高中數學 第四章 圓與方程 4.1.2 圓的一般方程學案（含解析）

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精41。2圓的一般方程提出問題已知圓心（2,3），半徑為2。問題1：寫出圓的標準方程提示：（x2）2（y3)24。問題2：上述方程能否化為二元二次方程的形式？提示：可以，x2y24x6y90.問題3：方程x2y24x6y130是否表示圓？提示：配方化為（x2)2（y3）20，不表示圓問題4:方程x2y2dxeyf0一定表示圓嗎？提示：不一定導入新知1圓的一般方程的概念當d2e24f0時,二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圓的一般方程2圓的一般方程對應的圓心和半徑圓的一般方程x2y2dxeyf0（d2e24f0)表示的圓的圓心為,半徑長為 。化解疑難1圓的一般方程體現了

2、圓的方程形式上的特點:(1)x2，y2的系數相等且不為0;(2）沒有xy項2對方程x2y2dxeyf0的說明：方程條件圖形x2y2dxeyf0d2e24f0表示以為圓心，以為半徑的圓圓的一般方程的概念辨析例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圓,求：(1）實數m的取值范圍;(2)圓心坐標和半徑解(1）據題意知d2e24f（2m）2(2）24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范圍為.（2)將方程x2y22mx2ym25m0寫成標準方程為（xm)2（y1)215m，故圓心坐標為（m，1)，半徑r。類題通法形如x2y2dxeyf0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如

3、下兩種方法：（1)由圓的一般方程的定義令d2e24f0，成立則表示圓，否則不表示圓；(2)將方程配方后，根據圓的標準方程的特征求解，應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2y2dxeyf0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解活學活用下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑(1)x2y2x10；（2)x2y22axa20（a0）;(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1）d1,e0,f1，d2e24f1430，方程不表示任何圖形（2)d2a，e0，fa2，d2e24f4a24a20，方程表示點（a,0)(3)兩邊同除以2,得x2y2axay0，da，ea，f0，d2e2

4、4f2a20，方程表示圓,它的圓心為，半徑r|a|.圓的一般方程的求法例2已知abc的三個頂點為a（1，4)，b(2，3)，c（4,5)，求abc的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑解法一：設abc的外接圓方程為x2y2dxeyf0，a,b,c在圓上，abc的外接圓方程為x2y22x2y230,即（x1)2(y1)225.外心坐標為(1，1),外接圓半徑為5.法二：kab,kac3，kabkac1，abac.abc是以角a為直角的直角三角形,外心是線段bc的中點，坐標為(1，1)，r|bc|5。外接圓方程為(x1)2（y1）225.類題通法應用待定系數法求圓的方程時的兩個注意點（1）如果由已知條

5、件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數法求出a，b,r.(2）如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數法求出常數d，e，f.活學活用求經過點a(2,4）且與直線x3y260相切于點b（8,6）的圓的方程解:設所求圓的方程為x2y2dxeyf0,則圓心坐標為.圓與x3y260相切，1，即e3d360.（2，4）,(8，6）在圓上，2d4ef200，8d6ef1000.聯(lián)立，解得d11，e3，f30，故所求圓的方程為x2y211x3y300.代入法求軌跡方程例3已知abc的邊ab長為4，若bc邊上的中線為定長

6、3,求頂點c的軌跡方程解以直線ab為x軸，ab的垂直平分線為y軸建立坐標系（如圖），則a(2，0），b（2，0)，設c(x,y),bc中點d(x0，y0)ad|3，（x02)2y9。 將代入,整理得(x6)2y236.點c不能在x軸上，y0.綜上，點c的軌跡是以（6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉（12，0）和(0，0）兩點軌跡方程為（x6)2y236(y0）類題通法用代入法求軌跡方程的一般步驟活學活用過點a（8,0)的直線與圓x2y24交于點b，則ab中點p的軌跡方程為_答案：（x4）2y21典例(12分）已知圓o的方程為x2y29，求經過點a（1,2)的圓的弦的中點p的軌跡解題流程活學活用

7、一動點m到點a(4,0)的距離是到點b(2,0)的距離的2倍，求動點的軌跡解:設動點m的坐標為(x,y），則ma2mb，即2,整理得x2y28x0，即所求動點的軌跡方程為x2y28x0.隨堂即時演練1圓（x1）(x2)(y2）(y4)0的圓心坐標和半徑長分別為(）a（1,2），2b(1，1)，1c。，3 d。，答案：d2已知方程x2y22x2k30表示圓,則k的取值范圍是（）a(，1）b（3，)c（，1)(3,)d。答案：a3方程x2y22axbyc0表示圓心為c(2，2),半徑為2的圓，則a_，b_，c_.答案：2444設a為圓(x1)2y21上的動點，pa是圓的切線且|pa1,則p點的軌跡

8、方程是_答案：(x1）2y225求過點（1,1)，且圓心與已知圓x2y26x8y150的圓心相同的圓的方程答案：x2y26x8y0課時達標檢測一、選擇題1圓的方程是x2y2kx2yk20，當圓的面積最大時，圓心的坐標是（)a（1,1)b（1，1)c（1，0） d(0，1)答案：d2已知動點m到點(8，0)的距離等于點m到點（2,0）的距離的2倍，那么點m的軌跡方程是(）ax2y232bx2y216c（x1）2y216dx2（y1）216答案:b3當a取不同的實數時，由方程x2y22ax2ay10可以得到不同的圓，則（)a這些圓的圓心都在直線yx上b這些圓的圓心都在直線yx上c這些圓的圓心都在直

9、線yx或直線yx上d這些圓的圓心不在同一條直線上答案：a4如果圓x2y2axbyc0(a，b，c不全為零）與y軸相切于原點，那么（）aa0,b0，c0bbc0,a0cac0,b0dab0，c0答案：b5已知兩定點a（2,0）,b(1，0),如果動點p滿足|pa2|pb，則點p的軌跡所包圍的圖形的面積等于()a b4c8 d9答案：b二、填空題6已知圓c：x2y22x2y30，ab為圓c的一條直徑，若點a的坐標為(0，1），則點b的坐標為_答案:(2，3)7已知圓c：x2y22xay30(a為實數)上任意一點關于直線l：xy20的對稱點都在圓c上，則a_。答案：28已知a，b是圓o:x2y216上的兩點,且ab6，若以ab為直徑的圓m恰好經過點c（1,1）,則圓心m的軌跡方程是_答案:（x1)2(y1）29三、解答題9已知圓c：x2y2dxey30，圓心在直線xy10上，且圓心在第二象限,半徑長為，求圓的一般方程解:圓心c，圓心在直線xy10上,10，即de2.又半徑長r,d2e220.由可得或又圓心在第二象限，0即d0，0即e0，圓m為abc的外接圓(1)求圓m的方程；（2)當a變化時，圓m是否過某一定點，請說明理由解：（1)設圓m的方程為x2y2dxeyf0。因為圓m過點a（0，a），b(,0)，c（,0)，所以解得所以