現(xiàn)代控制理論魯棒控制

1、魯棒控制理論初步魯棒控制理論初步 一、反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)一、反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 做如下變換做如下變換 () () dss dclscl Hy eR Hru HyRu Hr Hr Hy ue DRu Hr D Hr 結(jié)構(gòu)圖化成 若不考慮傳感器動態(tài)時，則 為常數(shù)，可選 擇 ，上結(jié)構(gòu)圖就變成單位負(fù)反饋的結(jié)構(gòu)。 Hy HrHy 定義： R：參考輸入 W：外擾動輸入（常值或隨機(jī)信號，對飛行器 為高斯白噪聲或有色噪聲） V：噪聲輸入（隨機(jī)信號、有色噪聲） Y: 系統(tǒng)輸出 二、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)描述 (1)系統(tǒng)對常值擾動信號所允許的穩(wěn)態(tài)誤差，或 對隨機(jī)擾動信號的濾波能力或誤差 (2)對多項式參考輸入

2、信號，如斜坡和階躍信號 所允許的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差 (3)系統(tǒng)動態(tài)性能對模型參數(shù)變化的靈敏度 (4)系統(tǒng)在階躍參考輸入或擾動輸入時的動態(tài) 性能，如上升時間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等 (5)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 重點要研究的是（1）和（3） 三、例子：滾轉(zhuǎn)速度控制系統(tǒng) 飛機(jī)理想滾轉(zhuǎn)時，則微分方程模型為： 其中， 為滾轉(zhuǎn)角速度， 是副翼偏角， 外 擾動（外擾動一般等效為滾轉(zhuǎn)力矩，在此方程中 ， 為轉(zhuǎn)動慣量）。 a a =L pD pLpL p a D L x = J D L 外擾力矩 x J 飛機(jī)滾轉(zhuǎn)模型為： aa a aa 11 ( )( )( )( )( ) DD ppp LL p ssLssLs sLsLs

3、LL 開環(huán)控制系統(tǒng)為 設(shè)Hr=1，并且選擇比例控制， 則 olol DK aa a 11 ( )() () ol olDD ppp LKL p sKRLRL LsLsLsL 設(shè)：R和 的穩(wěn)態(tài)值分別為R=a， =b 則： 的穩(wěn)態(tài)解為 定義： 從R到 的傳遞函數(shù)為 開環(huán)增益 設(shè)： 則 D L D L p a 0 1 | sssol pp L ppKab LL p aa ( ) ololol pp LL TsHr DK sLsL a olol p L TK L a p L A L olol TKA 閉環(huán)控制系統(tǒng) a a a a ( ) 1 cl clp cl pcly cly p L D DLsL

4、p TsHrHr L RsLDLH DH sL 其中 為開環(huán)傳函或稱回路傳函 設(shè)：Hr =Hy =1， ，則 回路增益為 a cl p DL Hy sL DK clcl a a ( ) () cl pcl KL p sR sLKL a cl p KL L ， 而在W的作用下（設(shè)R=0，V=0） 而在V的作用下（設(shè)R=0，W=0） a a ( ) () cl pcl KL p sV sLKL a 1 ( ) () pcl p sW sLKL 用迭加原理，可得 設(shè)V的穩(wěn)態(tài)值為c 穩(wěn)態(tài)解為 aa aaa 1 ( ) ()()() clcl pclpclpcl KLKL p sRWV sLKLsLKL

5、sLKL aa aaa aa aaa 1 1 111 clcl ss pclpclpcl clcl ppp clclcl ppp KLKL pabc LKLLKLLKL LL KK LLL ab LLL KKK LLL c 1. 結(jié)論 a.若在常值擾動作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差比 開環(huán)系統(tǒng)小 倍，其中 是s=0時的回路增益 b.若在常值噪聲作用下，閉環(huán)系統(tǒng)是無法克服 的，并且常值噪聲幾乎對輸出的影響與輸入 的影響是相當(dāng)?shù)?a 1(/) clp KLL a (/) clp KLL 因此： （1）對傳感器來說必須增加信噪比 （2）Hy應(yīng)設(shè)計動態(tài)環(huán)節(jié)來抑制噪聲 計算實例 若設(shè) 、 、a=1 、b=0.1

6、7 、 開環(huán)系統(tǒng) 無擾動時 有擾動時 誤差 或 a 27.276L1.7 p L 0.06 ol K 27.276 0.0610.96 1.7 a ssol p L pKa L a 10.17 0.961.06 1.7 ssol pp L pKab LL | 0.1 olssss pp 0.1 100%10.42% 0.96 ol ss P 閉環(huán)系統(tǒng) 無擾動時 有擾動時 誤差 或 故閉環(huán)系統(tǒng)比開環(huán)系統(tǒng)的抗干擾能力提高了100 倍以上。 a a (/) 160 10.99 1(/)1 160 p sscl clp LL pKa KLL a (1/) (1/1.7) 0.990.170.9906

