點，p1、p2的坐標分別是(x1，y1)、(x2，y2）(1）當點p是線段p1p2的中點時，求點p的坐標；（2)當點p是線段p1

13、p2的一個三等分點時，求點p的坐標活動：教師充分讓學生思考,并提出這一結論可以推廣嗎？即當時，點p的坐標是什么?師生共同討論，一起探究，可按照求中點坐標的解題思路類比推廣，有的學生可能提出如下推理方法：設p（x,y），由，知(xx1，yy1)(x2x，y2y），即這就是線段的定比分點公式，教師要給予充分肯定，鼓勵學生的這種積極探索，這是學習數(shù)學的重要品質時間允許的話，可以探索的取值符號對p點位置的影響,也可鼓勵學生課后探索解：（1）如圖4,由向量的線性運算可知圖4（）(，)，所以點p的坐標是（，)（2)如圖5，當點p是線段p1p2的一個三等分點時，有兩種情況，即或2.如果(圖5(1)，那么圖5

14、（）(,)，即點p的坐標是(,)同理，如果2(圖5(2）)，那么點p的坐標是(，)點評：本例實際上給出了線段的中點坐標公式和線段的三等分點坐標公式.變式訓練在abc中，已知點a（3，7）、b（2,5）若線段ac、bc的中點都在坐標軸上，求點c的坐標解：(1）若ac的中點在y軸上,則bc的中點在x軸上，設點c的坐標為(x,y），由中點坐標公式，得0，0,x3，y5,即c點坐標為(3，5）(2）若ac的中點在x軸上，則bc的中點在y軸上,則同理可得c點坐標為（2，7）綜合（1)(2)，知c點坐標為(3，5)或(2,7).例2已知點a(1,2)，b（4，5),o為坐標原點，t.若點p在第二象限，求實

15、數(shù)t的取值范圍活動:教師引導學生利用向量的坐標運算以及向量的相等,把已知條件轉化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進行求解教師以提問的方式來了解學生組織步驟的能力，或者讓學生到黑板上去板書解題過程,并對思路清晰過程正確的同學進行表揚,同時也要對組織步驟不完全的同學給予提示和鼓勵教師要讓學生明白“化歸”思想的利用不等式求變量取值范圍的基本觀點是：將已知條件轉化為關于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組）的解集解:由已知(4,5）（1,2)（3,3）(1，2）t（3，3)（3t1,3t2）若點p在第二象限，則t。故t的取值范圍是（,）點評：此題通過向量的坐標運算，將點p的坐標

16、用t表示，由點p在第二象限可得到一個關于t的不等式組，這個不等式組的解集就是t的取值范圍課本本節(jié)練習解答:1(1)ab(3，6)，ab（7,2);(2)ab(1，11），ab(7,5)；（3)ab（0，0），ab（4，6）；（4)ab(3,4），ab（3，4)22a4b（6，8），4a3b（12,5）3（1)(3,4），（3，4)；(2)(9，1)，（9，1）；（3)（0,2），(0，2）;(4)（5，0），（5,0）4abcd。證明：（1，1）,（1，1），所以。所以abcd.點評：本題有兩個要求：一是判斷，二是證明通過作圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，然后再證明結論是一個讓學生經歷數(shù)學化的過程5(1

17、）（3,2);（2）(1，4);（3)（4，5)6（，1)或(，1)7解:設p（x，y），由點p在線段ab的延長線上,且|，得(x2,y3）(x4,y3)，即解之，得所以點p的坐標為（8,15）點評：本題希望通過向量方法求解，培養(yǎng)學生應用向量的意識1先由學生回顧本節(jié)都學習了哪些數(shù)學知識:平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標運算，兩個向量共線的坐標表示2教師與學生一起總結本節(jié)學習的數(shù)學方法，定義法、歸納、整理、概括的思想，強調在今后的學習中，要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學態(tài)度和求實開拓的精神，為將來的發(fā)展打下良好基礎課本習題2。3 a組5、6。1本節(jié)課中向量的坐標表示及運算實際上是向量

18、的代數(shù)運算這對學生來說學習并不困難，可大膽讓學生自己探究本教案設計流程符合新課改精神教師在引導學生探究時，始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與形緊密結合的特點讓學生在了解向量知識網絡結構基礎上，進一步熟悉向量的坐標表示以及運算法則、運算律,能熟練向量代數(shù)化的重要作用和實際生活中的應用，并加強數(shù)學應用意識，提高分析問題、解決問題的能力2平面向量的坐標運算包括向量的代數(shù)運算與幾何運算相比較而言,學生對向量的代數(shù)運算要容易接受一些，但對向量的幾何運算往往感到比較困難，無從下手向量的幾何運算主要包括向量加減法的幾何運算,向量平行與垂直的充要條件及定比分點的向量式等3通過平面向量坐標的加、減代數(shù)運算，結合圖形，不但可以建立向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系，而且教師可在這兩題的基礎上稍作推廣，就可通過求向量的模而得到直角坐標系內的兩點間的距離公式甚至可以推出中點坐標公式它們在處理平面幾何的有關問題時，往往有其獨到之處,教師可讓學有余力的學生課下繼續(xù)探討，以提高學生的思維發(fā)散能力一、求點p分有向線段所成的比的幾種求法（1）定義法：根據已知條件直接找到使的實數(shù)的值例1已知點a（2，3)，點b（4,1)，延長ab到p，使3|，求點p的坐標解:因為點在ab的延長線上，p為的外分點,所以，0,又根據3，可知3,由分點坐標公式易得p點的坐標為(7,3)(2）公式法：依據定比