八年級數(shù)學上冊 專題突破講練 輕松證全等試題 （新版）青島版

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精輕松證全等一、全等變換全等變換是進行全等三角形綜合應用時要重點掌握的內容。全等變換是指將一個圖形通過平移、旋轉、翻折等方法改變圖形位置,但形狀、大小均不改變。平移：將圖形平行移動到另一位置.相關定理:平行線間的平行線段相等，平行線間的距離相等.旋轉：圖形繞某一點向某一方向旋轉一定的角度。通常為60度或90度或180度。翻折：將圖形沿某一條線折疊。二、全等三角形常用的輔助線1. 有以線段中點為端點的線段時,常延長加倍此線段，構造全等三角形。倍長中線法通常是全等變換中的旋轉思想的應用。常用以下形式作輔助線延長ad到e，使de=ad，連接be間接倍長作cfad于f,作bea

2、d的延長線于e，連接de2。 分析證明一條線段等于兩條線段和(差）的基本方法有兩種：（1）補短法:通過添加輔助線“構造”一條線段，使其為求證中的兩條線段之和，再證明所構造的線段與求證中那一條線段相等。如圖:延長ab，使be=bd，連接de，則ac=ab+bd。（2）截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段,再證明截剩的部分與線段中的另一段相等。如圖:在ac上截取ae=ab，連接de，則ac=ae+ec=ab+bd。方法歸納:1. 注意圖形是如何變換后全等的，特別注意旋轉與翻折的區(qū)別。2. 應用輔助線解決問題時，注意重新繪制圖形,不要在習題上直接作線，這樣不方便后面

3、改動。3. 認真讀題目、分析已知是關鍵，注意題干中的條件變化，如中點是否始終在圖形的變化中存在，直接影響到證明時是否使用中點這一條件。技巧歸納：(1）條件充足時直接應用在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，證明兩個三角形全等的條件比較充分。只要同學們認真觀察圖形,結合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等。（2)條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件。解這類問題的基本思路是：逆向思維,逐步分析，探索結論成立的條件，從而得出答案。（3）條件比較隱蔽

4、時,可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時,可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系,使條件由隱變顯,從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等.（4)條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法(5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法在近年中考中出現(xiàn)的與全等三角形有關的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學理念,應當引起同學們的重視。總結：1. 充分理解全等變換的內容，理解圖形變化前后的關系為全等。 2。 使用輔助線證明是解題的關鍵，需要通過不斷的訓練提高分析能力，掌握不同圖形添加不同的輔助線作法。例題1 如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，

5、將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在點,兩條直角邊分別與交于點,與延長線交于點。則四邊形的面積是 。解析:根據(jù)全等三角形的判定可知adf與abe全等，所以四邊形的面積等于原正方形的面積.答案：解:fae=90，dab=90,daf=bae，adfabe(asa）四邊形的面積正方形abcd的面積，正方形邊長為4四邊形的面積16點撥：本題主要考查全等三角形的判定以及圖形轉化的應用.例題2 正方形abcd中，e為bc上的一點，f為cd上的一點,be+df=ef,求eaf的度數(shù)。 解析：延長eb到g,使得bg=df，易證abgadf(sas），可得af=ag，進而求證aegaef，可得eag=eaf

6、，再求出eag+eaf=90即可解題。答案：解：延長eb到g，使得bg=df，在abg和adf中，由可得abgadf（sas），bag=daf，ag=af，又ef=be+df=eb+bg=eg，ae=ae，在aeg和aef中，aegaef（sss），eag=eaf,daf+eaf+bae=90，eag+eaf=90,eaf=45。故答案為：eaf=45。點撥：本題是截長補短類證明的典型例題，考查了全等三角形的判定及全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證eag=eaf是解題的關鍵。倍長中線證明全等中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線.所

7、謂倍長中線法,就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法。下面舉例說明。拓展 如圖，在abc中，ad為bc邊上的中線.已知ac=5，ad=4,則ab的取值范圍是_。解析：延長ad到e,使de=ad,連接ce，利用“邊角邊”證明abd和ecd全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得ce=ab,然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊解答。答案：解:延長ad到e，使de=ad,連接ce,則ae=2ad=24=8，ad是bc邊上的中線,bd=cd,在abd和ecd中,abdecd(sas)，ab=ec，又ac=5，ae=85+8=

8、13，85=3，3ce13,即ab的取值范圍是:3ab13.故答案為:3ab13.(答題時間：45分鐘）一、選擇題1。 如圖，在abc中，ad為bc邊上的中線.則ab+ac( )2ad。a。 2 ad。2. a 解析:oa=oa,aob=aob，ob=ob,oaboab（sas），所以理由是sas。3. d 解析:bac=dae=90,bac+cad=dae+cad，即bad=cae，在bad和cae中，abac,badcae，adae，badcae(sas)，bd=ce，本選項正確；badcae，abd=ace,abd+dbc=45，ace+dbc=45,dbc+dcb=dbc+ace+ac

