概率論第五章大數(shù)定律與中心極限定理講解

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 一、大數(shù)定律一、大數(shù)定律 二、中心極限定理二、中心極限定理 本章是關(guān)于隨機變量序列的極限理論。本章是關(guān)于隨機變量序列的極限理論。 目的目的是從理論上對第一章中提出的是從理論上對第一章中提出的“頻率的頻率的 穩(wěn)定性穩(wěn)定性”給出嚴格的數(shù)學(xué)證明。給出嚴格的數(shù)學(xué)證明。 大數(shù)定律大數(shù)定律：對于隨機變量序列：對于隨機變量序列 12 , n XXX 描述其平均值描述其平均值 1 1 n i i X n 在在什么條件什么條件下以下以什么形什么形 式式呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。 中心極限定理中心極限定理：對于隨機變量序列：對于隨機變量序列 12 , n XXX 其部分和其部分和

2、 1 n i i X 在在什么條件什么條件下下以正態(tài)分布為極限以正態(tài)分布為極限 分布。分布。 大數(shù)定律 第五章 第一節(jié) 一、一、 切比雪夫切比雪夫Chebyshev不等式不等式 二、幾個常見的大數(shù)定律二、幾個常見的大數(shù)定律 定義定義1 1 1|lim aXP n n . P n Xa 依概率收斂于依概率收斂于a ，記為，記為 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列 0有有: : 則稱則稱 12 , n XXX ，如果存，如果存 在常數(shù)在常數(shù) a ，使得對于任意，使得對于任意 n X 或或 ,0 2 () |()| D X PXE X 2 () |()| 1 D X PXE X 不等式不等式 成立，成立，

3、 則稱此式為則稱此式為切比雪夫不等式。切比雪夫不等式。 存在，則對任意存在，則對任意 證明證明 設(shè)設(shè) X 為連續(xù)性（離散型類似），其密度為為連續(xù)性（離散型類似），其密度為( )f x 2 ()E XD X和方差 （ ）設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 命題命題 （切比雪夫切比雪夫Chebyshev不等式）不等式） 2 2 |()| () ( ) x E X xE X f x dx 則則 |()| |()|( ) x E X PXE Xf x dx 2 2 1 ()( )xE Xf x dx 2 2 () 1 xE X 2 ()D X 注：注：Chebyshev不等式不等式對隨機變量

4、在以對隨機變量在以()E X 的一個的一個鄰域外取值的概率給出了一個上界鄰域外取值的概率給出了一個上界 2 () . D X 為中心為中心 可見可見D(X) 越小，事件越小，事件|X的概率越接近的概率越接近1 1。 X 的值密集在其數(shù)學(xué)期望附近的概率越大。的值密集在其數(shù)學(xué)期望附近的概率越大。 例如：例如：對未知分布對未知分布X，取，取,2,3 2 2 1/ 389. 0 9 8 2 2 2/12|XP 75. 0 4 3 2 () |()| 1 D X PXE X | 3 PX 例例1 1 一電網(wǎng)有一電網(wǎng)有1 1萬盞路燈，萬盞路燈， 晚上每盞燈開的概率為晚上每盞燈開的概率為0.7.0.7. 求

5、同時開的燈數(shù)在求同時開的燈數(shù)在6800至至7200之間的概率至少為多少之間的概率至少為多少? 解解 設(shè)設(shè)X 為同時開的燈數(shù)。為同時開的燈數(shù)。 4 (10 ,0.7)Xb 由二項分布由二項分布()7000()2100E XnpD Xnpq 68007200PX 用切比雪夫不等式用切比雪夫不等式 68007200PX 4 7200 10 10 6800 0.7 0.3 kkk k C 68007000700072007000PX 7000200P X 2 2100 10.95 200 200 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù) 解解 設(shè)每毫升白細胞數(shù)為

6、設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X 依題意，依題意，EX =7300,DX =7002所求為所求為 21002100PXEX 2 )2100( )( 1 XD 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 2100P XEX 9 8 9 1 1 2100P XEX 52007300730094007300PX 52009400PX 估計每毫升白細胞數(shù)在估計每毫升白細胞數(shù)在 520052009400 9400 之間的概率之間的概率 . . 平均是平均是73007300，均方差是，均方差是700700， 利用切比雪夫不等式利用切比雪夫不等式 例例2 2 2 ) 2100 700 (1 即每毫升白細胞數(shù)在即每毫升白細胞數(shù)在5

7、200-94005200-9400之間的概率不小于之間的概率不小于8/98/9。 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景 大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率 字母使用頻率字母使用頻率 生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的 廢品率廢品率 幾個常見的大數(shù)定律幾個常見的大數(shù)定律 定理定理1 1（切比雪夫大數(shù)定律）（切比雪夫大數(shù)定律） 1 1 lim | 1 n i n i PX n 則則 即對任意的即對任意的 0， 設(shè)設(shè) X1 , X2 , 是一列相互獨立的隨機變量序列，是一列相互獨立的隨機變量序列， 它們都有相同的數(shù)學(xué)期望它們都有

