結(jié)構(gòu)動力學(xué)(單自由度體系的振動分析)

1、自由振動自由振動-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振動中無動荷載作用的振動。在振動中無動荷載作用的振動。 一一. .運(yùn)動方程及其解運(yùn)動方程及其解 EIl )(ty )(ty m )()( 11 tymty )()( 11 tymtyk 0)()( 2 tyty 11 11 2 1 mm k 一一. .運(yùn)動方程及其解運(yùn)動方程及其解 EIl )(ty )(ty m )()( 11 tymty )()( 11 tymtyk 0)()( 2 tyty 11 11 2 1 mm k 其通解為其通解為tctctysincos)( 21 由初始條件由初始條件 0 )0(yy 0 )0(y

2、y 可得可得 01 yc / 02 yc t y tyty sincos)( 0 0 sin 0 Ay cos/ 0 Ay )sin()(tAty 2 2 0 2 0 y yA 0 0 tan y y 二二. .振動分析振動分析 其通解為其通解為tctctysincos)( 21 由初始條件由初始條件 0 )0(yy 0 )0(yy 可得可得 01 yc / 02 yc t y tyty sincos)( 0 0 sin 0 Ay cos/ 0 Ay )sin()(tAty 2 2 0 2 0 y yA 0 0 tan y y 單自由度體系不計(jì)阻尼時(shí)的自由振動是簡諧振動單自由度體系不計(jì)阻尼時(shí)的

3、自由振動是簡諧振動. . )2sin()sin()(tAtAty ) 2 () 2 (sin tytA 2 T自振周期自振周期 2 T自振周期自振周期 2 1 T 自振園頻率自振園頻率( (自振頻率自振頻率) ) 與外界無關(guān)與外界無關(guān), ,體系本身固有的特性體系本身固有的特性 A 振幅振幅 初相位角初相位角 三三. .自振頻率和周期的計(jì)算自振頻率和周期的計(jì)算 1.1.計(jì)算方法計(jì)算方法 (1)(1)利用計(jì)算公式利用計(jì)算公式 11 11 2 1 mm k 11 ,WmgW st st g 2 (2)(2)利用機(jī)械能守恒利用機(jī)械能守恒 )(cos 2 1 )( 2 1 )( 2222 tmAtymt

4、T )(sin 2 1 )( 2 1 )( 22 11 2 11 tAktyktU maxmax UT 2 0 2 0 2 1 2 1 kvymEI )( 2 1 )( 2 1 )( 22 tkytymtE 2 0 0 2 cossin- 2 1 )(t v tymtE 2 0 0 sincosk 2 1 t v ty 2 0 2 0 2 1 2 1 ) t (kvymE=常數(shù)常數(shù) (3)(3)利用振動規(guī)律利用振動規(guī)律 )sin()(tAty )sin()( 2 tAt y )sin()()( 2 tmAtymtI 位移與慣性力同頻同步位移與慣性力同頻同步. . 2 11 mAAk 1 11

5、k EIl )(ty 2 mA A 幅值方程幅值方程 m k11 2 2.2.算例算例 例一例一. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. . 3 11 7 121 ml EI m ) 22 1 2 1 3 2 2 1 ( 1 11 l l lllllll EI EI ml T 12 7 2 2 3 EI l EI l =1 11 =1 l l/2 l 解解: : EI l 3 12 7 例二例二. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. . 33 3 2 2 3 1 ml EI EI l m EI l 3 11 3 2 EI ml T 3 2 =1 解解:

6、 : 2 3 l EI EIl l m/2 EI EI l l 例三例三. .質(zhì)點(diǎn)重質(zhì)點(diǎn)重W,求體系的頻率和周期求體系的頻率和周期. . 3 11 3 l EI kk 解解: : EI k l 11 k 1 11 k k3 3 l EI gWm/ g W l EI k 3 3 例四例四. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. . 2222 22 max 2 9 )2( 2 1 )( 2 1 )2( 2 1 mllm lmlmT 解解: : m k 9 5 l m EI m lll k k )(t 1.1.能量守恒能量守恒 2222 max 2 5 )2( 2 1 )( 2

