第3章(2)概率論與數理統(tǒng)計

1、第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 1 二維隨機變量二維隨機變量 實際問題：確定炮彈位置的坐標；觀察兒童的身高實際問題：確定炮彈位置的坐標；觀察兒童的身高 和體重等等，都會產生二維隨機變量。和體重等等，都會產生二維隨機變量。 定義：定義：設設E是一個隨機試驗，其樣本空間是一個隨機試驗，其樣本空間S=e，設，設X=X(e) 和和Y=Y(e)是定義在是定義在S上的隨機變量，由它構成的一個上的隨機變量，由它構成的一個 向量向量(X,Y)叫做叫做二維隨機向量二維隨機向量或或二維隨機變量二維隨機變量。 為了研究隨機向量的統(tǒng)計性質，引入如下定義為了研究隨機向量的統(tǒng)計性質，引入如下定義

2、定義：定義：設設(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數是二維隨機變量，對于任意實數x,y，二元函數，二元函數 ,)()(),(yYxXPyYxXPyxF 稱為稱為二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的分布函數的分布函數或或X和和Y的的聯合分布聯合分布函數。函數。 隨機向量隨機向量(X,Y)落入矩形落入矩形 的概率為的概率為 , 2121 yyyxxx ),(),(),(),( , 21111222 2121 yxFyxFyxFyxF yyyxxxP (1.1) 分布函數具有如下性質：分布函數具有如下性質： 1. 單調性：單調性：F(x,y)是變量是變量x和和y的不減函數：的不減函數： 2. 2.

3、 有界性：有界性： ，且，且 1),(0yxF 對固定對固定x, ； 對固定對固定y, 0),(xF0),( yF 1),(, 0),(FF 3. 右連續(xù)性：右連續(xù)性： )0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF 4. 如下不等式成立：如下不等式成立： 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF 二維隨機變量分為兩種：二維隨機變量分為兩種：離散型離散型和和連續(xù)型連續(xù)型 離散型隨機變量離散型隨機變量 如果隨機變量如果隨機變量(X,Y)的全部可能取到的不同值是有限的全部可能取到的不同值是有限 或可列無限多對，則稱或可列無限多對，則稱(X,Y)是是離散型隨機變

4、量離散型隨機變量。 離散型隨機變量的表示：離散型隨機變量的表示： 設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能取值為所有可能取值為 ),( ii yx, 2 , 1,ji ， ，記，記 ijji pyYxXP, , 2 , 1,ji ， 稱為二維離散隨機變量稱為二維離散隨機變量(X,Y)的分布律，或的分布律，或X和和Y的的聯合分布律聯合分布律。 顯然有顯然有 0 ij p1 11 ij ij p ， 聯合分布律可用聯合分布律可用二維表格二維表格表示：表示： X Y 1 x 2 x i x 1 y 2 y j y 11 p 21 p 1 i p 12 p 22 p 2i p j p

5、1 j p2 ij p 例例1 設隨機變量設隨機變量X在在1，2，3，4四個整數中等可能地四個整數中等可能地 取一個值，另一個隨機變量取一個值，另一個隨機變量Y在在1X中等可能地中等可能地 取一整數值。試求取一整數值。試求(X,Y)的分布律。的分布律。 解：由題意可知，解：由題意可知，(X,Y)所有可能取值為所有可能取值為(i,j), i,j=1,2,3,4。 由乘法公式由乘法公式，對，對 于是于是(X,Y)的的 分布律為分布律為 4 11 |, i iXPiXjYPjYiXP iji, 4 , 3 , 2 , 1 X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8

6、 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 離散型隨機變量的聯合分布函數為離散型隨機變量的聯合分布函數為 xxyy ij ij pyxF),( (1.2) 連續(xù)型隨機變量概念連續(xù)型隨機變量概念 對于二維隨機變量對于二維隨機變量(X,Y )的分布函數的分布函數F(x,y)，若存在，若存在 非負的函數非負的函數 f(x,y)使對任意使對任意 x,y，有，有 yx dudvvufyxF),(),( 則稱則稱(X,Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數是連續(xù)型的二維隨機變量，函數 f(x,y) 稱為稱為 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的的概率密度概率密度或或X與與Y的

