高中數(shù)學圓錐曲線問題解題技巧

1、2021/2/71 (2005全國全國卷文科卷文科)已知雙曲線已知雙曲線 的一條準線為的一條準線為 ，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為 ( ) A B C D )0( 1 2 2 2 ay a x 2 3 x 2 3 2 3 2 6 3 32 x y o F1F2 b cos 1 e 2 a x c 222 2 22 cab e aa =1+k2. (k為雙曲線漸近線的斜率為雙曲線漸近線的斜率.) 2021/2/72 (2004全國東北理科卷全國東北理科卷)設雙曲線的焦點在設雙曲線的焦點在x 軸上軸上,兩條漸近線為兩條漸近線為y = x,則該雙曲線的離心則該雙曲線的離心 率率e=(

2、) A. 5 B. C. D.5 5 2 5 4 1 2 222 2 22 cab e aa =1+k2. 其中其中k為雙曲線漸近線的斜率為雙曲線漸近線的斜率. C e2=5/4. 2021/2/73 (2005全國全國卷文科卷文科)已知雙曲線已知雙曲線 的一條準線為的一條準線為 ，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為 ( ) A B C D )0( 1 2 2 2 ay a x 2 3 x 2 3 2 3 2 6 3 32 x y o F1F2 b a 1 k a 2 3 2 a c 2 ; 3 k e 將將k2=e2- -1代入上式代入上式, 整理整理 得得 9e4- -9e2- -

3、 4=0 e2=4/3. D 2021/2/74 2 212 2 12 ,2 , 1 . 3 b PFFFc a PF FF 2 22 1 , 3 2 b a ab 42 3440kk 已知已知F1、F2為雙曲線為雙曲線 (a 0, b 0)的焦點，過的焦點，過F2作垂直于作垂直于 x 軸的直線交軸的直線交 雙曲線于雙曲線于P, 且且PF1F230(如圖如圖), 求雙求雙 曲線的漸近線方程曲線的漸近線方程. 22 22 1 xy ab x y o P F1F2 2021/2/75 即即 ec 3a, e23, 11 costan2. 3e 已知已知F1、F2為雙曲線為雙曲線 (a 0, b 0

4、)的焦點的焦點, ,過過F2作垂直于作垂直于 x 軸的直線交雙曲軸的直線交雙曲 線于線于P, 且且PF1F230(如圖如圖), 求雙曲線的漸近求雙曲線的漸近 線方程線方程. 22 22 1 xy ab x y o P F1F2 |PF1|2|PF2|, exP+a=2(exP- -a), exP3a, k2=e2- -1=2. y= x.2 2021/2/76 (2005福建理科福建理科) 已知已知F1、F2是雙曲線是雙曲線 - - = = 1(a0, b0)的兩焦點的兩焦點, 以線段以線段F1F2為邊作正為邊作正 三角形三角形MF1F2, 若邊若邊MF1的中點在雙曲線上，則的中點在雙曲線上，

5、則 雙曲線的離心率是雙曲線的離心率是 ( ) A. 4+2 B. - -1 C. D. +1 2 2 x a 2 2 y b 333 31 2 x y o F1F2 M A 30 x1 由已知由已知, |AF1|=c, |AF2|= c,3 即即 ex1- -a=c, ex1+a= c, 3 兩式相減：兩式相減：2a=( - -1)c, 3 兩邊同除以兩邊同除以a得得 e= 2 31. 31 2021/2/77 (2005福建理科福建理科)已知已知F1、F2是雙曲線是雙曲線 (a 0,b 0)的兩個焦點，以線段的兩個焦點，以線段F1F2為邊作為邊作正正 三角形三角形MF1F2, 若邊若邊MF1

6、的的中點中點在雙曲線上在雙曲線上, 則雙則雙 曲線的離心率是曲線的離心率是 ( ) A. 4+2 B. - -1 C. D. +1 22 22 1 xy ab 333 31 2 因為因為|NF1|=exN- - a=c, 即即exN+a= c 3 y x o M F2 N F1 又又|NF2|= |NF1|, 3 D 3 2exN=( +1)c 將將xN=c/2代入即得代入即得. 2021/2/78 要點提煉:設雙曲線的離心率為設雙曲線的離心率為e, 一條有較一條有較 小傾斜角小傾斜角 的漸近線的斜率為的漸近線的斜率為k,則雙曲線的如則雙曲線的如 下性質在解題時十分有用下性質在解題時十分有用:

