2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù)第1課時(shí) 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 單位圓與周期性教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時(shí)單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 單位圓與周期性核心必知1任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1）單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)為半徑的圓，稱為單位圓(2）正弦、余弦函數(shù)的定義:如圖所示，設(shè)是任意角，其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓o交于點(diǎn)p(u,v）,那么點(diǎn)p的縱坐標(biāo)v叫作角的正弦函數(shù),記作vsin_；點(diǎn)p的橫坐標(biāo)u叫作角的余弦函數(shù),記作ucos_（3)正弦、余弦函數(shù)的定義域，值域：通常,我們用x表示自變量，即x表示角的大小，用y表示函數(shù)值,這樣我們就定義了任意角三角函數(shù)ysin_x和ycos_x它們的定義域?yàn)?/p>

2、r，值域?yàn)?，1(4）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)象限三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 2。周期性(1)周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x），如果存在非零常數(shù)t，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值,都有f（xt)f(x)，則稱f(x）為周期函數(shù)，t稱為這個(gè)函數(shù)的周期（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k（kz，k0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè)，稱為最小正周期(3）終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系sin（2k)sin_(kz)；cos（2k）cos_（kz)問(wèn)題思考1等式sin(30120)sin 30是否成立？如果這個(gè)式子成立，那么能

3、否說(shuō)明是正弦函數(shù)ysin x的周期?提示：根據(jù)三角函數(shù)的定義sin 150sin 30成立，但不能說(shuō)是ysin x的周期，在周期函數(shù)定義中，對(duì)每一個(gè)x都有f（xt)f(x)，則t是周期，而等式sin（x120)sin x，不是對(duì)任意的x成立如x0時(shí)sin 120sin 0。2公式sin(2kx）sin x，kz；cos(2kx）cos x，kz，揭示了什么規(guī)律，有什么作用？提示:(1)由公式可知,三角函數(shù)的值有“周而復(fù)始的變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次(2)利用此公式,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2（或0到360)角的三角函數(shù)值講一講1已知角的終邊在射線

4、y2x（x0)上,求角的正弦值和余弦值嘗試解答法一:設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p(x，y），則y2x(x0）又因?yàn)閤2y21，所以于是sin y，cos x.法二:在角的終邊上任取一點(diǎn)p(x,y)（x0)，則op|x，又因?yàn)閤0,所以opx.所以sin ；cos 。求任意角的正弦、余弦值常用的兩種方法:（1）利用單位圓中的正、余弦函數(shù)的定義(2）利用正、余弦函數(shù)定義的推廣：若p（x，y）是角終邊上的任意一點(diǎn)，則sin ，cos 練一練1多維思考本講中,把“射線y2x（x0)”改為“直線y2x，求sin ，cos .解：設(shè)直線y2x與單位圓的交點(diǎn)為p（x,y）則解得p（，）或（，)當(dāng)x0時(shí)，p（

5、，)，則sin ,cos ；當(dāng)x0時(shí),p(，），則sin ,cos 。講一講2（1）判斷符號(hào)：sin 340cos 265；（2）若sin 20，且cos 0，試確定所在的象限嘗試解答（1）340是第四象限角,265是第三象限角，sin 3400，cos 2650.(2)sin 20，2k22k(kz），kk(kz）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k2m(mz），有2m2m(mz）；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k(2m1)(mz）有2m0;當(dāng)角的終邊在y軸的右側(cè)時(shí)，cos 0.2對(duì)于確定角所在象限的問(wèn)題，應(yīng)首先確定題目中所有三角函數(shù)的符號(hào)，然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定角所在象限，則它們的公共象限即為所求3由k0 bsi

6、n 0，cos 0csin 0 dsin 0,cos 0時(shí),sin ,cos ，當(dāng)a0時(shí)，sin ，cos .一、選擇題1如果315角的終邊過(guò)點(diǎn)(2，a），則a等于（)a2 b2 c d2解析:選bcos(315)cos 45，,解得a2，又315是第一象限角，a22cos 等于（）a b. c1 d1解析：選bcos cos cos 。3已知角的終邊過(guò)點(diǎn)（x，6),若sin ，則x等于()a。 b c d解析：選dsin ，解得x。4設(shè)a是第三象限角，且|sin sin ，則是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角解析:選da是第三象限角,是第二、四象限角又sin |sin

7、 0，sin 0，易知為第四象限角二、填空題5sin （330）_解析:sin（330)sin（36030)sin 30。答案：6如果cos xcos x,那么角x的取值范圍是_解析:cos xcos x，cos x0,2kx2k，kz.答案：x2kx2k,kz7若點(diǎn)p(2m，3m)(m0）在角的終邊上，則sin _,cos _解析：如右圖，點(diǎn)p（2m，3m）（m0）在第二象限,且rm,故有sin .cos 。答案：8sin 420cos 750sin（690）cos（660）_解析：原式sin（36060)cos(72030）sin(72030）cos（72060)sin 60 cos 30sin 30cos 601。答案：1三、解答題9已知f(x3）,求證：f（x）是周期函數(shù),并求出它的一個(gè)周期解：f（x6）f（x3)3f(x),f（x）是周期函數(shù)，且6是它的一個(gè)周期10已知cos 0，sin 0.（1)求角的集合；(2）判斷sin，cos的符號(hào)解：(1)由cos 0，sin 0可知，的終邊落在第三象限角的集合為2k2k，kz（2）2k2k，kz，kk，kz，即落在第二或第四象限當(dāng)為第二象限角時(shí)，s