7、的聯合概率密度聯合概率密度 聯合密度函數的性質聯合密度函數的性質 1. 非負性：非負性： 0),(yxf 2. 規(guī)范性：規(guī)范性： 1),(),( Fdudvvuf 3. 概率的計算公式概率的計算公式：設：設G是是xOy平面上的區(qū)域，平面上的區(qū)域，(X,Y ) 落在落在G內的概率為內的概率為 G dxdyyxfGYXP),(),(1.3) 4. 若若f(x,y)在點在點(x,y)連續(xù)，則連續(xù)，則 ),( ),( 2 yxf yx yxF 若若f(x,y) 在點在點(x,y)連續(xù)，當和很小時，有連續(xù)，當和很小時，有 yxyxfyyYyxxXxP),(, 例例2 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y

8、)具有概率密度具有概率密度 otherwise yxe yxf yx , 0 0, 0,2 ),( )2( （1）求分布函數）求分布函數F(x,y)；（；（2）求概率）求概率 。 XYP 解：（解：（1）因）因 otherwise yxdxdyyxf dxdyyxfyxF yx yx , 0 0, 0,),( ),(),( 00 因此因此 otherwise yxee yxF yx , 0 0, 0),1)(1 ( ),( 2 （2）將）將(X,Y)看作是平面上隨機點的坐標，即看作是平面上隨機點的坐標，即 ),(GYXXY，G為為xOy平面上平面上y=x及其下方的部分。及其下方的部分。 因此因

9、此 G dxdyyxfGYXPXYP),(),( 3/12 0 )2( y yx dxdye n維隨機變量維隨機變量 設設E是一個隨機試驗，其樣本空間是是一個隨機試驗，其樣本空間是 ，設，設 ， ， ， 是定是定 義在義在S上的隨機變量，由它們構成的一個上的隨機變量，由它們構成的一個n維向量維向量 叫做叫做n維隨機向量維隨機向量或或n維隨機變量維隨機變量。 eS )( 11 eXX )( 22 eXX )(eXX nn ),( 21n XXX 對于任意對于任意n個實數個實數 ，n元函數元函數 ,),( 221121nnn xXxXxXPxxxF n xxx, 21 稱為稱為n維隨機變量維隨機變

10、量 的的分布函數分布函數或或 隨機變量隨機變量 的的聯合分布函數聯合分布函數。 ),( 21n XXX n XXX, 21 2 邊緣分布邊緣分布 二維隨機變量（二維隨機變量（X,Y）作為一個整體具有分布函數）作為一個整體具有分布函數F(x,y)。 X和和Y作為單個隨機變量作為單個隨機變量也各有其分布函數，記為也各有其分布函數，記為 和和 ，依次稱為二維隨機變量，依次稱為二維隨機變量(X,Y)關于關于X和關于和關于Y 的的邊緣分布函數邊緣分布函數。 )(xFX )(yF Y 容易知道容易知道 ),(,)(xFYxXPxXPxFX (2.1) 同樣同樣 ),()(yFyF Y (2.2) 對于離散

11、隨機變量：對于離散隨機變量： xxj ijX i pxFxF 1 ),()( 因此，進而得到因此，進而得到X的分布律的分布律 1 j iji pxXP , 2 , 1i, 同樣，同樣，Y的分布律為的分布律為 1 i ijj pyYP, 2 , 1j , 邊緣分布律邊緣分布律：記：記 1 i j iji xXPpp , 2 , 1i, 1 j i ijj yYPpp , 2 , 1j , 分別稱分別稱 和和 為為(X,Y)關于關于 X和關于和關于Y的的邊緣分布律邊緣分布律。 i p ), 2 , 1(i j p), 2 , 1(j 對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量( (X,Y) )，設它的密

