人教版高一數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)解析

1、人教版高一數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)解析人教版高一數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)解析 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（人教版高一數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)解析）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為人教版高一數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)解析的全部?jī)?nèi)容。13基本初等函數(shù)一【要點(diǎn)精講】1指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1)根式的概念：定義：

2、若一個(gè)數(shù)的次方等于,則這個(gè)數(shù)稱(chēng)的次方根。即若，則稱(chēng)的次方根，1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作；2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒(méi)有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù),記作性質(zhì)：1）;2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí),；3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí),。（2）冪的有關(guān)概念規(guī)定：1）n*；2）； n個(gè)3)q，4）、n 且性質(zhì):1)、q）;2）、 q）；3） q）。（注）上述性質(zhì)對(duì)r、r均適用。（3）對(duì)數(shù)的概念定義：如果的b次冪等于n，就是，那么數(shù)稱(chēng)以為底n的對(duì)數(shù)，記作其中稱(chēng)對(duì)數(shù)的底,n稱(chēng)真數(shù)1）以10為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)常用對(duì)數(shù)，記作；2）以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)自然對(duì)數(shù)，,記作;基本性質(zhì):1）真數(shù)n為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）；2）；3）；4）對(duì)數(shù)恒等式：。

3、運(yùn)算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）r）換底公式:1）；2）。2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(1）指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱(chēng)指數(shù)函數(shù),1)函數(shù)的定義域?yàn)閞；2)函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1）,且圖象都在第一、二象限;2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸)；3)對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) ， , ， ， ，函數(shù)值的變化特征：（2）對(duì)數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)?2）函數(shù)的值域?yàn)閞;3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；4)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)函數(shù)圖像:1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

4、象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）,且圖象都在第一、四象限；2)對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線(當(dāng)時(shí)，圖象向上無(wú)限接近軸；當(dāng)時(shí),圖象向下無(wú)限接近軸）；4）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。函數(shù)值的變化特征：，,.，。 (3）冪函數(shù)1)掌握5個(gè)冪函數(shù)的圖像特點(diǎn)2）a0時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒為增函數(shù),a0時(shí)過(guò)（0,0)4)冪函數(shù)一定不經(jīng)過(guò)第四象限四【典例解析】題型1:指數(shù)運(yùn)算例1(1)計(jì)算：；(2）化簡(jiǎn)：。解：（1)原式=；(2）原式=.點(diǎn)評(píng):根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解,對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根

5、式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。例2（1）已知,求的值解：，,，,又,。點(diǎn)評(píng):本題直接代入條件求解繁瑣,故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算（2)。（江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則滿(mǎn)足27的x的值是 .答案 例3計(jì)算(1)；（2);（3）解：（1）原式 ;（2)原式 ；（3)分子=；分母=；原式=.點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧例4設(shè)、為正數(shù),且滿(mǎn)足

6、/ (1）求證：;(2）若，求、的值.證明：(1)左邊;解：（2)由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主,將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見(jiàn)形式再來(lái)處理即可。題型3:指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例5(江西師大附中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中)已知定義域?yàn)閞的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a,b的值；（2）若對(duì)任意的,不等式恒成立，求k的取值范圍.解 （1） 因?yàn)槭莚上的奇函數(shù)，所以從而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在r上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于 因是r上的減函數(shù)，由上式推得即對(duì)一切從而解法二：由(1）知又由題設(shè)條件得即 整理得，

7、因底數(shù)21，故 上式對(duì)一切均成立,從而判別式例6（2008廣東 理7)設(shè)，若函數(shù),有大于零的極值點(diǎn),則（ b ）abcd【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn)，即有正根。當(dāng)有成立時(shí)，顯然有,此時(shí)，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.點(diǎn)評(píng)：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來(lái)求解。題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例7設(shè)（ ）a0 b1 c2 d3解：c；，.點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,求解函數(shù)的值例8已知試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。解：令，則x=,tr。所以即，（xr）。因?yàn)閒（x)=f（x），所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f（

8、x)在0，+）上的單調(diào)性。任取，且使，則（1)當(dāng)a1時(shí)，由，有，所以,即f（x)在0，+上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)0a1時(shí)，由,有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。綜合所述,0，+是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（，0）是f（x）的單調(diào)區(qū)間。點(diǎn)評(píng)：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域,甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理。特別是分兩種情況來(lái)處理。題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用例9若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ )am1 b1m0 cm1 d0m1解：，畫(huà)圖象可知1m0。答案為b。點(diǎn)評(píng)：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點(diǎn)仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征.例10設(shè)函數(shù)

9、的取值范圍.解:由于是增函數(shù)，等價(jià)于1)當(dāng)時(shí)，式恒成立;2)當(dāng)時(shí)，式化為，即；3)當(dāng)時(shí)，式無(wú)解；綜上的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：處理含有指數(shù)式的不等式問(wèn)題,借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問(wèn)題（一元一次、一元二次不等式）來(lái)處理題型6：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例11(1）函數(shù)的定義域是( ）a b c d(2)（2006湖北)設(shè)f(x），則的定義域?yàn)椋?)a b(4，1)（1，4) c（2，1）(1，2) d（4，2)（2，4)解:（1）d（2)b.點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍,在對(duì)數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時(shí)才有意義。對(duì)于抽象函數(shù)的處理要注意對(duì)應(yīng)法則的對(duì)應(yīng)關(guān)系

