2022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第9章 直線和圓的方程 第2講 圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系備考試題

1、2022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第9章 直線和圓的方程 第2講 圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系備考試題2022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第9章 直線和圓的方程 第2講 圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系備考試題年級：姓名：第九章直線和圓的方程第二講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系練好題考點自測 1.2021安徽省四校聯(lián)考直線2xsin +y=0被圓x2+y2-25y+2=0截得的最大弦長為()a.25b.23c.3d.222.2020全國卷,6,5分文已知圓x2+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()a.1b.2c.3d.43.2016山東,7,5分文已知圓m:x2+y2-2a

2、y=0(a0)截直線x+y=0所得線段的長度是22.則圓m與圓n:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()a.內(nèi)切b.相交c.外切d.相離4.2020全國卷,10,5分若直線l與曲線y=x和圓x2+y2=15都相切,則l的方程為()a.y=2x+1b.y=2x+12c.y=12x+1d.y=12x+125.2021吉林省高三聯(lián)考已知圓c:x2+y2=r2(r0),設(shè)p:r32;q:圓c上至少有3個點到直線3x+y-2=0的距離為12,則p是q的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件6.2018全國卷,8,5分文直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于a

3、,b兩點,點p在圓(x-2)2+y2=2上,則abp面積的取值范圍是()a.2,6b.4,8c.2,32d.22,327.2020全國卷,11,5分已知m:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,p為l上的動點.過點p作m的切線pa,pb,切點為a,b,當(dāng)|pm|ab|最小時,直線ab的方程為()a.2x-y-1=0b.2x+y-1=0c.2x-y+1=0d.2x+y+1=08.2019北京,11,5分文設(shè)拋物線y2=4x的焦點為f,準(zhǔn)線為l.則以f為圓心,且與l相切的圓的方程為.9.2020浙江,15,6分已知直線y=kx+b(k0)與圓x2+y2=1和圓(x-4)2+y2

4、=1均相切,則k=,b=.拓展變式1.2017全國卷,20,12分已知拋物線c:y2=2x,過點(2,0)的直線l交c于a,b兩點,圓m是以線段ab為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點o在圓m上.(2)設(shè)圓m過點p(4,-2),求直線l與圓m的方程.2.2020武漢部分重點中學(xué)5月聯(lián)考已知圓c1:(x-1)2+(y-3)2=9和c2:x2+(y-2)2=1,若m,n分別是圓c1,c2上的點,p是拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上的一點,則|pm|+|pn|的最小值是.3.原創(chuàng)題已知直線l:x+2y-3=0與圓c:x2+y2+x-6y+m=0,若直線l與圓c無公共點,則m的取值范圍是()a.(1,8)b.(8

5、,374)c.(1,37)d.(8,+)4.2021廣西模擬在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過圓c1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任意一點p作圓c2:x2+y2=1的一條切線,切點為q,則當(dāng)|pq|最小時,k=.5.圓c1:x2+y2-2x+10y-24=0和圓c2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直線的方程為,公共弦長為.6.(1)2020武漢武昌實驗中學(xué)考前模擬過點d(1,-2)作圓c:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為a,b,則弦ab所在直線的方程為()a.2y-1=0b.2y+1=0c.x+2y-1=0d.x-2y+1=0(2)2020河北冀州中學(xué)模擬已知圓c:x

6、2+y2-2x-4y+3=0.若圓c的一條切線在x軸和y軸上的截距相等,則此切線的方程為;從圓c外一點p(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為m,o為坐標(biāo)原點,且有|pm|=|po|,則|pm|的最小值為.7.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作圓錐曲線論一書,其中阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,即已知動點m與兩定點a,b的距離之比為(0,1),那么點m的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知圓o:x2+y2=1上的動點m和定點a(-12,0),b(1,1),則2|ma|+|mb|的最小值為()a.6b.7c.10d.11答 案第九章直線和圓的方程第二