12、度函數為，設它的密度函數為f(x,y)，因，因 x X dxdyyxfxFxF),(),()( 因此因此 dyyxfxf X ),()( (2.3) 同樣同樣 dxyxfyfY),()( (2.4) 分別稱分別稱 為為(X,Y)關于關于X 和關于和關于Y 的的邊緣概率密度邊緣概率密度。 )(),(yfxf YX 例例1 一整數一整數N等可能地在等可能地在1,2,3,10十個值中取一個值。十個值中取一個值。 設設D=D(N)是能整除是能整除N的正整數的個數，的正整數的個數，F=F(N)是是 能整除能整除N的素數的個數，試寫出的素數的個數，試寫出D和和F的聯合分布律，的聯合分布律， 并求邊緣分布律

13、。并求邊緣分布律。 解：該試驗的樣本空間及解：該試驗的樣本空間及D,F取值的情況列出如下：取值的情況列出如下： 樣本點樣本點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 D的所有可能取值為的所有可能取值為1,2,3,4; F的所有可能取值為的所有可能取值為0,1,2。 由已知條件，由已知條件，(D,F )取取(i,j), i=1,2,3,4, j=0,1,2的概率為的概率為 10 1 0, 1FDP 10 4 1, 2FDP 等等 其聯合分布律及邊緣其聯合分布律及邊緣 分布律如分布律如右表所示右表所示： 1/

14、10 0 0 0 0 4/10 2/10 1/10 0 0 0 2/10 1/10 7/10 2/10 1/10 4/10 2/10 3/10 PD=i 0 1 2 1 2 3 4 PF=j D F 1 即分布律為即分布律為： D 1 2 3 4 F 0 1 2 pk 0.1 0.4 0.2 0.3 pk 0.1 0.7 0.2 例例3 設設二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度為為 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 )()( 2 )( )1 (2 1 exp 12 1 ),( yyxx yxf yx, 其中，其中， 都是常數，且都是常數，且 ， 則則(

15、X,Y )稱為服從參數為稱為服從參數為 的二維正態(tài)分布，的二維正態(tài)分布， , 2121 11, 0, 0 21 , 2121 記為記為 。求二維正態(tài)。求二維正態(tài) 隨機變量的隨機變量的邊緣概率密度。邊緣概率密度。 ),(),( 2 2 2 121 NYX 解：解： ，因，因 dyyxfxf X ),()( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 21 21 2 2 2 2 )()( 2 )( xxyyxy 因此因此 dyeexf xyx X 2 1 1 2 2 22 1 2 1 )1(2 1 2 )( 2 21 12 1 )( 令令 ，則，則 1 1 2 2 2 1 1 xy t 2 1 2 1

16、 2 2 2 1 2 1 2 )( 1 22 )( 1 2 1 2 1 )( xtx X edteexf x 同理同理 2 2 2 2 2 )( 2 2 1 )( y Y eyf y 注：注：單由關于單由關于X和和Y的邊緣分布，不能確定的邊緣分布，不能確定(X,Y)的聯合分布。的聯合分布。 3 條件分布條件分布 離散型隨機變量的條件分布離散型隨機變量的條件分布 設設(X,Y)為離散型隨機變量，其分布律為為離散型隨機變量，其分布律為 ijji pyYxXP, 2 , 1, ji , (X,Y)關于關于X和關于和關于Y的的邊緣分布律邊緣分布律分別為分別為 1 j ijii ppxXP , 2 ,

17、1i, 1 i ijjj ppyYP, 2 , 1j , 設設 ，下面考慮在事件，下面考慮在事件 已發(fā)生的條件下已發(fā)生的條件下 事件事件 發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，即即求事件求事件 0 j p j yY i xX | ji yYxX , 2 , 1i, 的的條件概率條件概率。因此。因此 j ij j ji ji p p yYP yYxXP yYxXP , | , 2 , 1i, 如上的條件概率滿足性質：如上的條件概率滿足性質： 1 0| ji yYxXP 2 1 1 | 111 j j i ij j i j ij i ji p p p pp p yYxXP j ij j ji ji p p yY

