經(jīng)濟學研究的基本數(shù)學工具：優(yōu)化理論和博弈論

1、經(jīng)濟學研究中的基本數(shù)學工具：優(yōu)化理論和博弈論2012年秋季學期：周林教授優(yōu)化理論1. 靜態(tài)優(yōu)化問題1.a.無約束優(yōu)化問題：maxxf(x),其中f是目標函數(shù)1.b.約束優(yōu)化問題：maxxst.f (x)x D，其中f是目標函數(shù)，D是約束集合例：面對多個商品的消費者叫用函數(shù)最大化問題max u(X|,x2)st. p1x1 + p2x2 0, x2 X)其中X1和X2是兩種不同商品的水平，P1和P2是兩種商品的價格，I是消費者的收入，而函數(shù)U(X1,X2)是些費者的效用函數(shù)。2. 比較靜態(tài)優(yōu)化問題- 12 -帶參數(shù)約束優(yōu)化問題:maxx f(x, y)s.t. x r(y)其中y是參數(shù)。比較靜態(tài)

2、優(yōu)化問題研究上面問題的最優(yōu)解如何隨參數(shù)y變化。3.動態(tài)優(yōu)化問題(又稱動態(tài)規(guī)劃)例：多期消費的問題，每一期的消費冷也決定后一期未來消費xt+i的可能max(xo，x1,.)Et=0 3tF(xt, Xt+1)(DPx)s.t.xt+i 叮治)，t = 0,1,Lxo = x初始值優(yōu)化理論的核心是單個理性人的目標函數(shù)的最大化。如何基于此來研究由多個理性 人的組成的市場、研究這樣的市場的完全競爭均衡呢？需要引進價格，由價格的自 動調(diào)整來達到市場平衡。對應于每一組商品價格，消費者會做出理性的需求，生產(chǎn) 者會做出理性的供給。微觀經(jīng)濟學的基本結論是：(1) 存在一組完全競爭均衡價格，使得在這組價格之下市場

3、需求等于市場供給;(2) 完全競爭均衡是 Pareto最優(yōu)的。這是現(xiàn)代經(jīng)濟學對于亞當斯密看不見的手的理論的精確表述。而這些結論的證明還 需要數(shù)學中另一個重要的分支-不動點理論。4.不動點理論 在適當?shù)臈l件下，一個從集合X到X自身的映照動點：？x* ,f (x*) = x*。f 一定存在一個不博弈論博弈論的基本問題有兩個博弈者，1 選擇Xi , 2選擇X2 X2，分別優(yōu)化自己的目標函數(shù)maxx1ex1 5（人公2）maxx2擇x2 U2（Xi,X2）這個多人優(yōu)化問題的解應該是什么？相比于單人優(yōu)化問題，這里的困難在于每一個博弈者的最優(yōu)解還可能依賴于對手的選擇。1 . 占優(yōu)策略：如果有一個;擇Xi使

4、得Ui（X；,X2）Ui（Xi ,X2）對所有的Xi和X2都成立，這個X*就叫做博弈者1的一個占優(yōu)策略。策略式博弈原則1.如果任何一個博弈者有占優(yōu)策略，他應該使用這個策略。如果雙方都存在占優(yōu)策略時，這個博弈就存在一個占優(yōu)策略均衡解。例：囚徒困境囚徒2囚徒1坦白拒不交待坦白-10, -100 ,-20拒不交待-20, 0-1,-1坦白是每個人的占優(yōu)策略！而占優(yōu)策略均衡明顯對雙方不利!2.劣策略的重復剔除盡管原則1非常直觀，但應用有限。在許多博弈中參與者都沒有占優(yōu)策略。占優(yōu)策略的對立面是劣策略：無論其他參與者選擇何種策略，如果某策略s總是比t帶來一個高的收益，則策略 t劣于策略s。策略式博弈原原則

5、2： 一個博弈的參與者永遠不應該使用劣策略。重復運用原則2的過程稱為劣策略的重復剔除。例：價格競爭兩個企業(yè)生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品在價格上競爭。每家企業(yè)可以采取三種定價策略之一：高、中、低。相應的總利潤分別為億，10乙128億。企業(yè)1 企業(yè)高中低每家企業(yè)“高”劣于“中”，因此都企業(yè)1企業(yè) 2 中低6億,6億0, 10 億0, 8億10 億，05億，5億0, 8億8億，08億，04億,4億高中低將“高”剔除，這就簡化了博弈:中低5億,5億0, 8億8億，04億，4億在這個簡化的博弈中，“中”劣于“低”。一 旦兩家企業(yè)都將“中”剔除后，雙方 的就都定低價，每家賺取4億。企業(yè)1企業(yè)2低3. 納希均衡2仍不能解

