高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 第五節(jié) 平面向量應(yīng)用舉例（第二課時(shí)）示范教案 新人教A版必修4

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第五節(jié)平面向量應(yīng)用舉例第二課時(shí)教學(xué)分析向量與物理學(xué)天然相聯(lián)向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它與物理學(xué)中的力學(xué)、運(yùn)動學(xué)等有著天然的聯(lián)系,將向量這一工具應(yīng)用到物理中，可以使物理題解答更簡捷、更清晰并且向量知識不僅是解決物理許多問題的有利工具，而且用數(shù)學(xué)的思想方法去審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)物理問題，可使我們對物理問題的認(rèn)識更深刻物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究用向量研究物理問題的相關(guān)知識(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它們的合成與分解

2、就是向量的加、減法，運(yùn)動的疊加亦用到向量的合成；(2）動量是數(shù)乘向量;（3）功即是力與所產(chǎn)生位移的數(shù)量積用向量知識研究物理問題的基本思路和方法（1)通過抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題;（2)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；（3)利用向量知識解決這個(gè)向量問題,并獲得這個(gè)向量的解；（4）利用這個(gè)結(jié)果,對原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識圓滿解決物理問題教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實(shí)原型的觀察、分析和比較，得出抽象的數(shù)學(xué)模型例如，物理中力的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原型同時(shí)，注重向量模型的運(yùn)用，引導(dǎo)解決現(xiàn)實(shí)中的一些物理和幾何問題這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對

3、抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用三維目標(biāo)1通過力的合成與分解的物理模型，速度的合成與分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟,明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型，進(jìn)一步加深對所學(xué)向量的概念和向量運(yùn)算的認(rèn)識2通過對具體問題的探究解決，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)物理及其他科目中的數(shù)學(xué)及思考領(lǐng)悟各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1。運(yùn)用向量的有關(guān)知識對物理中力的作用、速度的分解進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算.2.歸納利用向量方法解決物理問題的基本方法教學(xué)難點(diǎn)：將物理中有關(guān)矢量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中向量的問題課時(shí)安

4、排1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(章頭圖引入)章頭圖中,道路、路標(biāo)體現(xiàn)了向量與位移、速度、力等物理量之間的密切聯(lián)系章引言說明了向量的研究對象及研究方法那么向量究竟是怎樣應(yīng)用于物理的呢？它就像章頭圖中的高速公路一樣，是一條解決物理問題的高速公路在學(xué)生渴望了解的企盼中,教師展示物理模型，由此展開新課思路2。(問題引入)你能舉出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，學(xué)生很容易就舉出來進(jìn)一步，你能舉出應(yīng)用向量來分析和解決物理問題的例子嗎？你是怎樣解決的？教師由此引導(dǎo):向量是有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具,對向量在物理中的研究，有助于進(jìn)一步加深對這方面問題的認(rèn)識我們可以通過對下面若干

5、問題的研究，體會向量在物理中的重要作用由此自然地引入新課例1在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動，兩臂的夾角越小越省力你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？活動：這個(gè)日常生活問題可以抽象為如圖1所示的數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則,力的平衡及解直角三角形等知識來思考探究這個(gè)數(shù)學(xué)問題這樣物理中力的現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題只要分析清楚f、g、三者之間的關(guān)系(其中f為f1、f2的合力）,就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋圖1在教學(xué)中要盡可能地采用多媒體，在信息技術(shù)的幫助下讓學(xué)生來動態(tài)地觀察f|、|g|、之間在變化過程中所產(chǎn)生的相互影響由學(xué)生獨(dú)立完

6、成本例后，與學(xué)生共同探究歸納出向量在物理中的應(yīng)用的解題步驟,也可以由學(xué)生自己完成，還可以用信息技術(shù)來驗(yàn)證用向量解決物理問題的一般步驟是：問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解理論參數(shù)值;問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象解：不妨設(shè)f1f2|，由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道cos|f1。通過上面的式子,我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)由0到180逐漸變大時(shí),由0到90逐漸變大,cos的值由大逐漸變小，因此|f1由小逐漸變大，即f1，f2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力點(diǎn)評:本例是日常生

7、活中經(jīng)常遇到的問題，學(xué)生也會有兩人共提一個(gè)旅行包以及在單杠上做引體向上運(yùn)動的經(jīng)驗(yàn)本例的關(guān)鍵是作出簡單的受力分析圖,啟發(fā)學(xué)生將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成模型，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行解釋，這就是本例活動中所完成的事情教學(xué)中要充分利用好這個(gè)模型，為解決其他物理問題打下基礎(chǔ)得到模型后就可以發(fā)現(xiàn),這是一個(gè)很簡單的向量問題,這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn)。變式訓(xùn)練某人騎摩托車以20 km/h的速度向西行駛,感到風(fēng)從正南方向吹來，而當(dāng)其速度變?yōu)?0 km/h時(shí)，他又感到風(fēng)從西南方向吹來,求實(shí)際的風(fēng)向和風(fēng)速解：如圖2所示設(shè)v1表示20 km/h的速度,在無風(fēng)時(shí),此人感到的風(fēng)速為v1，實(shí)際的風(fēng)速為v，那么此人所感到的風(fēng)速為v（v1