7、 過焦點作一條漸近線的垂線過焦點作一條漸近線的垂線,垂足在雙曲線垂足在雙曲線 的準線上的準線上, 垂線段的長等于半虛軸長垂線段的長等于半虛軸長; arccos(1/e); e2k21. 此外此外, 雙曲線的焦半徑公式雙曲線的焦半徑公式:r1 |ex0a|,r2|ex0a| 在處理涉及雙曲線的焦在處理涉及雙曲線的焦 半徑問題時是十分有用的半徑問題時是十分有用的,必須要學生熟記它必須要學生熟記它. 2021/2/79 1122 ,PFr PFr設設 .162 21 2 2 2 1 rrrr 222 12 (2 )4 520,rrc, 2 21 rr 12 12 1 2 F PF Sr r 設而不求

8、 (1994全國全國)設設F1, F2為雙曲線為雙曲線 的兩的兩 個焦點，點個焦點，點P在雙曲線上，且在雙曲線上，且F1PF2=90則則 F1PF2的面積是的面積是 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 1 4 2 2 y x 2 5 5 12 4rr =1. A 2021/2/710 x y o F1F2 P 1 2 12 1 2 PF FP SFFy 22 22 44, 5 xy xy 2 11 . 55 P yy 12 12 111 2 51. 225 PF FP SF Fy 以以F1F2為直徑的圓為直徑的圓 的方程是：的方程是： x2+y2=5, 2021/2/711 (2005全國

9、全國卷卷)已知雙曲線已知雙曲線 的焦的焦 點為點為F1、F2, 點點M在雙曲線上且在雙曲線上且MF1MF2=0,則點則點 M到到 x軸的距離為軸的距離為( ) A B C D 1 2 2 2 y x 4 3 5 3 2 3 3 3 x y o F1F2 M x2+y2=3 MF1MF2=0MF1MF2 x2+y2=3, 2x2- -y2=2 2 P y = 4 . 3 平幾知識的應用 C 2021/2/712 已知已知F1、F2為雙曲線為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點，的焦點，M為雙曲線上的點為雙曲線上的點, , 若若 F1MF290, 則則F1MF2的面積等于的面積等于 _. 22 22

10、1 xy ab x y o F1F2 M 一般化 x2+y2=c2, b2x2- -a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2- -a2)=b4 y=b2/c S F1MF2=b2. 2021/2/713 (2005全國全國卷卷)已知雙曲線已知雙曲線 的焦的焦 點為點為F1、F2, 點點M在雙曲線上且在雙曲線上且MF1MF2=0,則點則點 M到到 x 軸的距離為軸的距離為( ) A B C D 1 2 2 2 y x 4 3 5 3 2 3 3 3 x y o F1F2 M C S F1MF2=b2=2 設點設點M到到 x 軸的距離為軸的距離為d, 則則 cd=S d= 2 . 3 2021/2

11、/714 將直角坐標系中的曲線平移將直角坐標系中的曲線平移(或平或平 移坐標軸移坐標軸),曲線上任意兩點之間的距曲線上任意兩點之間的距 離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、 以及曲線上任一點處的切線的斜率以及曲線上任一點處的切線的斜率,都都 是平移變換下的是平移變換下的不變量不變量. 2021/2/715 (1995全國全國)直線直線l過拋物線過拋物線y2a(x+1) (a0)的焦點的焦點, 并且與并且與x軸垂直軸垂直, 若若l被拋物被拋物 線截得的線段長為線截得的線段長為4, 則則a . 直線直線l過拋物線過拋物線 y24(x+1)的焦點的焦點, 并并 且與且與x

12、軸垂直軸垂直, 若若 l 被拋物線截得的線段長被拋物線截得的線段長 為為 . 4 4 y2a(x- -3) 2021/2/716 （2003 新課程卷）設新課程卷）設a0，f(x)=ax2+bx+c, 曲線曲線 y=f(x)在點在點 P(x0, f(x0)處的切線的傾斜角處的切線的傾斜角 的取值范圍為的取值范圍為 ，則點，則點P到曲線到曲線y=f(x)對稱對稱 軸距離的取值范圍為軸距離的取值范圍為 ( ) A. B. C. D. 0, 4 1 0, a 1 0, 2a 0, 2 b a 1 0, 2 b a 曲線曲線 y=f(x)在點在點 P(x0, f(x0) 處的切線的斜率處的切線的斜率