7、1 kllklkU maxmax UT 2.2.列幅值方程列幅值方程 ml 2 2 ml 2 2ml 2 lk lk2 A 0 A M 0222222 222 lklllmlmllkllml 059 222 klml m k 9 5 c-阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) ( (damping coefficient ）)()(tyctR 0 11 ykycym )(ty )(ty m )( 11 tyk )(ty c mc2/ 02 2 yyy t Aety )( 02 22 2 1i )2(1mc 2 1 D )cossin()( 21 tctcety DD t 小阻尼情況小阻尼情況 00 )0(,)0(v

8、yyy 02001 ,/)(ycyvc D )sin()( DD t tAety 2 00 2 0 )( D yv yA )/(tan 000 yvy DD 0 11 ykycym )(ty )(ty m )( 11 tyk )(ty c mc2/ 02 2 yyy t Aety )( 02 22 臨界阻尼情況臨界阻尼情況 )2(1mc )()( 000 ytyvety t 超阻尼情況超阻尼情況 )2(1mc )()( 0 00 tchytsh yv ety cc c t 1 2 c )2(1mc 2 1 D 小阻尼情況小阻尼情況 00 )0(,)0(vyyy 02001 ,/)(ycyvc

9、D )sin()( DD t tAety 2 00 2 0 )( D yv yA )/(tan 000 yvy DD )cossin()( 21 tctcety DD t 1 mc r 2 -臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù) m c c c r 2 -阻尼比阻尼比 大量結(jié)構(gòu)實(shí)測結(jié)果表明，大量結(jié)構(gòu)實(shí)測結(jié)果表明，對于鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)對于鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu) ，鋼結(jié)構(gòu)，鋼結(jié)構(gòu) 。各種壩體的。各種壩體的 ，拱壩，拱壩 ，重力壩（大頭壩），重力壩（大頭壩） ，土，土 壩、堆石壩壩、堆石壩 。 05. 004. 003. 002. 02 . 003. 0 05. 003. 01 . 005. 0 2 . 01

10、 . 0 mc2/ D D T 2 2 1 D 小阻尼情況小阻尼情況 )sin()( DD t tAety 2 00 2 0 )( D yv yA )/(tan 000 yvy DD ttytycdyfE t DD )d()( 1 0 D Di i T Tt t i i e Ae Ae A A )( 1 )sin()( DD t tAety D i i T A A 1 ln 2 2 D 1 ln 2 1 i i A A ni i A A n ln 2 1 ni i B B n ln 2 1 kN4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5

11、3 11 mNk ) s (5 .04/2 D T ) s (4998.01 2 D TT )s/1 (57.12 2 T )kg(5190/ 2 11 km )kN(86.50 mgW )s/mN(36012mc )s/1 (89.136 8005190 102 . 8 2 5 2 )s/1 (70.11 )s (537.0/2T 0257.02/mc PROBLEMSPROBLEMS： 3.A mass m is at rest,partially supported by a spring and 3.A mass m is at rest,partially supported by

12、a spring and partially by stops.In the position shown,the spring force is partially by stops.In the position shown,the spring force is mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mass.Determine the motion of the mass.

13、mass.Determine the motion of the mass. k m PROBLEMSPROBLEMS： 5.A mass m5.A mass m1 1 hangs from a spring k and is in static equilibrium. hangs from a spring k and is in static equilibrium. A second mass mA second mass m2 2 drops through a height h and sticks to m drops through a height h and sticks

14、to m1 1 without rebound.Determine the subsequent motion y(t) measured without rebound.Determine the subsequent motion y(t) measured from the static equilibrium position of mfrom the static equilibrium position of m1 1 and k. and k. 1 m k 2 m h PROBLEMSPROBLEMS： 6.For a system with damping ratio ,det

15、ermine the number of 6.For a system with damping ratio ,determine the number of free vibration cycles required to reduce the displacement free vibration cycles required to reduce the displacement amplitude to 10% of the initial amplitude,the initial velocity amplitude to 10% of the initial amplitude,the initial velocity is zero.is zero. 7.7.若