7、講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系1.d根據(jù)題意,圓x2+y2-25y+2=0,即x2+(y-5)2=3,其圓心為(0,5),半徑r=3,圓心到直線2xsin +y=0的距離d=|5|1+4sin2=51+4sin255=1,當(dāng)圓心到直線的距離最小時,直線2xsin +y=0被圓x2+y2-25y+2=0截得的弦長最大,而d=51+4sin2的最小值為1,則直線2xsin +y=0被圓x2+y2-25y+2=0截得的最大弦長為23-1=22,故選d.2.b將圓的方程x2+y2-6x=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+y2=9,設(shè)圓心為c,則c(3,0),半徑r=3.設(shè)點(1,2)為點a,過點a(1,2)

8、的直線為l,因為(1-3)2+220),則yx=x0=12x0-12=k,x0=kx0+b,由可得b=12x0,將b=12x0,k=12x0-12代入得x0=1或x0=-15(舍去),所以k=b=12,故直線l的方程為y=12x+12.5.c圓c的圓心為(0,0),其到直線3x+y-2=0的距離為1.當(dāng)0r12時,圓上沒有點到直線的距離為12;當(dāng)r=12時,圓上有1個點到直線的距離為12;當(dāng)12r32時,圓上有4個點到直線的距離為12;要使圓c上至少有3個點到直線3x+y-2=0的距離為12,則r32,所以p是q的充要條件,故選c.6.a圓心(2,0)到直線的距離d=|2+0+2|2=22,所

9、以點p到直線的距離d12,32.根據(jù)直線的方程可知a,b兩點的坐標(biāo)分別為a(-2,0),b(0,-2),所以|ab|=22,所以abp的面積s=12|ab|d1=2d1.因為d12,32,所以s2,6,即abp面積的取值范圍是2,6.【素養(yǎng)落地】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式及三角形面積的求解,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),試題難度中等.求解此題的關(guān)鍵是確定三角形的高的取值范圍.當(dāng)直線與圓相離時,若已知圓的半徑r,圓心到直線的距離d,則圓上的點到直線的距離的最大值為d+r,最小值為d-r.7.d由m:x2+y2-2x-2y-2=0,得m:(x-1)2+(y-1)2=4,所

10、以圓心m(1,1).圖d 9-2-1如圖d 9-2-1,連接am,bm,易知pmab,所以四邊形pamb的面積為12|pm|ab|,欲使|pm|ab|最小,只需四邊形pamb的面積最小,即只需pam的面積最小.因為|am|=2,所以只需|pa|最小.因為|pa|=|pm|2-|am|2=|pm|2-4,所以只需直線2x+y+2=0上的動點p到m的距離最小,其最小值為|2+1+2|5=5,此時pml,易求出直線pm的方程為x-2y+1=0.由2x+y+2=0,x-2y+1=0,得x=-1,y=0,所以p(-1,0).因為pam=pbm=90,所以a,b在以pm為直徑的圓上.所以此圓的方程為x2+

11、(y-12)2=(52)2,即x2+y2-y-1=0,由-得,直線ab的方程為2x+y+1=0,故選d.8.(x-1)2+y2=4因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,所以焦點f(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1.因為所求的圓以f為圓心,且與準(zhǔn)線l相切,故圓的半徑r=2,所以圓的方程為(x-1)2+y2=4.9.33-233解法一因為直線y=kx+b(k0)與圓x2+y2=1,圓(x-4)2+y2=1都相切,所以|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1,得k=33,b=-233.解法二因為直線y=kx+b(k0)與圓x2+y2=1,圓(x-4)2+y2=1都相切,所以直線y=kx+b必過兩圓心連線

12、的中點(2,0),所以2k+b=0.設(shè)直線y=kx+b的傾斜角為,則sin =12,又k0,所以=6,所以k=tan 6=33,b=-2k=-233.1.(1)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.則oaob=x1x2+y1y2=0,所以oaob.又圓m是以線段ab為直徑的圓,故坐標(biāo)原點o在圓m上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心m的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓m的半徑r=(m2+2)2

13、+m2.由于圓m過點p(4,-2),因此apbp=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.當(dāng)m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心m的坐標(biāo)為(3,1),圓m的半徑為10,圓m的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.當(dāng)m=-12時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心m的坐標(biāo)為(94,-12),圓m的半徑為854,圓m的方程為(x-94)2+(y+12)2=8516.2.52-4依題意知,拋物線x2=4y的準(zhǔn)線

