高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 圓錐曲線學(xué)案 蘇教版選修1-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1圓錐曲線橢圓的定義取一條定長的無彈性的細(xì)繩,把它的兩端分別固定在圖板的兩點f1、f2處，套上鉛筆，拉緊繩子,移動筆尖問題1：若繩長等于兩點f1、f2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？提示:線段f1f2。問題2:若繩長l大于兩點f1、f2的距離移動筆尖(動點m)滿足的幾何條件是什么？提示:mf1mf2l。平面內(nèi)與兩個定點f1,f2的距離的和等于常數(shù)（大于f1f2）的點的軌跡叫做橢圓（1)焦點：兩個定點f1，f2叫做橢圓的焦點（2）焦距：兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距.雙曲線的定義2011年3月16日,中國海軍第7批、第8批護(hù)航編隊“溫州號導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦，“馬鞍山”號導(dǎo)彈護(hù)

2、衛(wèi)艦在亞丁灣東部海域高船集結(jié)點附近正式會合，共同護(hù)航，某時，“馬鞍山艦哨兵監(jiān)聽到附近海域有快艇的馬達(dá)聲，與“馬鞍山”艦哨兵相距1 600 m的“溫州號”艦，3 s后也監(jiān)聽到了馬達(dá)聲（聲速340 m/s），用a、b分別表示“馬鞍山”艦和“溫州號”艦所在的位置，點m表示快艇的位置問題1:“溫州號”艦比“馬鞍山”艦距離快艇遠(yuǎn)多少米？提示：mbma34031 020(m）問題2:把快艇作為一個動點,它的軌跡是雙曲線嗎?提示：不是平面內(nèi)與兩個定點f1，f2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于f1f2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線(1）焦點：兩個定點f1，f2叫做雙曲線的焦點(2）焦距：兩焦點間的距離叫做雙曲線

3、的焦距。拋物線的定義如圖，我們在黑板上畫一條直線ef，然后取一個三角板，將一條拉鏈ab固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在c點，將三角板的另一條直角邊貼在直線ef上，在拉鎖d處放置一支粉筆,上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線問題1：畫出的曲線是什么形狀？提示：拋物線問題2：da是點d到直線ef的距離嗎?為什么？提示：是ab是rt的一條直角邊問題3：點d在移動過程中,滿足什么條件?提示：dadc。1一般地,平面內(nèi)到一個定點f和一條定直線l（f不在l上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線1圓錐曲線

4、定義用集合語言可描述為：(1）橢圓pm|mf1mf22a，2af1f2；(2）雙曲線pm|mf1mf22a，2af1f2；（3)拋物線pm|mfd，d為m到直線l的距離2在橢圓定義中，當(dāng)2af1f2時,m的軌跡為線段f1f2，在雙曲線定義中,當(dāng)2af1f2時，m的軌跡為兩條射線3過拋物線焦點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為n，則fn的中點為拋物線頂點,fn所在直線為拋物線對稱軸4對于橢圓、雙曲線，兩焦點的中點是它們的對稱中心，兩焦點所在直線及線段f1f2的垂直平分線是它們的對稱軸 圓錐曲線定義的理解例1平面內(nèi)動點m到兩點f1（3,0），f2(3，0)的距離之和為3m,問m取何值時m的軌跡是橢圓？思路點撥若

5、m的軌跡是橢圓，則mf1mf2為常數(shù)，但要注意這個常數(shù)大于f1f2.精解詳析mf1mf23m，m到兩定點的距離之和為常數(shù)，當(dāng)3m大于f1f2時，由橢圓定義知，m的軌跡為橢圓，3mf1f26，m2，當(dāng)m2時,m的軌跡是橢圓一點通深刻理解圓錐曲線的定義是解決此類問題的前提，一定要注意定義中的約束條件:(1）在橢圓中，和為定值且大于f1f2；（2）在雙曲線中，差的絕對值為定值且小于f1f2；(3）在拋物線中,點f不在定直線上1命題甲：動點p到兩定點a、b的距離之和 papb2a(a0，a為常數(shù)）；命題乙:p點軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的_條件解析：若p點軌跡是橢圓,則papb2a(a0，常數(shù))，甲

