北京市第四十三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

1、北京市第四十三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題北京市第四十三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題年級：姓名：11北京市第四十三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 一、選擇題（共10小題；共40分）1. 若集合 ，則 等于 a. b. c. d. 2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限 3. 在等差數(shù)列 中，若 ，則公差 a. b. c. d. 4. 在等比數(shù)列 中，首項(xiàng) ，公比 ，則項(xiàng)數(shù) 為 a. b. c. d. 5. 已知向量 ， 與 平行，則實(shí)數(shù) 的值為 a. b. c. d. 6. 已知圓的

2、方程是 ，則該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別為 a. 與 b. 與 c. 與 d. 與 7. 已知橢圓與雙曲線 的焦點(diǎn)相同，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為 ，那么橢圓的離心率等于 a. b. c. d. 8. 已知在 支鉛筆中，有 支正品， 支次品，從中任取 支，則在第一次抽的是次品的條件下，第二次抽的是正品的概率是 a. b. c. d. 9. 端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為 ，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為 ，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少 人回老家過節(jié)的概率為 a. b. c. d. 10. 數(shù)列 ，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契以兔子繁殖

3、為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和即：記該數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則下列結(jié)論正確的是 a. b. c. d. 二、填空題（共5小題；共25分）11. 設(shè)復(fù)數(shù) ，（ 是虛數(shù)單位），則 12. 在 的二項(xiàng)展開式中， 項(xiàng)的系數(shù)為 （用數(shù)字作答） 13. 已知數(shù)列 中， 對 成立，且 ，則 14. 已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 15. 已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，把 中的各項(xiàng)按照一定的順序排列成如圖所示的三角形數(shù)陣：（）數(shù)陣中第 行所有項(xiàng)的和為 ；（） 在數(shù)陣中第 行的第 列，則 三、解答題（共6小題；共85分）16. 設(shè)等差數(shù)列當(dāng) 滿足：

4、，（1）求 的通項(xiàng)公式；（2）求 的前 項(xiàng)和 及使得 最大的序號 的值 17. 等差數(shù)列 中，（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求 的值 18. 如圖，在正方體 中， 為 的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線 與平面 所成角的正弦值 19. 已知橢圓 的離心率為 ，橢圓 上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為 （1）求橢圓 的方程；（2）設(shè)直線 與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) ，且 ，求直線 的方程 20. 圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留 天（1）求此人到

5、達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；（2）設(shè) 是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?（結(jié)論不要求證明） 21. 已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且滿足 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）證明： 是等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式；（3）若對任意的 ，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍答案第一部分1. d2. a3. b【解析】在等差數(shù)列 中，因?yàn)?，所以 解得 4. c5. d【解析】由已知 ，又 ，所以 ，解得：，故選：d6. d【解析】根據(jù)題意，圓的方程是 ，即 ，其圓心為 ，半徑 7. b【解析】雙曲線 的焦點(diǎn)

6、為 ，即為 ，即有橢圓的 ，由橢圓的定義可得 ，可得 ，則橢圓的離心率為 8. c【解析】記事件 ， 分別表示“第一次，第二次抽得正品”，則 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，故 9. b【解析】“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事件 ，則 ，所以 ，由題知 ， 為相互獨(dú)立事件，所以三人都不回老家過節(jié)的概率 ，所以至少有一人回老家過節(jié)的概率 10. d【解析】因?yàn)?所以 第二部分11. 12. 13. 【解析】因?yàn)?，所以 因?yàn)?，所以 14. 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，由題意可得， 解方程可得，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得： 15. ，【解析】（）第 行的 個(gè)數(shù)依次為 ，其和為 （）令

7、，得 ，故 是數(shù)列 中的第 項(xiàng)又?jǐn)?shù)陣的前 行共有 個(gè)數(shù)，前 行共有 個(gè)數(shù)，故數(shù)列 的第 項(xiàng)在第 行，即 ，又 ，故 是第 行的第 個(gè)數(shù)，即 故計(jì) 第三部分16. （1） 由 及 ， 得 解得 所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 （2） 由（1）知 因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值17. （1） 設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，由已知得 解得 所以 （2） 由（）可得 ，所以 18. （1） 如下圖所示：在正方體 中， 且 ， 且 ，所以 且 ，所以，四邊形 為平行四邊形，則 ，因?yàn)?，所以 （2） 以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為 ， 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)正方體 的棱長為 ，則 ， ，設(shè)平面 的法向量為 ，由 得 令 ，則 ，則 因此，直線 與平面 所成角的正弦值為 19. （1） 由已知 ，解得 ，所以 ，所以橢圓 的方程為（2） 由 得，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以解得設(shè) ，則 ，計(jì)算所以 ， 中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，因?yàn)?，所以 ，所以解得 ，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以直線 的方程為20. （1） 設(shè) 表示事件“此人于3月 日到達(dá)該市”根據(jù)題意，且 設(shè) 為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則 ，所以 （2） 由題意可知 的所有可能取值為 ，且 ，所以 的分布列為 故 的期望 （3） 從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大21. （1） 設(shè)等差數(shù)列 的公差為