7、1(/)1 160 p ssss clp L ppb KLL | 0.0006 clssss pp 0.0006 100%0.06% 0.99 cl ss P 四、系統(tǒng)增益對參數(shù)不確定性的靈敏度 1. 開環(huán)系統(tǒng)： 系統(tǒng)增益即開環(huán)增益 （s=0 的值） 參數(shù)的不確定性可表達(dá)為：飛機(jī)飛行時由初 始狀態(tài)A變化為 ,這樣開環(huán)增益則從 變化 為 a ( ) ololol p L TsKKA L AA ol T olol TT 則 考慮開環(huán)增益的相對變化誤差定義為 () ololololololol TTKAAKAKATKA olol TKA olol olol TKAA TKAA 且定義 為關(guān)于參數(shù)A從

8、輸 入R到輸出 的系統(tǒng)增益的靈敏度函數(shù)，開環(huán)系 統(tǒng)的系統(tǒng)增益靈敏度為： 2. 閉環(huán)系統(tǒng)：系統(tǒng)的增益為 (/)/(/) ol olol T A STTA A p 1 ol T A S 0 (/) | 1(/)1 a a clp cl cls clpcl KLL KAp T RKLLKA 當(dāng) 時， 為求 則考慮到 ： （ ） 故 ： （一個好的系統(tǒng)的靈敏度應(yīng)足夠的?。?AAA clclcl TTT () 1 () clcl cl cl AAK TT AAK cl cl T T cl cl dT TA dA ( ) clcl TTA () clcl clcl T dTAA TTdAA 從而閉環(huán)系統(tǒng)的

9、系統(tǒng)增益的靈敏度的定義為 與開環(huán)系統(tǒng)相比：在反饋子系統(tǒng)中，系統(tǒng)傳 函的增益（s=0）對受控對象參數(shù)的靈敏度是開 環(huán)系統(tǒng)的 倍。 2 (1)(1)()1 (1)1 ol T clclclclclcl A clclclcl dTKAKKAKA KA S TdAKKAKA 1/(1) cl KA 計算實例：閉環(huán)系統(tǒng) 表明若 變換10%，即 則系統(tǒng)增益 此時 僅取為10 而開環(huán)系統(tǒng) 因此 ： 則 a 11 0.0062 1(/)1 10 16 ol T A clp S KLL a (/) p LL 10% A A 0.062% cl cl T T cl K 1 cl T A S 10% A A 10%

10、 ol ol T T 所以閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度僅為開環(huán)系統(tǒng)的 0.0062倍，能極大地抑制參數(shù)的不確定性。 五、抗噪聲問題 建立誤差方程 則 仿照靈敏度的定義 EpR aa aaa a 1 () 111 cl pp clclcl ppp LL K sLsL W ERV LLL L KKK sLsLsL 定義靈敏度函數(shù) 補(bǔ)充靈敏度函數(shù) 則誤差方程 ( )( ) 1 1( )( ) D sG s T D sG s a W ERTVG WW L a 11 1( )( ) 1 cl p L D sG s K sL 若設(shè)計D(s)，使 ，意味著 （1） （2） （1）可以做到 （2）不可能，如何解決 0E

11、0 0T 假定： （1）R和W并不是在所有頻率范圍內(nèi)都有很大的 值，即R和W的變化是不一致的，變化的范 圍也不同 （2）可以設(shè)計Hy，使得V經(jīng)過Hy后在低頻段保持 有較小的值，即傳感器只在對象變化時有 輸出，類似高通濾波器。 （3）設(shè)計D，使得 在R和W主頻范圍內(nèi)很小， 也可以使得T在高頻范圍內(nèi)的分量很小，這 樣就可以獲得。 六、根據(jù)靈敏度函數(shù)定義的性能指數(shù) 1.到目前為止，還是通過系統(tǒng)對簡單的階躍或斜 坡輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)來描述系統(tǒng)的動態(tài)性能 （如二階系統(tǒng)）。 2.對于實際的輸入信號，更為精確的描述是將信 號看成是有一定功率譜密度的隨機(jī)過程。 3.設(shè)u(t)是單變量隨機(jī)過程。一般而言，隨機(jī)過