14、方程為y=-1,則圓c1關(guān)于直線y=-1的對稱圓的圓心為c3(1,-5),半徑為3.圓c2的圓心為(0,2),半徑為1,連接c2c3,由圖象可知(圖略),當(dāng)p,c2,c3三點共線時,|pm|+|pn|取得最小值,其最小值為圓c3與圓c2的圓心距減去兩個圓的半徑之和,即(|pm|+|pn|)min=|c2c3|-3-1=1+49-4=52-4.3.b將圓c的方程配方,得(x+12)2+(y-3)2=37-4m4,則有37-4m40,解得m37-4m4,解得m8.所以m的取值范圍是(8,374).故選b.4.2由題意知,|c1c2|=k2+(-k+4)2=2(k-2)2+8222,所以圓c1與圓c

15、2外離,示意圖如圖d 9-2-2所示.因為pq為圓c2的切線,所以pqc2q,由勾股定理,得|pq|=|pc2|2-1,要使|pq|最小,則需|pc2|最小.顯然當(dāng)點p為c1c2與圓c1的交點時,|pc2|最小,此時|pc2|=|c1c2|-1,所以當(dāng)|c1c2|最小時,|pc2|最小.易知當(dāng)k=2時,|c1c2|取最小值,即|pq|最小.5.x-2y+4=025聯(lián)立兩圓的方程,得x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0,兩式相減并整理得x-2y+4=0,所以兩圓公共弦所在直線的方程為x-2y+4=0.解法一設(shè)兩圓相交于點a(x1,y1),b(x2,y2),則a,b兩

16、點的坐標(biāo)滿足方程組x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,解得x1=-4,y1=0或x2=0,y2=2.所以|ab|=(0+4)2+(2-0)2=25,即公共弦長為25.解法二由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圓心坐標(biāo)為(1,-5),半徑r=52,圓心到直線x-2y+4=0的距離d=|1-2(-5)+4|1+(-2)2=35.設(shè)公共弦長為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(35)2+l2,解得l=5,故公共弦長2l=25.6.(1)b解法一(常規(guī)解法)由圓c:(x-1)2+y2=1的方程可知其圓心為c(1,0),半徑為1.連接cd,

17、以線段cd為直徑的圓的方程為(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1.將兩圓的方程相減,可得公共弦ab所在直線的方程為2y+1=0.故選b.解法二(結(jié)論解法)由與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(詳見主書p181【思維拓展】(2)得弦ab所在直線的方程為(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即2y+1=0.故選b.(2)(6-2)x-y=0或(6+2)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0圓c的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=2,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時,設(shè)直線方程為y=kx(k0),由直線與圓相切,得|k-2|k2+1=2,解得k=-26.所以切

18、線方程為y=(-2+6)x或y=(-2-6)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時,設(shè)直線方程為x+y-a=0,由直線與圓相切,得|1+2-a|2=2,解得a=1或a=5.所以切線方程為x+y-1=0或x+y-5=0.綜上所述,所求的切線方程為(-2+6)x-y=0或(2+6)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0.3510由|pm|=|po|,得(x1-1)2+(y1-2)2-2=x12+y12,整理得2x1+4y1-3=0,即點p在直線l:2x+4y-3=0上.又|pm|=|cp|2-r2,所以要使|pm|取得最小值,只需|cp|取得最小值,記圓心c(1,2)到直線l:2x+4y-3=0的距離為d,可知d|cp|,當(dāng)且僅當(dāng)d=|cp|時,|cp|取得最小值.因為d=|21+42-3|22+42=725,所以|pm|min=d2-r2=(725)2-(2)2=3510.7.c當(dāng)點m在x軸上時,點m的坐標(biāo)為(-1,0)或(1,0).若點m的坐標(biāo)為(-1,0),則2|ma|+|mb|=212+(1+1)2+12=1+5;若點m的坐標(biāo)為(1,0),則