6、決所有的博弈。例如,原則2使我們能解決更多的博弈，但是原則 我們考慮下面的鷹鴿博弈。參與者1 參與者2強硬強硬軟弱-10, -1010,00, 105, 5軟弱在這個博弈中：如果對方軟弱，你最好強硬；但如果對方強硬，你最好軟弱，強碰 強，兩敗俱傷。所以這個博弈不存在劣策略。對于這樣的博弈，我們要求助于納希 均衡的概念。約翰納希首先證明“大多數(shù)”博弈都至少有一個納希均衡。由于這 個原因，納希均衡成為博弈論中最有用的解的概念。也是由于這個原因，納希獲得 了 1993年度的經(jīng)濟學諾貝爾獎。納希:均衡的概念在一個博弈的納希均衡時，每一個參與者的策略都是對其他參與 者的策略的最佳反應，所以任何一方?jīng)]有動

7、機單方面改變策略。（強硬，軟弱）是鷹鴿博弈的一個納希均衡，（軟弱，強硬）是鷹鴿博弈的另外一個納 希均衡。策略式博弈原則3大多數(shù)1博弈中I都至少廊一個納納希均衡。所有參與者最終將將選 擇某一個繃希期衡。納希:均衡的和占優(yōu)策略均衡的比較在占有策略均衡處，每個博弈者的策略是絕對最優(yōu)，每個人以不變應萬變在納希均衡處，每個博弈者的策略只是相對最優(yōu)，每個人隨機應變?；旌喜呗约{希均均衡衡：鷹鴿博弈鷹鴿博弈有兩個 純策略納希均衡：(強硬，軟弱)和(軟弱，強硬)。然而兩個 均衡的相當不對稱。既然兩個參與者都在相同的位置，為什么一個參與者屈服于另 一個參與者。更有可能的是他 們采用一個對稱的 混合策略的納希均衡。

8、參與者2參與者1強硬軟弱強硬-1, -110, 0軟弱0, 105, 5假定在均衡時，參與者1采用強硬的概率為p，參與者2采用強硬的概率為q。參與者1強硬的期 望收益 二q-1) + (1-q)M10) = 10 -11 q參與者1軟弱的期望收益二q X0) + (1-q)M5) = 5-.5在混合均衡時，強硬和軟弱導致相同的期望收益。因此，10 - 11 q = 5 -q5 或 q 二 5/6。同樣，我們可以同樣的方法用于參與者2，得到p = 5/6。因此，鷹鴿博弈的混合策略的納希均衡是(p, q) = (5/6, 5/6)。雙方以5/6的概 率采用強硬，以1/6的概率采用軟弱。這個均衡是對

9、稱的，每個參與者的期望收益為5/6，介于10與0之間，前者是在對他有利的 納希均衡處的收益，后者是在對 他不利的納希均衡處的收益。混合策略納希I：均衡的業(yè)物學的解解釋:進化穩(wěn)定群體盡管我們將納希 均衡定義為對于理性參與者之 間相互行動的結果，納希均衡 也被發(fā)現(xiàn)于主體不具有推理能力的場合。假定一座島上生活著兩種鳥類：鷹和鴿. 每只鳥和其他鳥競爭獲得食物。當兩只鷹同時發(fā)現(xiàn)食物時，兩只鷹首先惡戰(zhàn)一場, 然后勝利者獨占食物；當一只鷹和一只鴿子同時發(fā)現(xiàn)食物時，鷹只要嚇走鴿子就獨 占食物；當兩只鴿同時發(fā)現(xiàn)食物時，他們友好地共享食物。充足的食物使鳥更健康 加快它的繁殖速度。另一方面，爭 斗傷害鳥，降低它的繁

10、殖速度。綜合考慮，我們 得到兩鳥相遇時對繁殖速度的總效應。矩陣格中的數(shù)字代表鳥的(平均)增長率。鷹鴿-1, -110, 00, 105, 5當總鳥群中大多是鷹時，鷹的增長速度接近一1，而鴿子的增長速度仍為正，因此 鴿子在總鳥群中的比例增加。另一方面，當總 鳥群中大多是鴿子時，鴿子的增長速 度接近5，但鷹的增長速度大約為10，因此鴿子在總鳥群中的比例減少。長遠來 看，鷹和鴿子的比例將穩(wěn)定在某個水平。這個比例是多 少？假定鷹的比例為p，一只鳥碰見鷹的機會是p,碰到鴿子的機會是1-p，因此：鷹的增長率 二 PX-1) + (1-P)X1O = 10 -11 p，鴿子的增長率二 p X0) + (1-