6、是乙的必要條件反過來，若papb2a（a0，常數(shù)）是不能推出p點軌跡是橢圓的這是因為：僅當(dāng)2aab時,p點軌跡才是橢圓；而當(dāng)2aab時，p點軌跡是線段ab；當(dāng)2aab時，p點無軌跡， 甲不是乙的充分條件綜上,甲是乙的必要而不充分條件答案：必要不充分2動點p到兩個定點a（2，0)，b（2,0）構(gòu)成的三角形的周長是10，則點p的軌跡是_解析：由題意知：papbab10,又ab4，papb64.點p的軌跡是橢圓答案：橢圓圓錐曲線的應(yīng)用例2設(shè)f1，f2是雙曲線的兩個焦點，q是雙曲線上任一點，從某一焦點引f1qf2的平分線的垂線，垂足是p，那么點p的軌跡是什么曲線?思路點撥利用雙曲線的定義，結(jié)合平面圖形

7、的性質(zhì)判斷精解詳析如圖所示，點q在雙曲線的右支上,有qf1qf22a.延長f1p、qf2交于l。f1qplqp，qpf1p，f1qql，代入，則qlqf22a，即f2l2a.取線段f1f2中點o，則由p是f1l中點有pof2l2aa。p的軌跡是以o為圓心,以a為半徑的圓一點通當(dāng)點在圓錐曲線上時，點一定滿足圓錐曲線的定義,如本題中，點q在雙曲線上，則有qf1qf22a，這是定義的要求另外利用平面圖形的性質(zhì)解題是解析幾何中很常見的解題思想3平面內(nèi)到兩定點f1（1，0）和f2（1,0)的距離的和為3的點的軌跡是_解析：f1f223，點p的軌跡是橢圓答案:橢圓4已知圓c1：(x3）2y21和圓c2：(

8、x3）2y29,動圓m同時與圓c1和圓c2相外切，試判斷動圓圓心m的軌跡解：設(shè)圓m的半徑為r，由題意，得mc11r，mc23r.mc2mc12c1c2，圓心m的軌跡是以c1，c2為焦點的雙曲線的左支5已知定點p（0,3)和定直線l：y30，動圓m過p點且與直線l相切求證：圓心m的軌跡是一條拋物線解：直線y30與圓相切，圓心m到直線y30的距離為圓的半徑r。又圓過點p（0,3）,rmp，動點m到點p（0,3)的距離等于到定直線y30的距離，動點m的軌跡是以點p（0,3）為焦點，以直線y30為準(zhǔn)線的拋物線橢圓定義中常數(shù)為動點到兩焦點的距離之和，由三角形中兩邊之和大于第三邊知，應(yīng)要求常數(shù)大于焦距雙曲

9、線定義中常數(shù)為動點到兩焦點的距離之差的絕對值，由三角形中兩邊之差小于第三邊知，應(yīng)要求常數(shù)小于焦距對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練（七） 1平面內(nèi)到一定點f和到一定直線l（f在l上）的距離相等的點的軌跡是_答案：過點f且垂直于l的直線2設(shè)f1、f2為定點，pf1pf25，f1f28,則動點p的軌跡是_解析：58，滿足雙曲線的定義,軌跡是雙曲線答案：雙曲線3以f1、f2為焦點作橢圓，橢圓上一點p1到f1、f2的距離之和為10，橢圓上另一點p2滿足p2f1p2f2,則p2f1_。解析：p2在橢圓上，p2f1p2f210,又p2f1p2f2，p2f15。答案：54平面內(nèi)動點p到兩定點f1（2，0），f2(2，0）的距

10、離之差為m，若動點p的軌跡是雙曲線，則m的取值范圍是_解析：由題意可知，m4，且m0，4m4,且m0.答案：（4,0）(0，4）5已知橢圓上一點p到兩焦點f1、f2的距離之和為20，則pf1pf2的最大值為_解析：pf1pf220，pf1pf2()2()2100。答案：1006已知拋物線的焦點為f，準(zhǔn)線為l,過f作直線與拋物線相交于a、b兩點，試判斷以ab為直徑的圓與l的位置關(guān)系解:如圖,取ab的中點o2，過a、b、o2分別作aa1l，bb1l，o2o1l，根據(jù)拋物線的定義，知aa1af,bb1bf，o2o1r（r為圓的半徑),以ab為直徑的圓與l相切7動點p（x,y）的坐標(biāo)滿足8。試確定點p的軌跡解：設(shè)a（2，0），b(2,0）,則表示pa,表示pb，又ab4,papb84，點p的軌跡是以a、b為焦點的橢圓8在相距1 600 m 的兩個哨所a，b，聽遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，已知當(dāng)時的聲速是340 m/s，在a哨所聽到爆炸聲的時間比在b哨所聽到時間早3 s試判斷爆炸點在怎樣的曲線上？解：由題意可知點