18、P yYxXP yYxXP , | 定義定義 設設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的是二維離散型隨機變量，對于固定的j， 若若 ，則稱，則稱 0 j yYP , 2 , 1i (3.1) ，為在條件下隨機變量，為在條件下隨機變量X的的條件分布律條件分布律。 同樣地同樣地，對于固定的，對于固定的i，若，若 ，則稱，則稱 0 i xXP i ij i ji ij p p xXP yYxXP xXyYP , | (3.2) , 2 , 1j ，為在條件下隨機變量，為在條件下隨機變量Y的的條件分布律條件分布律。 例例2 一射手進行射擊，擊中目標的概率為一射手進行射擊，擊中目標的概率為 , 射擊

19、直至擊中目標兩次為止。設以射擊直至擊中目標兩次為止。設以X表示首次擊中目標表示首次擊中目標 所進行的射擊次數，以所進行的射擊次數，以Y表示總共進行的射擊次數，試表示總共進行的射擊次數，試 求求X和和Y的聯合分布律及條件分布律。的聯合分布律及條件分布律。 ) 10( pp 解：由題意，解：由題意， Y=n=在第在第n次射擊時擊中目標，且在第次射擊時擊中目標，且在第1次次 至第至第n-1次射擊中恰有一次擊中目標次射擊中恰有一次擊中目標 因各次射擊相互獨立，只要因各次射擊相互獨立，只要 ，概率，概率 為為 nm ,nYmXP 22 , n qpqqqppnYmXP pq1 ，得到，得到X和和Y的聯合

20、分布律為的聯合分布律為 22 , n qpnYmXP1, 2 , 1, 3 , 2nmn ， 容易計算容易計算 , 2 , 1, 1 , 1 12 1 22 1 22 1 mpq q qp qp qpnYmXPmXP m m mn n mn n mn , 3 , 2,) 1(, 22 1 1 22 1 1 nqpnqpnYmXPnYP n n m n n m 于是所求的條件分布律為于是所求的條件分布律為 當當 時，時， , 3 , 2n 1, 2 , 1, 1 1 ) 1( | 22 22 nm nqpn qp nYmXP n n 當當 時，時， , 3 , 2 , 1m , 2, 1,| 1

21、 1 22 mmnpq pq qp mXnYP mn m n 二維連續(xù)型隨機變量的條件分布二維連續(xù)型隨機變量的條件分布 設設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，由于，因此是二維連續(xù)型隨機變量，由于，因此不能直接不能直接 利用條件概率公式定義利用條件概率公式定義“條件分布函數條件分布函數” 設設(X,Y)的概率密度為的概率密度為f(x,y)，（，（X,Y）關于）關于Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度 為為 。給定。給定y，對于任意，對于任意x和固定和固定 ，考察條件概率，考察條件概率 )(yfY0 |yYyxXP 設設 ，則，則 0yYyP x YY x y y Y xy y dy yf yxf yf

22、dxyxf dyyf dxdyyxf yYyP yYyxXP yYyxXP )( ),( )( ),( )( ),( , | (3.3) 定義定義 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為f(x,y)，(X,Y)關于關于 Y的邊緣密度為的邊緣密度為 。若對于固定的。若對于固定的y， ， 則稱則稱 為在為在Y=y的條件下的條件下X的條件概率密度，記為的條件概率密度，記為 )(yfY0)(yfY )( ),( yf yxf Y )( ),( )|( | yf yxf yxf Y YX (3.4) 稱稱 為在為在Y=y條件下，條件下， X的條件分布函數，記為的條件分布函數，記為

23、 x Y x YX dx yf yxf dxyxf )( ),( )|( | x Y YX dx yf yxf yYxXPyxF )( ),( |)|( | (3.5) 類似地，可定義條件密度類似地，可定義條件密度 和和 條件分布條件分布 )( ),( )|( | xf yxf xyf X XY y X XY dy xf yxf xyF )( ),( )|( | 例例3 設設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A。若二維隨機。若二維隨機 變量變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 Gyx GyxA yxf ),(, 0 ),(,/1 ),( 則稱則稱(X,Y)在在G上服從