13、k=2ax0. 依題意依題意,0k1,1,即即 002ax01.1. 0 1 0. 2 x a B f (x)=2ax, 2021/2/717 x y o FP y=ax2 y=- - 1 4a y =2ax, y | =1.1 2 x a 2 1 xy a 證明證明:點點P處的切線斜率為處的切線斜率為1 2021/2/718 x y o F P 證明證明:點點P處的切線斜率為處的切線斜率為1 法一法一:由由 y2=2px 2yy =2p, , p y y 1. yp y 法二法二：由由2ypx 12 22 p y px 2 1.p x y 2021/2/719 F 回回 顧顧 y2=2px

14、PF = p x y o A 2 p x 2021/2/720 x = - 命題命題1 設拋物線設拋物線y2=2px(p0)的通徑為的通徑為PQ,則則 拋物線在點拋物線在點P、Q處的切線的斜率分別為處的切線的斜率分別為1和和- -1, 且切線通過拋物線的準線與且切線通過拋物線的準線與x軸的交點軸的交點. x y O P Q F 2 p x= - M 2021/2/721 x y o F P (2004 全國東部卷全國東部卷) 設拋物線設拋物線y2=8x的準線與的準線與 x軸交于點軸交于點Q，若過點，若過點Q的直線的直線l與拋物線有公共與拋物線有公共 點，則直線點，則直線l的斜率的取值范圍是的斜

15、率的取值范圍是 ( ) A. B. - -2,2 C. - -1,1 D. - -4,4 1 1 , 2 2 y2=18x y2=8(x- -6) C 2021/2/722 已知已知F為拋物線為拋物線C：y24x的焦點，的焦點，P為為C上上 的任一點，過點的任一點，過點F且斜率為且斜率為1的直線與的直線與C交于交于A、 B兩點，若兩點，若 PAB的面積為的面積為4 ，則這樣的點，則這樣的點P 有有 ( ) (A) 1個個 (B) 2個個 (C) 3個個 (D) 4個個 2 AB:x- -y- -1=0 求得求得|AB|=8 ; 取點取點M(1,2) MAB的面積為的面積為42 C 2 點點M到

16、直線到直線AB的距離為的距離為 x y o A B F M 2021/2/723 引申引申1 1橢圓通徑一個端點處切線的斜率橢圓通徑一個端點處切線的斜率 x y o F1 P 22 , b yax a 由由 22 12 . 2 bx y a ax 得得 22 . xc bc ye a ac 引申引申2 2 雙曲線通徑端點處切線的斜率為雙曲線通徑端點處切線的斜率為 e. 2021/2/724 引申引申3 3 過橢圓過橢圓 上一點上一點 P (x0, y0) 的切線方程為：的切線方程為： 22 22 1(0) xy ab ab 00 22 1; x xy y ab 2 0 0 2 0 (). b

17、x kfx a y 切 引申引申4 4 過雙曲線過雙曲線 上一點上一點 P (x0, y0) 的切線方程為：的切線方程為： 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 22 1; x xy y ab 2 0 0 2 0 (). b x kfx a y 切 2021/2/725 引申引申5 5 過拋物線過拋物線y2=2px上一點上一點P (x0, y0)的的 切線方程為：切線方程為： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )k切 切= 0 p y 2021/2/726 命題命題2 若若PQ為焦點在為焦點在x軸上的圓錐曲線軸上的圓錐曲線 的通徑的通徑, ,則曲線在點則曲線在點P

18、、Q處的切線的斜率處的切線的斜率 為為e和和- -e, ,且切線通過相應準線與且切線通過相應準線與x軸的交軸的交 點點. 或表述為或表述為:過焦點在過焦點在x軸上的圓錐曲線的軸上的圓錐曲線的 準線與準線與x軸的交點軸的交點,且斜率為且斜率為e(或或- -e)的直線的直線, 與圓錐曲線相切與圓錐曲線相切,且切點為圓錐曲線一條通且切點為圓錐曲線一條通 徑的端點徑的端點. 2021/2/727 x y o 作離心率為作離心率為1/2的橢圓的橢圓 2021/2/728 x y o F A B |OF|c, |FA|b, |OA| a. c|AB|2ab |AB|2ab c 2 . b e 作離心率為作