8、相同的數(shù)學(xué)期望 2 () ii E XD X和方差 （ ） 1 1 . n P i i X n 證明證明 1 1 () n i i EX n 11 11 () nn i ii E X nn 2 2 22 11 11 () nn i ii D X nnn 由切比雪夫不等式得：由切比雪夫不等式得： 2 2 1 1 |1 n i i PX nn s me e = - 0，有，有 1|lim p n n P A n 或或0|lim p n n P A n 設(shè)設(shè)nA是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)， 即即. P A n p n 證明證明 引入隨機變量引入隨機變量 1,

9、0 i i X i 第 次 ， 第 次 試驗中A發(fā)生， 試驗中A不發(fā)生， 12i ， ， 顯然顯然 12An nXXX 且且11,2, ii E XpD Xppin（ ）， （ ） （） ， 又由于各次試驗相互獨立，所以又由于各次試驗相互獨立，所以 12 , n XXX獨立同分布獨立同分布, 則由則由辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律可得可得 1|lim p n n P A n 例例3 如何測量某一未知的物理量如何測量某一未知的物理量a ,使得誤差較小？使得誤差較?。?解解 在相同的條件下測量在相同的條件下測量n 次，其結(jié)果為次，其結(jié)果為 12 , n XXX，它們可看成是相互獨立、相同分布的，它們可看

10、成是相互獨立、相同分布的 隨機變量，并且有數(shù)學(xué)期望為隨機變量，并且有數(shù)學(xué)期望為a . 于是由辛欽大數(shù)定律于是由辛欽大數(shù)定律 可知，當可知，當n 時，有時，有 1 1 1 () n P i i XE Xa n 因此我們可取因此我們可取 n 次測量值次測量值 12 , n x xx的算術(shù)平均值的算術(shù)平均值 作為作為a 得近似值，即得近似值，即 1 1 n i i ax n ,當當n充分大時誤差很小。充分大時誤差很小。 例例4 如何估計一大批產(chǎn)品的次品率如何估計一大批產(chǎn)品的次品率 p ？ 由由伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律可知，當可知，當 n 很大時，可取頻率很大時，可取頻率 / A nn作為次品率作

11、為次品率 p 的估計值。的估計值。 大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機 現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一： 平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性 中心極限定理 第五章 第二節(jié) 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景: : 常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的綜合影響常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的綜合影響. . 在實際問題中，在實際問題中， 則這種量則這種量X 一般一般都服從或近似都服從或近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布。 觀察表明：觀察表明： 如果一個量是由如果一個量是由大量相互獨立大量相互獨立的隨機因素的影響所的隨機因素的影響所 造成，造成， n XX

12、XX 21 而每一個別因素在總影響而每一個別因素在總影響X 中所起的作用不大。中所起的作用不大。 n k k n k n k kk n XD XEX Z 1 11 )( )( 正態(tài)分布。正態(tài)分布。 中心極限定理。中心極限定理。這就是下面要介紹的這就是下面要介紹的 的極限分布是的極限分布是標準標準所以所以 定理定理1 1（獨立同分布的中心極限定理）（獨立同分布的中心極限定理） 且服從同一分布，且服從同一分布， 即獨立同分布，且具有相同的期望和方差即獨立同分布，且具有相同的期望和方差 2 01,2, . kk E XD Xkn 則則 設(shè)設(shè) 相互獨立，相互獨立， 12 , n X XX 1 (0,1

13、) n i i Xn N n ，即，即 2 1 (,) n i i XN nn 或或 1 lim( ) n i i n Xn Pxx n 之和總可以近似服從正態(tài)分布之和總可以近似服從正態(tài)分布. . 此定理表明此定理表明，無論，無論 , 21n XXX原來服從什么原來服從什么 分布，分布， 當當n充分大時，充分大時， 例例1 1 某人要測量甲、乙兩地之間的距離。某人要測量甲、乙兩地之間的距離。限于測量限于測量 工具，他分成工具，他分成 1200 段來測量。段來測量。 每段測量誤差（單位每段測量誤差（單位 厘米）服從于（厘米）服從于（-0.5,0.5)上的均勻分布。求總距離誤上的均勻分布。求總距離

14、誤 差的絕對值超過差的絕對值超過20厘米的概率。厘米的概率。 解解 設(shè)第設(shè)第k 段的測量誤差為段的測量誤差為.1200, 2 , 1kX k 120021 ,XXX且且是獨立同分布的隨機變量。且是獨立同分布的隨機變量。且 .1200, 2 , 15 . 0 , 5 . 0kUX k 2 11 ()0()0.5( 0.5) 1212 kk E XD X 累計誤差即總距離誤差為累計誤差即總距離誤差為 n i k X 1 ，由獨立同分布的中，由獨立同分布的中 1200 2 1 (,) k k XN nn 心極限定理可得心極限定理可得 1200 1 (0,100) k k XN ,即即 則所求概率為則

