高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末復(fù)習(xí)提升學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章 不等式1不等式的性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)是進(jìn)行有關(guān)證明，推理的基礎(chǔ)，應(yīng)記準(zhǔn)每條性質(zhì)應(yīng)用的條件，保證每一步推理都有根據(jù)，主要性質(zhì)及推論有:對(duì)稱性：abba;傳遞性:ab，bcac；加法法則:abacbc；移項(xiàng)法則:abcacb；同向可加性：ab，cdacbd；乘法法則:ab，c0acbc或ab，c0,cd0acbd；乘方法則:ab0，nnanbn；開方法則:ab0，nn。2運(yùn)用均值不等式求最值，把握三個(gè)條件（1)“一正各項(xiàng)為正數(shù)；(2）“二定”-“和或“積”為定值；(3)“三相等”-等號(hào)一定能取到3一元二次不等式的求解方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式

2、及二次函數(shù)的關(guān)系，共同確定出解集(2）代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當(dāng)mn時(shí)，若（xm)(xn)0，則可得xn或xm;若（xm）（xn）0，則可得mxn.有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間4二元一次不等式(組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題： (1）畫二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的基本方法是“直線定邊界，特殊點(diǎn)定區(qū)域”對(duì)于任意的二元一次不等式axbyc0(或0時(shí)，axbyc0表示直線axbyc0上方的區(qū)域；axbyc0表示直線axbyc0下方的區(qū)域(2)解決線性規(guī)劃問題的一般步驟是：作出可行域；作出目標(biāo)函數(shù)的等值線；確定最優(yōu)解題型一“三個(gè)二次”之間的關(guān)系對(duì)于一元二次不等式

3、的求解,要善于聯(lián)想兩個(gè)方面的問題：（1）相應(yīng)的二次函數(shù)圖象及與x軸的交點(diǎn)；（2)相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根；反之，對(duì)于二次函數(shù)（二次方程）的問題的求解，也要善于聯(lián)想相應(yīng)的一元二次不等式的解與相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)根(相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象及與x軸的交點(diǎn)）例1設(shè)不等式x22axa20的解集為m,如果m1，4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解m1，4有兩種情況：其一是m，此時(shí)0；其二是m，此時(shí)0或0，下面分三種情況計(jì)算a的取值范圍設(shè)f(x）x22axa2,則有（2a）24（a2)4（a2a2），（1）當(dāng)0時(shí),10時(shí)，a1或a2.設(shè)方程f(x）0的兩根x1，x2,且x1x2，那么mx1，x2，m1，41x1x24即

4、解得2a，m1，4時(shí)，故a的取值范圍是（1，)跟蹤演練1若關(guān)于x的不等式ax26xa21題型二恒成立問題對(duì)于恒成立不等式求參數(shù)范圍問題常見類型及解法有以下幾種：(1）變更主元法:根據(jù)實(shí)際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元（2）分離參數(shù)法：若f(a）g(x）恒成立,則f(a)g（x）max。（3）數(shù)形結(jié)合法：利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化例2設(shè)不等式2x1p（x21）對(duì)滿足|p2的一切實(shí)數(shù)p的取值都成立，求x的取值范圍解令f(p）2x1p(x21）(1x2）p2x1，p2，2，可看成是一條線段，且使f（p）0對(duì)p2的一切實(shí)數(shù)恒成立所以即所以x。跟蹤演

5、練2f（x)ax2ax1在r上滿足f（x)0，則a的取值范圍是_答案(4，0解析（1）當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，故a0符合題意；（2)當(dāng)a0時(shí),由題意得:4a0。綜上所述：40),找出最優(yōu)解即可在線性約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)zaxbyc的最小值或最大值的求解步驟為：作出可行域;作出直線l0:axby0;確定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點(diǎn)；解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解,從而得出目標(biāo)函數(shù)的最小值或最大值例3已知實(shí)數(shù)x、y滿足求wx2y2的最大值和最小值解畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示為abc（包括邊界及其內(nèi)部）wx2y2(x0）2（y0）2表示的是可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)m（x，y）到原點(diǎn)o（

6、0，0)距離的平方，當(dāng)點(diǎn)m在邊ac上滑動(dòng)，且omac時(shí),w取得最小值，于是wmind22；當(dāng)點(diǎn)m滑動(dòng)到與點(diǎn)b（2，3)重合時(shí)，w取得最大值，即wmax（)213，故wmin，wmax13.跟蹤演練3某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌4個(gè)，繪畫標(biāo)牌5個(gè)現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料,甲種規(guī)格每張3 m2，可做文字標(biāo)牌1個(gè),繪畫標(biāo)牌2個(gè);乙種規(guī)格每張2 m2，可做文字標(biāo)牌2個(gè)，繪畫標(biāo)牌1個(gè)，求兩種規(guī)格的原料各用多少?gòu)?？才能使得總用料面積最小解設(shè)需要甲種原料x張,乙種原料y張,則可做文字標(biāo)牌(x2y）個(gè)，繪畫標(biāo)牌(2xy）個(gè)，由題意可得所用原料的總面積為z3x2y,作出可行域如圖在一組平行直線3x2yz中，經(jīng)過可行

7、域內(nèi)的點(diǎn)且到原點(diǎn)距離最近的直線過直線2xy5和直線x2y4的交點(diǎn)(2，1），最優(yōu)解為x2，y1。使用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最小題型四利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值要滿足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通過拼湊、換元等手段進(jìn)行變形如不能取到最值,可以考慮用函數(shù)的單調(diào)性求解例4設(shè)f（x)。（1）求f（x）在0,)上的最大值；(2）求f（x)在2，）上的最大值解(1）當(dāng)x0時(shí)，有x2，f（x）25.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)等號(hào)成立，所以f（x)在0，)上的最大值是25.(2)函數(shù)yx在2，）上是增函數(shù)且恒為正,f(x)在2，)上是減函數(shù)，且f(2）20。所以f

8、（x)在2，)上的最大值為20。跟蹤演練4設(shè)x，y都是正數(shù)，且3，求2xy的最小值解3，(）1。2xy（2xy)1(2xy)(）（4）(42).當(dāng)且僅當(dāng)，即y2x時(shí),取“又3，x，y。2xy的最小值為。1不等式的應(yīng)用非常廣泛，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終在集合、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何及實(shí)際問題中多有不等式的應(yīng)用本章的重點(diǎn)是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，均值不等式求最值和一元二次不等式的解法2考查角度通常有如下幾個(gè)方面：(1)對(duì)各類不等式解法的考查，其解題關(guān)鍵是對(duì)于生疏的，非規(guī)范化的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的、規(guī)范化的問題去求解;(2）對(duì)含參數(shù)的不等式的解法的考查，解含參數(shù)的不等式的基本途徑是分類討論，應(yīng)注意尋找討論點(diǎn)，以討論點(diǎn)劃分區(qū)間進(jìn)行求解(3）與函數(shù)、三角函數(shù)、向量等知識(shí)相結(jié)合，以解題工具的面貌出現(xiàn)在解