24、上服從均勻分布均勻分布。 現設現設(X,Y)在圓域：在圓域： 上服從均勻分布，上服從均勻分布， 求條件概率密度求條件概率密度 1 22 yx )|( | yxf YX 解：二維隨機變量解：二維隨機變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 otherwise yx yxf , 0 1,/1 ),( 22 且具有邊緣概率密度且具有邊緣概率密度 otherwise yydx dxyxfyf y y Y , 0 11,1 21 ),()( 2 1 1 2 2 于是當于是當 時，有時，有 11y otherwise yxy yyyxf YX , 0 11, 12 1 1)/2( /1 )|( 22 22

25、| 4 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量 定義定義 設設F(x,y)及及 分別是二維隨機變量分別是二維隨機變量(X,Y) 的分布函數及邊緣分布函數。若對于所有的分布函數及邊緣分布函數。若對于所有x,y有有 )(),(yFxF YX ,yYPxXPyYxXP (4.1) 即即 )()(),(yFxFyxF YX （4.2） 則稱隨機變量則稱隨機變量X和和Y是是相互獨立的相互獨立的。 設設(X,Y)是是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量， 分別分別 為為(X,Y)的概率密度和邊緣概率密度，則的概率密度和邊緣概率密度，則X和和Y相互獨立的相互獨立的 條件條件(4.2)等價于等價于 )(),(),(yf

26、xfyxf YX )()(),(yfxfyxf YX (4.3) 幾乎處處成立。幾乎處處成立。 當當(X,Y)是是離散型隨機變量離散型隨機變量時，時，X和和Y相互獨立的條件相互獨立的條件(4.2)式式 等價于：對于等價于：對于(X,Y)所有可能的取值所有可能的取值 , 有有 ),( ji yx , jiji yYPxXPyYxXP (4.4) 例如，例如，設離散隨機變量設離散隨機變量X,Y具有聯合分布律具有聯合分布律 0 1 PY=j 1/6 2/6 1/2 1/6 2/6 1/2 1/3 2/3 1 X Y 1 2 PX=i 則有則有 106/11, 0YPXPYXP 206/12, 0YP

27、XPYXP 116/21, 1YPXPYXP 216/22, 1YPXPYXP 因此因此 X,Y相互相互 獨立。獨立。 設（設（X,Y）是）是二維正態(tài)隨機變量二維正態(tài)隨機變量，其概率密度為，其概率密度為 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 )()( 2 )( )1 (2 1 exp 12 1 ),( yyxx yxf 其邊緣概率密度其邊緣概率密度 的乘積為的乘積為 )(),(yfxf YX 2 2 2 2 2 1 2 1 21 )()( 2 1 exp 2 1 )()( yx yfxf YX 因此，因此，若若 ，則對于所有，則對于所有 ，有，有0 yx, )()(),(y

28、fxfyxf YX 反之反之，若，若X,Y相互獨立，則相互獨立，則 。 當當 時，有時，有 )()(),(yfxfyxf YX 21, yx 21 2 21 2 1 12 1 因此，因此， 。 0 正態(tài)分布的一個結論正態(tài)分布的一個結論 對于二維正態(tài)隨機變量（對于二維正態(tài)隨機變量（X,Y）: X和和Y相互獨立相互獨立的的充分必要條件充分必要條件是參數是參數 。0 一個常用結論一個常用結論 例子例子 例例 一負責人到達辦公室的時間均勻分布在一負責人到達辦公室的時間均勻分布在812時，他的時，他的 秘書到達辦公室的時間均勻分布在秘書到達辦公室的時間均勻分布在79時，設他們兩人時，設他們兩人 到達的時