19、離心率為2的雙曲線的雙曲線 2021/2/729 (2004湖南理科卷湖南理科卷)如圖如圖,過拋物線過拋物線x2=4y的對的對 稱軸上任一點稱軸上任一點P(0,m) (m0)作直線與拋物線交作直線與拋物線交 于于A,B兩點兩點,點點Q是點是點P關于原點的對稱點關于原點的對稱點. ( I ) 設點設點P分有向線段分有向線段AB所成的比為所成的比為 ,證明證明 QP(QA- - QB); ( II ) 設直線設直線AB的方程是的方程是 x- -2y+12=0,過過A、B兩點兩點 的圓的圓C與拋物線在點與拋物線在點A處有處有 共同的切線共同的切線,求圓求圓C的方程的方程. x y o A P B Q

20、 2021/2/730 x y o A P B Q(0,- -m) (x1,y1) (x2,y2) AP=(- -x1, m- -y1), PB=(x2, y2- -m), 由已知由已知, x1=- - x2, y1- -m=- - (y2- -m).即即 22 2222 1212 ,.xxymym 因為因為A、P、B共線共線, 且且AP= PB. QP= QA+ QB= (QA+ QB). 1 11 1 1 欲證欲證QP(QA- - QB), 只須證只須證QP (QA- - QB)=0, 即證即證|QA|2- - 2|QB|2=0. 而而 |QA|2- - 2|QB|2= +(y1+m)2-

21、 - 2 +(y2+m)2 2 1 x 2 2 x 2021/2/731 光 的 反 射 基本原理: ()光的傳播遵循光的傳播遵循“光行最速原理光行最速原理”; ()光的反射應滿足光的反射應滿足:“入射角入射角=反射角反射角”; 由此推得由此推得 入射線與反射線關于入射線與反射線關于法線法線對稱對稱; 投影線為水平線時投影線為水平線時, k入射線 入射線+k反射線反射線=0. 2021/2/732 光 的 反 射 基本技巧: 始始點點 終終點點 入射線入射線; 始始點點終終點的對稱點點的對稱點 反射線反射線.始始點的對稱點點的對稱點終終點點 2021/2/733 (1989全國全國) 自點自點

22、A( -3, 3 )發(fā)出的光線發(fā)出的光線 l 射到射到 x軸上被軸上被 x 軸反射，其反射光線所在直線與圓軸反射，其反射光線所在直線與圓 x2+y2- -4x- -4y+7=0相切相切, 求光線求光線 l 所在直線的方所在直線的方 程程. (x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o 1 - -1 . . A . . A? 始點的對稱點始點的對稱點終終點點 -反射線反射線; 終終點的對稱點點的對稱點始始點點 -入射線入射線. 2021/2/734 (2005江蘇江蘇) 點點P(- -3,1)在橢圓在橢圓 的左準線上的左準線上, 過點過點P且方向為且方向為a=(2,- -5)的光線的光線, 經直

23、線經直線y=- -2反射后通過橢圓的左焦點反射后通過橢圓的左焦點, 則這個則這個 橢圓的離心率為橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 22 22 10 xy ab ab 3 3 1 3 2 2 1 2 2021/2/735 x y o P(- -3,1) F(- -c,0) M N l 解法一: 依題意依題意, 入射線方程為入射線方程為 y- -1=- - (x+3) 5 2 令令y=- -2, 得得M(- - , - -2); 9 5 令令y=0, 得得N(- - ,0). 13 5 F(- -1,0) a2=3 2 3 a c 3 3 e 2021/2/736 x y o P(-

24、 -3,1) F(- -c,0) M N l 解法二: 點點F關于直線關于直線y=- -2的的 對稱點為對稱點為Q(- -c,- -4 ). c=1 a2=3 2 3 a c 依題意依題意, kPQ=- - , 5 2 Q 3 3 e 2021/2/737 要點提煉: 光反射的理論依據(jù)光反射的理論依據(jù),是物理學中的是物理學中的光行最速原光行最速原 理理;數(shù)學中處理這類問題的基本方法是運用平面數(shù)學中處理這類問題的基本方法是運用平面 幾何中的幾何中的對稱性對稱性,這就是這就是“通法通法”. 只有把握住只有把握住 “通法通法”,不論題目如何變化不論題目如何變化,你才能在解題時得你才能在解題時得 心應