10、。例12（2009廣東三校一模）設(shè)函數(shù)。（1)求的單調(diào)區(qū)間；(2）若當(dāng)時(shí)，（其中)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù).解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)椤?1分由得; 2分 由得， 3分則增區(qū)間為,減區(qū)間為. 4分（2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增, 6分由，且， 8分時(shí), 的最大值為，故時(shí)，不等式恒成立。 9分(3）方程即.記,則.由得;由得.所以g（x)在0，1上遞減，在1，2上遞增。而g(0）=1，g（1）=2-2ln2,g(2)=32ln3，g（0）g(2)g(1） 10分所以,當(dāng)a1時(shí),方程無(wú)解；當(dāng)32ln3a1時(shí),方程有一個(gè)解,當(dāng)2-2ln2aa

11、3-2ln3時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)a=2-2ln2時(shí),方程有一個(gè)解;當(dāng)a2-2ln2時(shí),方程無(wú)解。 13分字上所述，a時(shí),方程無(wú)解；或a=22ln2時(shí),方程有唯一解;時(shí)，方程有兩個(gè)不等的解.14分 例13當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( ）解：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象只能在a和c中選，又a1時(shí)，y=(1a)x為減函數(shù)。答案：b點(diǎn)評(píng)：要正確識(shí)別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握?qǐng)D像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過(guò)定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性例14設(shè)a、b是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn)， 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l： x=a+2與函

12、數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)c， 與直線ab交于點(diǎn)d。（1）求點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2)當(dāng)abc的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）易知d為線段ab的中點(diǎn)， 因a（a, log2a )， b(a+4, log2（a+4）),所以由中點(diǎn)公式得d(a+2, log2 )。（2）sabc=s梯形aacc+s梯形ccbb s梯形aabb= log2， 其中a,b,c為a,b,c在x軸上的射影。由sabc= log21， 得0 a22.點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程中用到了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類(lèi)來(lái)處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理復(fù)雜問(wèn)題。題型8：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題例15在xoy平面上有一點(diǎn)列p1(a1,b1）,

13、p2（a2,b2),pn（an,bn）,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1）的圖象上，且點(diǎn)pn,點(diǎn)(n,0）與點(diǎn)(n+1，0）構(gòu)成一個(gè)以pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1)求點(diǎn)pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（2）若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；（3）設(shè)cn=lg(bn)（nn),若a?。?）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列cn前多少項(xiàng)的和最大?試說(shuō)明理由解：（1)由題意知：an=n+,bn=2000().(2）函數(shù)y=2000(）x(0abn+2。則以bn，bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn

14、，即(）2+()10，解得a5(1+)或a5(1）. 5（1）a10。（3)5（1）a10，a=7bn=2000(）。數(shù)列bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n2,bn=bnbn1。于是當(dāng)bn1時(shí)，bnbn1，當(dāng)bn1時(shí)，bnbn1，因此數(shù)列bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿(mǎn)足不等式bn1且bn+11,由bn=2000()1得：n20。n=20.點(diǎn)評(píng):本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性,最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問(wèn)題。例16已知函數(shù)為常數(shù))（1)求函數(shù)f（x)的定義域；（2)若a=2,試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性（3）若函數(shù)y=f（x)是增函數(shù)，求

15、a的取值范圍.解:（1)由a0，x0 f(x)的定義域是。（2）若a=2，則設(shè) ， 則故f(x）為增函數(shù)。(3)設(shè) f（x)是增函數(shù)，f（x1）f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a（1，+）。點(diǎn)評(píng)：該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路,對(duì)“路”處理即可題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題例17對(duì)于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g(x），如果對(duì)任意的，均有，則稱(chēng)f(x）與g(x）在上是接近的,否則稱(chēng)f（x)與g(x）在上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間。（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍;（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的.解：（1

16、)兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因?yàn)楹瘮?shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù),故有意義當(dāng)且僅當(dāng);（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)于函數(shù)來(lái)講， 顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)由于，得所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,只需保證當(dāng)時(shí),與在區(qū)間上是接近的； 當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是非接近的點(diǎn)評(píng):該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義,再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問(wèn)題，解不等式即可。例18設(shè),，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ,，即，, ， ，當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng):對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問(wèn)題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)

17、生的變形能力。例19.(2009陜西卷文）設(shè)曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為a. b. c. d.1答案 b解析 對(duì),令得在點(diǎn)（1，1)處的切線的斜率，在點(diǎn)(1，1）處的切線方程為，不妨設(shè),則, 故選 b.五【思維總結(jié)】1（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式,因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中,根式常常化為指數(shù)式比較方便,而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；2要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母)、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)；3解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題,要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