15、所求概率為 20 1200 1k k XP 12 1 1200 20 12 1 1200 0 1200 1k k X P 2 10 0 1 1200 1k k X P 1 22 222 20.02280.0456 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均 值為值為100100小時的指數(shù)分布小時的指數(shù)分布. . 現(xiàn)隨機地取現(xiàn)隨機地取1616只，設(shè)它們的只，設(shè)它們的 壽命是相互獨立的壽命是相互獨立的. . 求這求這1616只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于 19201920小時的概率小時的概率. . 由題給條件知，諸由題給條件知，諸Xi 獨立，獨立，

16、1616只元件的壽命的總和為只元件的壽命的總和為 16 1k k XY 解解 設(shè)第設(shè)第i 只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , , i=1,2, ,16 E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 依題意，所求為依題意，所求為P(Y 1920) 例例2 2 由于由于E(Y )=1600, , D(Y )=160000 由中心極限定理由中心極限定理, ,近似近似N (0,1) 400 1600Y ) 400 16001920 ( 1- 下面介紹定理下面介紹定理1 的特殊情況。的特殊情況。 192011920P YP Y 1(0.8)1 0.78810.2119 定理定理2 2（棣莫

17、佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理）De Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace lim (1) n n np Px npp dte x t 2 2 2 1 n 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 10, ppn的二項分布的二項分布 則對任意的則對任意的，有，有x x (,(1), n N np nppn 近似地 即即 或或 (0,1) (1) n np N npp 證證 因為因為 ( , ) n b n p 所以所以 1 n nk k X 其中其中 1, 01 kk P Xp P Xp k X相互獨立，且都服從（相互獨立，且都服從（0-1）分布。）分布。

18、,(1) kk E Xp D Xpp 由由獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理可得可得 1 lim lim ( ) (1)(1) n k nk nn Xnp np PxPxx nppnpp 注：注：此此定理表明定理表明正態(tài)分布是二項分布的極限分布，正態(tài)分布是二項分布的極限分布， 當當n 充分大時，可以利用正態(tài)分布計算二項分布的概率。充分大時，可以利用正態(tài)分布計算二項分布的概率。 )()( npq npa npq npb ( , ). n YB n p推論：推論： 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 當當n充分大時有：充分大時有： kkn k nn a k b P aYbC p q 這個公式給出了

19、這個公式給出了n 較大時二項分布的概率計算方法。較大時二項分布的概率計算方法。 例例3 報童沿街向行人兜售報紙，假設(shè)每位行人買報報童沿街向行人兜售報紙，假設(shè)每位行人買報 的概率為的概率為0.2, 且他們是否買報是相互獨立的。求報童且他們是否買報是相互獨立的。求報童 向向100位行人兜售之后，賣掉位行人兜售之后，賣掉1530份報紙的概率。份報紙的概率。 解解 設(shè)報童賣掉報紙的份數(shù)為設(shè)報童賣掉報紙的份數(shù)為X ，,Xb n p 416202 . 0100npqnppn 3015 XP 4 2015 4 2030 8862. 01056. 09918. 025. 15 . 2 例例4 有有100100

20、臺車床彼此獨立地工作。每臺車床的實臺車床彼此獨立地工作。每臺車床的實 際工作時間占全部工作時間的際工作時間占全部工作時間的80，求下列事件的，求下列事件的 概率。概率。 1、任一時刻有、任一時刻有7086臺車床工作。臺車床工作。 2、任一時刻有、任一時刻有80臺以上車床工作。臺以上車床工作。 解解 設(shè)任一時刻工作的車床臺數(shù)為設(shè)任一時刻工作的車床臺數(shù)為X 。 416808 . 0100npqnppn 8670 XP 4 8070 4 8086 927. 019938. 09332. 015 . 25 . 1 80180XPXP 5 . 001 ,Xb n p 例例5 某單位有某單位有200200

21、臺電話分機，每臺分機有臺電話分機，每臺分機有5%的時間的時間 要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是相互獨要使用外線通話。假定每臺分機是否使用外線是相互獨 立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以以 上的概率保證分機用外線時不等待？上的概率保證分機用外線時不等待？ 解解 設(shè)有設(shè)有X 部分機同時使用外線，則有部分機同時使用外線，則有),(pnBX 200,0.05,10,(1-)3.08.npnpnpp 設(shè)有設(shè)有N 條外線。由題意有條外線。由題意有9 . 0 NXP 由德莫佛由德莫佛- -拉普拉斯定理得拉普拉斯定理得 NXP (1)(1) XnpNnp P nppnpp 其中其中 10 . 3.08(1) NnpN npp 條外線。即至少要安裝取即14,14.94.13NN .90. 0)28. 1 (查表得 10 1.28 3.08 N 故故 N 應(yīng)滿足條件應(yīng)滿足條件 設(shè)它們是互相獨立的隨機變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是互相獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)(0,10)上上 )20, 2 , 1(kVk . 20 1 k k VV 348.