25、手心應手,游刃有余游刃有余. 2021/2/738 (2004江蘇卷江蘇卷)已知橢圓的中心在原點，離心已知橢圓的中心在原點，離心 率為率為 ，一個焦點是，一個焦點是F(- -m,0) (m是大于零的常是大于零的常 數(shù)數(shù)). ()求橢圓方程；求橢圓方程； ()設設Q是橢圓上的一點，且過點是橢圓上的一點，且過點F，Q的直的直 線線l與與y軸交于點軸交于點M，若，若|MQ|=2|QF|，求直線，求直線l的的 斜率斜率. 1 2 () 22 22 1. 43 xy mm 2021/2/739 () 22 22 1. 43 xy mm x y o M Q F |MQ|=2|QF| ()分析:由題設由題設

26、,|xM- -xQ|=2|xQ- -xF|, 即即|xQ|=2|xQ+m|,即即xQ=- -2m 或或 xQ=- - m. 2 3 3x2+4y2=12m2, y=k(x+m) (3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2- - 12m2=0 令令x=- -2m ,得得k=0;令令x=- - m ，得，得k=2 .6 2 3 2021/2/740 (2004東北理科卷東北理科卷) 給定拋物線給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn) 是是C的焦點，過點的焦點，過點F的直線的直線l與與C相交于相交于A、B兩兩 點點. () 設設l的斜率為的斜率為1，求，求OA與與OB的夾角；的夾角； () 設設BF= FA,

27、若若 4, 9，求，求l在在y軸上截軸上截 距的變化范圍距的變化范圍. x y o A B F () 由對稱性由對稱性,我們只須研究我們只須研究 如圖的情況如圖的情況. 2021/2/741 x y o A B F 2 4 , 1 yx xmy ( 1 ) 當當yB=- -4yA時時, 2 34 , 44 ABA ABA yyym yyy 2 440ymy yA=1 m = . 3 4 令令x=0，得，得y1= 4 . 3 ( 2 ) 當當yB=- -9yA時，同理可得時，同理可得y2= 3 . 4 m 433 4 ,. 344 3 2021/2/742 CD AB E (2000新課程卷新課

28、程卷) 如圖如圖, 已知梯形已知梯形ABCD中中, |AB|=2|CD|, 點點E分有向線段分有向線段AC所成的比為所成的比為 ， 雙曲線過雙曲線過C、D、E三點，且以三點，且以A、B為焦點為焦點. 當當 時，求雙曲線離心率時，求雙曲線離心率e的取值范的取值范 圍圍. 23 34 由由|AE|= |EC|, x y 設設|AB|=2c, 則則A(- -c,0), C( , yC), 又設又設E(x0, y0), 2 c 得得 x0+c= ( - -x0), 2 c x0= (2) 2(1) c |EC|= (exC+a)- -(- -ex0- - a)=2a+e(xC+x0), 因為因為|EC

29、|=|AC|- -|AE| 2021/2/743 因為因為|EC|= (exC+a)- -(- -ex0- - a)=2a+e(xC+x0), |AE|= |EC|,x0= (2) 2(1) c 所以所以- -ex0- -a= 2a+e( +x0) 2 c t = 0 (2) 2(1) xe a - -2et- -2= 4+e(e+2t) 2e( +1)t= - -(e2 +4 +2) 將將代入代入 兩邊同乘以兩邊同乘以 2 a e2( - -2)= - -(e2 +4 +2) e2= 123 2 11 因為因為 23 34 所以所以 7 e210, 得得710.e 2021/2/744 (2004天津理科卷天津理科卷)橢圓的中心是原點橢圓的中心是原點O,它的它的 短軸長為短軸長為2 ,相應于焦點相應于焦點F(c,0)的準線的準線l與與x軸相軸相 交于點交于點A,|OF|=2|FA|.過點過點A的直線與橢圓相交的直線與橢圓相交 于于P、Q兩點兩點. ()求橢圓的方程及離心率求橢圓的方程及離心率; ()若若OPOQ=0,求直線求直線 PQ的方程的方程; ()設設AP= AQ( 1).過點過點P且平行于且平行于l的直線的直線 與橢圓相交于另一點與橢圓相交于另一點M. 證明證明:FM=- - FQ. 2 M A P