概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章1講解

1、第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1 1 隨機變量的概念隨機變量的概念 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 了解什么是隨機變量；了解什么是隨機變量； 隨機變量的分類隨機變量的分類 隨機事件可以采取數(shù)量的標(biāo)識。 如：抽樣檢查產(chǎn)品時廢品的個數(shù)。 擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)。 對沒有數(shù)量標(biāo)識的事件，可以人為加上數(shù)量標(biāo)志。 如：產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品記為1，次品記為2，廢品記為3。 天氣下雨記為1，不下雨記為0。 一般用希臘字母 ， ， 或大寫英文字母X、Y、Z表示。 定義定義1 1 對于隨機試驗對于隨機試驗，每個樣本點每個樣本點 都對應(yīng)著一個實數(shù)都對應(yīng)著一個實數(shù) ， 而而 是隨機試驗結(jié)果變化的一個變量，稱之為隨機變量。

2、是隨機試驗結(jié)果變化的一個變量，稱之為隨機變量。 w)(w )(w 例如： (1)射擊擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記0分。用表示 射擊的得分，它是隨機變量，可取0和1兩個值。 (2)拋一枚硬幣， 表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，它是隨機變 量，可取0和1兩個值。 (3)某段時間內(nèi)候車室旅客數(shù)目記為 ，它可取0及一切 不大于最大容量M的自然數(shù)。 (4)一塊土地上農(nóng)作物的產(chǎn)量是隨機變量，它可以取區(qū) 間0，T的一切值。 (5)沿數(shù)軸運動的質(zhì)點，它的位置是隨機變量，可以取 任何實數(shù)，即 (-,+) 隨機變量按取值情況分為兩類： (1)離散型隨機變量 只可能取有限個或無限可列個值。 (2)非離散型隨機變量 可以在整個數(shù)

3、軸上取值，或至少有一部分值取某實 數(shù)區(qū)間的全部值。 非離散型隨機變量中最常用的是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量。 即取值于一個連續(xù)區(qū)間全部數(shù)值的隨機變量。 2 隨機變量的分布隨機變量的分布 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 分布函數(shù)的定義；分布函數(shù)的定義； 離散型隨機變量的概率函數(shù)和概率分布；離散型隨機變量的概率函數(shù)和概率分布； 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)和概率密度函連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)和概率密度函 數(shù)數(shù). 定義定義 若是一個隨機變量，對任何實數(shù)x，令 F(x)=P( x) 稱為F(x)是隨機變量的分布函數(shù)。 對任意實數(shù)ab,有 P(a b)=P( b)-P( a) =F(b)-F(a) 分布函數(shù)完整地描

4、述了隨機變量的變化情況。 注意 P(a b)=P( =a)+P(a b) =P( =a)+F(b)-F(a) P(a b)=P(a b)-P( =b) =F(b)-F(a)-P( =b) (一一)離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布 定義1 如果隨機變量只取有限個或可列個可能值，而且 以確定的概率取這些不同的值，則稱為離散型隨機變量。 一般列成概率分布表： 12k 12k xxx Pppp . . 也可寫成P( =x k) = P k(k=1,2,) 稱之為概率函數(shù)。 其中 x1, =x2, =x k,構(gòu)成完備事件組。 離散型隨機變量的分布是指概率分布表或概率函數(shù)概率分布表或概率函數(shù)。 性

5、質(zhì)：（1）Pk0, k=1,2, （2） k k P1 例1 一批產(chǎn)品的廢品率為5，從中任意抽取一個抽取一個進行 檢驗，用隨機變量描述廢品出現(xiàn)的情況。 解：用表示廢品的個數(shù)。 1表示產(chǎn)品的廢品， 0表示產(chǎn)品的合格品。 01 P0 950 05. 或P( =k)=(0.05)k(0.95)1-k,(k=0,1) 0 x0 F x0 950 x1 1x1 ( ). 其分布函數(shù)為 分布函數(shù)的圖形： x 0 1 0.95 1 12 12 xx Ppp 一般地： 稱為兩點分布。 01 P1 pp 稱為0-1分布。 例2 產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三 等品率和廢品率分別為60，10，20，

6、10，任 取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，用隨機變量描述檢驗結(jié)果。 解：用k表示產(chǎn)品為k等品，k1，2，3 4表示產(chǎn)品為廢品 概率分布表為 1234 P06010201. 0.1 12340 1 p 0 x1 0 61x2 0 72x3F x 0 93x4 1x4 . .( ) . 分布函數(shù)為 1234 0.1 0.6 1 例3 用隨機變量描述擲骰子的試驗情況。 解：令表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)。 123456 111111 P 666666 1 Pkk1 26 6 (), ,., 或?qū)憺?， 其分布函數(shù)為： 0 x1 k F xkxk1 k1 2 3 4 5 6 1x6 ( ),(, , , , ) 其

7、圖形為 k ij 1 Pxk1n n ijxx (),., , 若概率函數(shù)為 且時稱 服從離散型均勻分布。 離散型隨機變量的分布函數(shù)圖形是階梯曲線。 在的取正概率的點x k處有跳躍，躍度為概率躍度為概率p k 在任一連續(xù)點在任一連續(xù)點x x上，上， 取值取值x x的概率都是零的概率都是零。 1 6 1 0123456 分布函數(shù)具有如下的性質(zhì)： 1x0F x1( )(,)( ) 對一切成立 F(x)是概率，取值在0與1之間。 (2)F(x)是x的不減函數(shù)。 x所含基本事件個數(shù)不會隨x增大而減少。 x (3)lim F(x)=1 x lim F(x)=0 (4)F(x)至多有可列個間斷點，在其間斷