29、間相互獨立，求他們到達辦公室的時間相差到達的時間相互獨立，求他們到達辦公室的時間相差 不超過不超過5分鐘（分鐘（1/12小時）的概率。小時）的概率。 解：設解：設X和和Y分別是負責人和他的秘書到達辦公室的時間，分別是負責人和他的秘書到達辦公室的時間， 由假設由假設X和和Y的概率密度分別為的概率密度分別為 otherwise x xf X , 0 128, 4/1 )( otherwise x yfY , 0 97, 2/1 )( ， 因因X和和Y相互獨立，故相互獨立，故(X,Y)的概率密度為的概率密度為 otherwise yx yfxfyxf YX 0 97,128, 8/1 )()(),(

30、 因此，所求概率為因此，所求概率為 48 1 ( 8 1 ),(12/1| 的面積）GdxdyyxfYXP G n維隨機變量維隨機變量 1） n維隨機變量的維隨機變量的分布函數：分布函數： ,),( 221121nnn xXxXxXPxxxF 若存在非負函數若存在非負函數 ，使得，使得 ),( 21n xxxf nn xxx n dxdxdxxxxfxxxF nn 212121 ),(),( 11 則稱則稱 為為 的概率密度函數。的概率密度函數。 ),( 21n xxxf),( 21n XXX 2） n維隨機變量的維隨機變量的邊緣分布邊緣分布 關于關于X1 1，關于，關于( (X1 1, ,X

31、2 2) )等的等的邊緣分布函數邊緣分布函數： ),( 21n XXX ),()( 11 1 xFxFX ),(),( 2121, 21 xxFxxF XX 關于關于X1 1，關于，關于( (X1 1, ,X2 2) )等的等的邊緣密度函數邊緣密度函數： ),( 21n XXX nnX dxdxdxxxxfxf 32211 ),()( 1 nnXX dxdxdxxxxfxxf 432121, ),(),( 21 3 3） 獨立性獨立性 稱稱 隨機變量是相互獨立的，若對一切隨機變量是相互獨立的，若對一切 ，有，有 n XXX, 21 n xxx, 21 )()()(),( 2121 21 nXX

32、Xn xFxFxFxxxF n 稱稱 與與 是是相互獨立的相互獨立的，如果，如果 對一切對一切 ， ，有，有 ),( 21m XXX),( 21n YYY m xxx, 21 n yyy, 21 ),(),(),;,( 2122112121nmnm yyyFxxxFyyyxxxF 4一個結果：一個結果： 定理定理 設設 與與 相互獨立，相互獨立， 則則 和和 相互獨立。相互獨立。 又若又若 是連續(xù)函數，則是連續(xù)函數，則 與與 相互獨立。相互獨立。 ),( 21m XXX ),( 21n YYY ), 2 , 1(miX i ), 2 , 1(njYj gh,),( 21m XXXh ),( 2

33、1n YYYg 5 兩個隨機變量的函數的分布兩個隨機變量的函數的分布 （一）（一） 的分布的分布 YXZ 設設(X,Y)的概率密度為的概率密度為f(x,y)，則，則Z=X+Y的分布函數為的分布函數為 zyx Z dxdyyxfzZPzF),()( 設積分區(qū)域為設積分區(qū)域為 。考慮到變量代換?？紤]到變量代換 | ),(zyxyxG yux ，則，則 z zyz Z dudyyyuf dyduyyufdydxyxfzF ),( ),(),()( dyyyzfzf Z ),()( 于是，隨機變量的概率密度為于是，隨機變量的概率密度為 （5.1） 同理，由同理，由X,Y的對稱性，又有的對稱性，又有 dxxzxfzf Z ),()( （5.2） 特別地，當特別地，當X和和Y獨立時，則（獨立時，則（5.1）和（）和（5.2）式分別為）式分別為 dyyfyzfzf YXZ )()()(（5.3） dxxzfxfzf YXZ )()()( （5.4） (5.3)和和(5.4)稱為稱為卷積公式卷積公式，記為，記為 ，即，即 YX ff dxxzfxfdyyfyzfff YXYXYX )()()()( 一個重要例子一個重要例子 例例1 設設X和和Y是兩個相互獨立的隨機變量，