9、b= 90，則bdce，本選項正確；abc為等腰直角三角形，abc=acb=45，abd+dbc=45,abd=ace，ace+dbc=45，本選項正確;綜上，正確的個數(shù)為3個。故選d4。 d 解析:解：當兩個三角形都是銳角三角形時，如圖1,am,dn分別是abc和def的高，且bc=ef，am=dn，圖1ac=df，amcdnf90,在rtamc和rtdnf中,acdf，amdn，amcdnf（hl）,mca=nfd，即這兩個三角形的第三條邊所對的角也相等；當兩個三角形都是鈍角三角形時,同樣有兩個三角形的第三條邊所對的角也相等;當兩個三角形都是直角三角形時，同樣有兩個三角形的第三條邊所對的角

10、相等且互補；當兩個三角形一個是鈍角三角形，另一個是銳角三角形時，如圖2，am,dn分別是abc和def的高，且bc=ef，am=dn，ac=df，易證得rtamcrtdnf，acm=dfn，而acb+acm=180,acb+dfe =180，即這兩個三角形的第三條邊所對的角互補。所以如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角相等或互補.故選d。圖25. a 解析：在正方形abde和正方形acfg中，ab=ae，ac=ag,bae=cag=90，bae+bac=cag+bac,即cae=bag，在abg和aec中，abae caebag acag，ab

11、gaec（sas),bg=ce，故正確;設bg、ce相交于點n,abgaec,ace=agb，ncf+ngf=acf+agf =90+90=180,cng=360（ncf+ngf+f）=360（180+90）=90，bgce,故正確；過點e作epha的延長線于p，過點g作gqam于q，ahbc，abh+bah=90，bae=90，eap+bah=18090=90，abh=eap，eam=abc，故正確，在abh和eap中，ahbp90，abheap，abae，abheap（aas），ep=ah,同理可得gq=ah,ep=gq，在epm和gqm中，pmqg90,empgmq，epgq,epmgq

12、m(aas），em=gm，am是aeg的中線，故正確。綜上所述，結論都正確。故選a。6。 13 解析:四邊形abcd是正方形（已知），ab=ad，abc=bad=90；又fab+fba=fab+ead=90，fba=ead（等量代換)；bfa于點f,dea于點e,在rtafb和rtdea中，afbdea90，fbaead，abda,afbdea（aas)，af=de=8，bf=ae=5（全等三角形的對應邊相等），ef=af+ae=de+bf=8+5=13.故答案為：13。7。 、解析：bec=adc=90，bce=cad，abe=bad 正確;bce+eca=90，eca+cad=90，bce

13、=cad，又e=acb=90，ac=bc，cebadc 正確；ce=ad，be=cd，adbe=de 正確；而不能證明，故答案為、。故填、。8。 或 解析：根據(jù)sss，可知由,可得出abcade，由全等三角形的對應角相等可得出，故真命題是;根據(jù)sas,可知由，可得出abcade，由全等三角形的對應邊相等可得出，故真命題是.故填或。9. ef 解析：如圖，延長ad至m，使dm=ad，連接bm，ad是abc的中線，bd=cd，在acd和mbd中,addm，adcmdb,cdbd，acdmbd（sas）,m=cad，ac=bm，be=ac，bm=be，m=bem，bem=cad,bem=aef（對頂

14、角相等），aef=cad，af=ef（等角對等邊）.即與af相等的線段是ef.10。 證明:如圖在cd上截取cf=bc,fcebce（sas），2=1。又adbc,adc+bcd=180，dce+cde=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在fde與ade中，3=4，de=de，fde=ade。fdeade（asa）,df=da，cd=df+cf，cd=ad+bc。11。 be+cffp=ef。證明：延長ed至p,使dp=de，連接cp、fp，d是bc的中點，bd=cd，在bde和cdp中,dpde，edbcdp，bdcd，bdecdp(sas），be=cp，dedf，de=dp，ef=

15、fp,在cfp中，cp+cf=be+cffp=ef。12。 （1）證明:在cbf和dbg中,bcbd，cbfbdg60,bfbg,cbfdbg(sas），cf=dg；（2）解：cbfdbg，bcf=bdg，又cfb=dfh，dhf=cbf=60,fhg=180dhf=18060=120.13. （1)ae+cf=ef，（2）如圖2,(1）中結論不成立。證明：（1）延長fc到h，使ch=ae，連接bh，abad，bccd，a=bch=90，在bch和bae中bcab,bcha,chae，bchbae（sas），bh=be，cbh=abe,abc=120，mbn=60,abe+cbf=12060=60，hbc+cbf=60，hbf=60=mbn，在hbf和ebf中,bhbe,hbfebf，bfbf，hbfebf（sas），hf=ef,hf=hc+cf=ae+cf，ef=ae+cf。（2）證明：(1)中的結論不成立,線段ae、cf，ef的數(shù)量關系是ae=ef+cf,證明:在