8、)vv1.圖2令v1，2v1，實(shí)際風(fēng)速為v。，vv1，這就是騎車人感受到的從正南方向吹來的風(fēng)的速度，v2v1。這就是當(dāng)車的速度為40 km/h時(shí),騎車人感受到的風(fēng)速由題意得dca45，dbab，abbc，dca為等腰三角形，dadc，dacdca45。dadcbc20.v|20 km/h。答:實(shí)際的風(fēng)速v的大小是20 km/h,方向是東南方向.例2如圖3所示,利用這個(gè)裝置（沖擊擺)可測定子彈的速度，設(shè)有一砂箱懸掛在兩線下端，子彈擊中砂箱后，陷入箱內(nèi)，使砂箱擺至某一高度h.設(shè)子彈和砂箱的質(zhì)量分別為m和m，求子彈的速度v的大小圖3解：設(shè)v0為子彈和砂箱相對靜止后開始一起運(yùn)動的速度，由于水平方向上動

9、量守恒,所以m|v(mm)v0|。 由于機(jī)械能守恒，所以（mm)v(mm）gh。 聯(lián)立解得v|.又因?yàn)閙相對于m很小,所以v，即子彈的速度大小約為。1一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過小時(shí),該船實(shí)際航程為( ）a2 km b6 kmc. km d8 km答案：b點(diǎn)評:由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，所以要通過作高來求2如圖4，已知兩個(gè)力的大小和方向,則合力的大小為_ n；若在圖示坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示合力f,則f_。圖4答案： （5,4)3一艘船以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,而該船實(shí)際航行的方向與水流方向成30角，求

10、水流速度與船的實(shí)際速度答案：如圖5所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對岸的速度，表示船的實(shí)際速度，aoc30，5 km/h.圖5因?yàn)閛acb為矩形,所以|cot30|cot3058.66 km/h，|10 km/h。答：水流速度為8.66 km/h，船的實(shí)際速度為10 km/h。點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,畫出向量圖,在直角三角形中解出1與學(xué)生共同歸納總結(jié)利用向量解決物理問題的步驟問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解-理論參數(shù)值；問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象2與學(xué)生共同歸納總結(jié)向量在物理中應(yīng)用的基

11、本題型力、速度、加速度、位移都是向量；力、速度、加速度、位移的合成與分解對應(yīng)相應(yīng)向量的加減；)動量mv是數(shù)乘向量,沖量tf也是數(shù)乘向量；功是力f與位移s的數(shù)量積，即wfs.1課本習(xí)題2.5 a組3、4，b組1、2.2歸納總結(jié)物理學(xué)中哪些地方可用向量1本教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是:由于本節(jié)重在解決兩個(gè)問題，一是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；二是如何用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象因此本教案設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也就放在怎樣讓學(xué)生探究解決這兩個(gè)問題上而把這個(gè)探究的重點(diǎn)又放在這兩個(gè)中的第一個(gè)上，也就是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析物理現(xiàn)象、準(zhǔn)確把握物理量之間的相互關(guān)系通過抽象、概

12、括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題，然后利用向量知識解決這個(gè)向量問題2經(jīng)歷是最好的老師充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問題的過程，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟思想方法的最好載體學(xué)生這種經(jīng)歷的實(shí)踐活動越多，解決實(shí)際問題的方法就越恰當(dāng)而簡捷教科書中對本節(jié)的兩個(gè)例題的處理方法，都不是先給出解法，而是先進(jìn)行分析，探索出解題思路，再給出解法，就足以說明這一點(diǎn)3突出數(shù)形結(jié)合的思想教科書例題都是先畫圖進(jìn)行分析的，本教案的設(shè)計(jì)中也突出了這一點(diǎn)讓學(xué)生在活動的時(shí)候就先想到畫圖，并在這個(gè)活動中，體會數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用,體會向量這個(gè)工具的優(yōu)越性一、向量與重心問題假如有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1,m2，它們的質(zhì)量分

13、別是m1，m2，由物理學(xué)知識，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心m在線段m1m2上，并且分此線段為與質(zhì)量成反比例的兩部分，即,或m1m2。現(xiàn)設(shè)點(diǎn)m1、m2、m，對應(yīng)的向量分別是r1、r2、r,則上式可以寫成m1（rr1）m2(r2r)所以r，點(diǎn)m處的質(zhì)量為m1m2。現(xiàn)求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心問題三個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2、m3的質(zhì)量分別是m1、m2、m3，所對應(yīng)的向量分別是r1、r2、r3，我們可設(shè)m1，m2的重心在點(diǎn)d處，該處對應(yīng)的向量為rd，該點(diǎn)的質(zhì)量為m1m2，然后求點(diǎn)d與點(diǎn)m3的重心m所對應(yīng)的向量r，易得r。二、備用習(xí)題1作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力f1和f2,f15，f23，夾角為60，則f1f2的大小為_答案：72一條漁船

14、距對岸為4 km，現(xiàn)正以2 km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達(dá)對岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8 km，求河水的流速. 答案：解：如圖7所示，設(shè)表示船垂直于對岸的速度，則，圖7知就是漁船實(shí)際航行的速度因?yàn)楹叫械臅r(shí)間為422（h）,所以在rtabc中，|a2 km/h，|824 km/h，則|b|2 km/h。答:河水的流速為2 km/h.3在半徑為15 cm的均勻鐵板上，挖出一個(gè)圓洞,已知圓洞的圓心和鐵板中心相距8 cm，圓洞的半徑是5 cm，求挖去圓洞后所剩下鐵板的重心答案：解：如圖8所示，建立平面直角坐標(biāo)系，兩圓的圓心分別為o1(0,0),o2(8，0），圓o2是挖去的圓,不妨設(shè)鐵板的密度為1,則小圓的質(zhì)量m125,挖去圓洞后，鐵板的質(zhì)量為m2(22525）200,設(shè)所求的重心為o3.圖8根據(jù)物理學(xué)知識,知o3在直線o1o2上，即可設(shè)o3(x3，0），且滿足，其中.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式知0,解得x31,即o3(1，0)為挖去圓洞后所剩下鐵板的重心4如圖6所示，重力為