11、 p)5 = 5 - 5 P。當10 - 11 p = 5 - 5 p，或p = 5/6時，鷹和鴿子的增長速度相同。如果鷹的最初比例是p 5 - 5 p。在這種情況下，鷹將比鴿 子增長快，這樣使鷹的比例上升直至p = 5/6。另一方面，如果 鷹的最初比例是p 5/6,則10 - 11 p 5 - 5 p。在這種情況下, 鷹將比鴿增長慢，這將使鷹的比例降低直到p = 5/6。因此，無論鷹的最初比例是多 少，進化過程都 將使鷹的比例最終走向一個穩(wěn)定 的水平p = 5/6。這恰好是鷹鴿博弈的納希均衡！動態(tài)博弈舉例：投票議程宏光公司的董事會由三人組成。董事會面臨一個重要的決定：任命下任的總經(jīng)理。 三董

12、事都同意最合適的候選人有三位：甲、乙、丙。但是再往下，各董事意見就不 一致了。三董事的偏好為：董事1:甲f乙f丙董事2:乙f丙f甲董事3:丙f甲f乙按董事會的章程，當諸董事意見分歧時，通過投票來解決分歧。但是把甲、乙、丙 放在一起投，各得一票，還是解決不了僵局。為了打破僵局，候選人將通過連續(xù)的 倆倆投票選舉產(chǎn)生。此時一共有三種可能的議程：（1）先通過投票在甲和乙之間選擇一個贏者，然后再通過投票在贏者和丙之間選擇最終獲勝者；（2）先在甲和丙之間選擇一個贏者，然后再在贏者和乙之間選擇最終獲勝者；（3）先在乙和丙之間選擇一個贏者，然后再通過投票在贏者和甲之間選擇最終的獲勝者。討論：假定董事1是董事長

13、，有選擇投票議程的權利。他應該選擇哪一個議程呢?更多的例子11：換錢博弈第一步，主持人分別給小王和小李各一個裝有紙幣的信封。每一個信封中的紙幣的 價值可 能是零元，十元，二十元，每遞增十元，一直到上限一千元。主持人在給小王和小 李的信封裝錢時，每一個數(shù)目都有同樣的可能。第二步，小王和小李打開各自的信封看一下自己信封中的錢數(shù)。但是倆人都不能看 到對方信封中的錢數(shù)。第三步，在看完了自己信封中的錢數(shù)后，小王和小李各自私下告訴主持人是否愿意 同對方換錢。如果雙方都愿意交換，主持人就幫助他們完成交換。但只要有一人不 愿意交換，交換就不發(fā)生。問題：小王和小李應該采用什么策略？更多的例子 2：最低價格保證條

14、款與價格競爭很多行業(yè)的企業(yè)都苦于價格競爭。一旦你的對手突然降價，等到你發(fā)現(xiàn)的時候， 消費者往往已經(jīng)從你的對手處買走了廉價的產(chǎn)品。所以你只好跟著降價。為了彌補 上失去的銷售額，你也許還會把價格降的更低。這當然又引起你的對手的反應。最 終大家都將價格降到最低的水平。大家無利可 圖，甚至虧本。當然企業(yè)可以像各種 辦法避免價格戰(zhàn)。譬如說，不同的制造商可以開發(fā)各自的品牌，走產(chǎn)品差異化的道 路。但是，有些零售商很難使用產(chǎn)品差異化的手段。各大百貨商場電器柜買的基本 是一樣的產(chǎn)品，從制造商到具體的型號都一樣。除了陳列擺設之外，這些產(chǎn)品沒有 任何差異。最低價格保證條款成為這些零售商的一大救星。最低價格保證條款如下：如果 顧客在蘇寧買購買某產(chǎn)品后發(fā)現(xiàn)其它商店同樣產(chǎn)品的價格更低，蘇寧將償付顧客的 價格差價。這項政策的醒目的招牌店內(nèi)到處都是，而且在其他渠道的廣告中也不拉 下。下面是在最低價格 保證政策前和后的不同的博弈的比較。無最低價格保證政策時有最低價保證政策時-Mr 蘇寧低價高價低價2，24，0高價0，43，3對手-Mr蘇寧低價高價對手低價 高價2，22，22，23，3（收益數(shù)字的解釋：在高價時，市場總利潤為 6;在低價時，市場總利潤為 4。兩 公司價格不一時，低價公司市場全占；兩公司價格同一時，兩公司均分市場。）（低價，低價）是原博弈的 唯一的占優(yōu)策略均衡。但是（高價