8、點上右連續(xù)。 4 0 x0 0 090 x1 0 451x2F x 0 862x5 1x5 . .( ) . 例已知離散型隨機變量 的分布函數(shù)為 求 的概率分布。 解：在跳躍點的躍度就是概率。 故概率分布表為 0125 P0 090 360 410 14. 5 210123 P2a3aa2aaa a 例已知離散型隨機變量 的分布為 求 的值，并求出P(1)及P(1) 解：概率之和應(yīng)為1 12a+3a+a+2a+a+a =10a 故 a=0.1 概率表應(yīng)為 210123 P0 20 30 1 0 20 1 0 1. P10 20 30 1 0 2(). P10 30 10 2(). =0.8 =

9、0.6 6 例某射手射擊某一目標(biāo)，直到射中為止。某每次 射擊命中率為p，求射擊次數(shù) 的分布 1P1p() 解： 表示第一次射擊命中， 2P2() 表示第二次命中，第一次未中， (1-p)p i 1 iii 1i1pp()() 表示第 次命中，前次未中，P 的概率函數(shù)為 i 1 Pip 1 pi1 2()(), ,. i 1 1 i-1 易見p(1-p) 這種隨機變量稱為幾何分布幾何分布。 例7 盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺 口，5個卡口，燈口向下放著?，F(xiàn)在需要1個螺口燈泡，從 盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不再放回去。求在取 到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)的分布。 解

10、： 0表示第一個就取到了螺口燈泡。 1表示第一個取到卡口，第二個才取到螺口燈泡。 102 P0 153 () 5105 P1 151421 () 541020 P2 151413273 () 543105 P3() 54321010 P4 151413 12113003 () 543211 P5 15141312113003 () 故的分布為 012345 25205101 P 32127327330033003 若本題改為取到卡口再放回去。則每次取燈泡時的情況完全相同。 k表示前k次取到卡口燈泡，第k1次取到螺口燈泡。 k 510 Pk 1515 () k 12 3

11、3 k0，1，2， 例8 一袋中裝有編號為1，2，3，4，5的五個小球，任取 3個，用表示球上的最大號碼，求的分布。 解： 至少為3 3 5 1 P30 1 C (). 2 3 3 5 C P40 3 C (). 2 4 3 5 C P50 6 C (). 故的概率分布為 345 P0 10 30 6. (二)連續(xù)型隨機變量的分布 例9 在區(qū)間4，10上任意拋擲一個質(zhì)點，用表示這個 質(zhì)點與原點的距離，則是一個隨機變量。若這個質(zhì)點 落在4,10上任一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個區(qū)間長度成正比上任一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個區(qū)間長度成正比， 求的分布函數(shù)。 c d4 10 , ,解：若 P cddc()() 則

12、 其中 是比例常數(shù)。 c4 d10P 4106,() 若取則 P 4101() 而 1 6 故 圖形為 F(x) 1 x 410 F x( ), 在(-)連續(xù)，沒有間斷點。 取任何一個具體值的概率都是零。 1 6 x( ). 比例系數(shù) 反映了概率分布在任一子區(qū)間 c,d上的密集程度，記作 1 )4( 6 1 0 )()(xxPxF 10 104 4 x x x 1 4x10 x6 0 ( ) 其它 x F xt dt( )( ) 分布函數(shù) x 2xF x F xt dt x0 定義對任何實數(shù) ，若隨機變量 的分布函數(shù) 可以寫成 其中則稱 為連續(xù)型隨機變量。 ( ) ( )( ) ( ), xx

13、( )( ):稱為 的概率密度，常寫為 概率密度的基本性質(zhì)： (1) (x) 0 2x dx1( )( ) 由于P( =a)=P(=b)=0,故對連續(xù)型隨機變量 P(a b)=P(ab)=P(a b) =F(b)-F(a) b a x dx( ) x 由F(x)=(t)dt可見 x0 P xxx x x () ( )lim xx( )不是 取值為 的概率， xx( )反映出 在 附近取值的概率大小。 )()(xxF 10 axbab x 0 a b () ( ) , 例若 有概率密度 其它 則稱 服從區(qū)間上的均勻分布。求F(x) 1x dx( ) 解： b a dx ba() 1 ba 故 x

14、 當(dāng)xa時，F(xiàn)(x)=(t)dt x 0dt =0 x 當(dāng)axb時,F(x)=(t)dt ax 1 0dtdt ba xa ba x 當(dāng)xb時,F(x)=(t)dt abx ab 1 0dtdt0dt ba =1 0 xa xa F xaxb ba 1xb ( ) 故 23 11 0 x0 F x3x2x0 x1 1x1 x ( ) ( ) 例已知連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)為 求概率密度 xF x( )( )解： 2 6x6x0 x1 x 0 ( ) 故 其它 12 kx10 x2 x 0 k ( ) 例已知連續(xù)型隨機變量 有概率密度 其它 求系數(shù) 及分布函數(shù)F(x),并求P(1.5 2.5) 2

15、 0 1x dxkx1 dx2k2( )() 解： 1 k 2 x0時 x F xt dt( )( ) x 0dt 0 x F xt dt( )( ) 0 x2時 02x 02 1 F x0dt1t dt0dt 2 ( ) 1 2 0 x0 1 F xxx0 x2 4 1x2 ( ) 故 P(1.52.5)=F(2.5)-F(1.5) 2 1 11 51 5 4 . =0.0625 或者 2 5 1 5 P 1 52 5x dx . . ( . )( ) 22 5 1 52 1 1x dx0dx 2 . . 2 2 1 5 1 xx 4 . 0.0625 2x 13 Axex0 x 0 x0 1A2F x 1 3 P1 2 ( ) ( )( )( )