12、 程的統(tǒng)計特性（平均值、均方差、相關(guān)函數(shù)和 頻譜函數(shù)等）也是隨時間變化的，這種過程稱 為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，但非平穩(wěn)隨機(jī)過程的處理 方法還沒有成熟的方法。目前的應(yīng)用中，往往 限于研究平穩(wěn)隨機(jī)過程，即該過程的統(tǒng)計特性 不隨時間變化，因此功率譜密度只研究平穩(wěn)隨 機(jī)過程的特性。 4.平穩(wěn)隨機(jī)過程u(t)的統(tǒng)計特性 平均值定義為 平穩(wěn)隨機(jī)過程 u(t)的平均值 或稱高斯 隨機(jī)過程 0 1 lim( ) 2 T u Tt u t dt T 0 u u(t)的均方差定義為 U(t)的相關(guān)函數(shù) 在物理意義上， 反映了隨機(jī)過程u(t)在 時間坐標(biāo)軸上的先后相關(guān)程度。 22 0 1 lim( ) 2 T u Tt

13、u t dt T 0 1 ( )lim( )() 2 T u Tt Ru tu tdt T ( ) u R （1）若 則 （2） 為偶函數(shù) （3） 表明若間隔 無限增大，u(t) 失去了先后相關(guān)性 （4） 為u(t)的特征時間 0 2 (0) uu R ()( )RR lim( )0R 2 0 1 ( ) t u TRd 相關(guān)函數(shù) 的Fourier變換即是相關(guān)函數(shù)的頻 譜函數(shù) 其中： 是時間頻率， 由于 ，則 ( ) u R 1 ( )( ) 2 j uu Red ()( ) uu RR ()( ) uu 相關(guān)函數(shù)是頻譜函數(shù)的Fourie逆變換 因此 可見頻譜曲線 與 軸范圍的面積分就 等于u

14、(t)的方差 。 ( )( ) j uu Red 2 0 (0)2( )( ) uuuu Rdd ( ) u 2 u 而均方差 則表征了隨機(jī)過程的功率或能量 的大小。因此頻譜函數(shù) 表征了隨機(jī)過程的功 率按頻率 的分布。（頻率 （ ）內(nèi)功率 的大小），故稱 為功率譜密度。 u ( ) u 0 ( ) u 在飛行環(huán)境中，一般大氣紊流均采用功率譜 密度的形式來表示，只是采用空間頻率作為自變 量，空間頻率 和時間頻率 之間的變換如下 （ 為飛行器的速度） x V x V 兩種大氣紊流模型 GJB185-86 (1)德萊頓模型，解析函數(shù)，適合數(shù)學(xué)仿真 (2)馮卡門模型，適合設(shè)計 兩種模型在高頻段略有差異

15、 為了簡化分析，但又不失一般性，可以認(rèn)為 這些信號是由某特定范圍內(nèi)的正弦信號合成的。 比如經(jīng)常描述的參考輸入信號，它是一組具 有不同頻率的正弦信號的和，而各種頻率的正弦 信號的幅值|R|可由下圖描述 從圖中可以看出： (1)由正弦信號分量組成的信號，一直到大于 后，幅值才極小可忽略。于是可以這樣描 述性能指標(biāo)： 對于任何驅(qū)動頻率 ， 幅值為 的正弦信號,系統(tǒng)誤差的幅值應(yīng)小于 。 1 0 01 0 0 |()|R j b e 考慮單位反饋系統(tǒng)，則誤差的頻率響應(yīng)為 （1） 1 ()() 1 E jRs jR DG 其中，s為靈敏度函數(shù) （2） 靈敏度函數(shù)也正是 的乃奎斯特圖上的 曲線 到（-1，0

16、）點距離的倒數(shù)，因此 越大，表示 曲線到（-1，0）點的 距離越小，曲線 越接近（-1，0）點。 11 () 11() S j DGDG j ( )DG s ()DG j |()|S j ()DG j ()DG j 根據(jù)式（1），頻域內(nèi)的誤差指標(biāo)可表示為 （3） b E js jR js jR je 為了使問題規(guī)范化，以及不必每次定義幅值R和 誤差限度 。定義頻率的實數(shù)方程： 則此（3）式可以寫為 （4） b e 1( ) b R W e 1 |1SW 若 ，則 ，帶入(4） 得到 （5） |() |1DGj 1 () () Sj DGj 1 |() |DGjW 這個約束條件可以看作是穩(wěn)態(tài)誤差

17、指標(biāo)的延 伸，只不過信號頻率由 的一點變成了 上述性能指數(shù)是動態(tài)性能指數(shù)的延伸而已。 0 01 0 七、魯棒性指標(biāo) 除了保證系統(tǒng)有良好的動態(tài)性能，還應(yīng)考慮 系統(tǒng)的魯棒性，即在可預(yù)期的不確定性因素的影 響下，受控對象的傳函發(fā)生變化時，針對各個傳 函所做的設(shè)計仍是穩(wěn)定的。為了描述這種不確 定性，需首先定義不確定性。 不確定性：主要是指對象的不確定性。 理由：沒有任何一個物理系統(tǒng)可以用準(zhǔn)確的 數(shù)學(xué)模型代表。由于這一原因，我們 必須了解建模誤差對控制系統(tǒng)性能的 影響。 1.對象的不確定性 不確定對象的建模的基本方法是用一個 集合來代表對象模型，這個集合可以是結(jié) 構(gòu)化的或者非結(jié)構(gòu)化的。 結(jié)構(gòu)化：系統(tǒng)中存

18、在有限個不確定參數(shù) minmax 2 1 : 1 Maaa sas 非結(jié)構(gòu)化：系統(tǒng)在每個頻率下其頻率響應(yīng)位于復(fù) 平面的一個集合內(nèi) 一般來說，非結(jié)構(gòu)化更為重要，因為它可以 導(dǎo)出簡單而實用的設(shè)計理論。 () () ii ii G j M P j 具體來說，考慮這樣的不確定問題，即 其中： 是標(biāo)稱對象的傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng) 是由于參數(shù)的不確定性或攝動造成 的實際對象模型 是一固定的、穩(wěn)定的傳遞函數(shù) 是一可變的、穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，且 02 02 ()()(1) ()()(1) G jGjW P jP jW 0( )P j 2 W ()P j |1 其中： ，稱為 的 范數(shù)。也代 表了 在Bode圖上的峰值

19、，也寫為 ，稱為 的上確界或 者最小上界。 進(jìn)一步假定在構(gòu)成 中沒有消掉 的任何不 穩(wěn)定的極點，即 和 有相同的不穩(wěn)定極點。這 樣的攝動 稱為可容許的。 |max |()|j |()|j |sup|()|j |()|j P P P P 由 及 得 與 則： 的模型的含義是 是偏離1的標(biāo)準(zhǔn)化的 對象攝動，或不確定性只能引起偏離1的標(biāo) 準(zhǔn)化的對象攝動。 從而：因 ，則 2 (1)GW G 2 (1)PW P 2 1 P W P 2 1 G W G P 2 W |1 可見 給出了不確定的范圍。這個不 等式在復(fù)平面描繪了一個圓，在每一個頻率 ， 都位于以1為圓心，以 為半徑的圓內(nèi)。這 種不確定性也稱為

20、圓不確定性（或乘積圓狀不確 定性），是一種非結(jié)構(gòu)性攝動的集合。 2 22 2 () 1() () ()()()() () P j Wj P j jWjjWj Wj 2( )Wj /P P 2 W 一般情況下， 是 的增函數(shù)，不確定 性隨頻率的增加而增加。 的主要目的是為了考慮相位不確定性，同 時也可作為攝動幅值的尺度因子， 在（0，1） 內(nèi)變化。 2 |()|Wj | 例題：尋找 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)對象 ，實際傳函 通過將 代到集合 中 并使用延遲因子 作為乘積攝動的表征 這樣對 帶入各式后得 2 W 2 1 ( )P s s 2 1 ( ) s P se s 00.1 P 2 1:1WP s e 2 (

21、) |1| |()| () P j Wj P j 2 |1| |()| j eWj 在Bode幅頻特性上，就可以找到 幅頻 特性的上確界 ，滿足 （1） 是穩(wěn)定的 （2）在 內(nèi)， 是最小上確界 （顯然只要 ，即 具有最 大的幅值），所以 可由 時確定， 1 j e 2( )Wj 2( )Wj 00.1 2( )Wj 0.1|1| j e 2( )Wj0.1 2 0.21 ( ) 0.11 s W s s 乘積攝動模型，并不適合所有情況，作為圓 的不確定性集合，有時是一種太粗糙的近似，在 這種情況下，依據(jù)乘積不確定性模型設(shè)計的控制 器相對原有的不確定性模型（非圓）有可能太保 守。 其它一些不確定性模型的形式， ， 在采用每一種模型時都要對 和 作適 當(dāng)?shù)募僭O(shè)。 2 /(1)PWP 2 PW 2 /(1)PW 2 W 八、魯棒穩(wěn)定性 1.引入 范數(shù)后的性能指標(biāo)表達(dá) 動態(tài)性能指標(biāo) ， 顯然對于 而言，要滿足 則上述動態(tài)性能指標(biāo)可寫為 |:| 1 | ()()| 1s jWj 1 | ()()| 1s jWj 1 ()()1s jWj 2.魯棒穩(wěn)定性 魯棒概念可做如下描述： 假定對象傳遞函數(shù)屬于一個集合M，考察反 饋系統(tǒng)的某