第十五章經(jīng)典曲面

1、第十五講第十五講 經(jīng)典曲面經(jīng)典曲面 檔案館檔案館 河北理工大學(xué)輕工學(xué)院河北理工大學(xué)輕工學(xué)院 -基礎(chǔ)教學(xué)部基礎(chǔ)教學(xué)部 極坐標(biāo)方程表示的曲線極坐標(biāo)方程表示的曲線 直角方程表示的曲面直角方程表示的曲面 曲曲 面面 檔檔 案案 館館 參數(shù)方程表示的曲面參數(shù)方程表示的曲面 參數(shù)方程表示的曲線參數(shù)方程表示的曲線 前前 言言 曲面是一條動(dòng)線，在給定的條件下，在空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 直角方程表示的曲面的繪制直角方程表示的曲面的繪制 與二維平面作圖命令與二維平面作圖命令Plot 相似相似, Plot3D也有許多選項(xiàng)也有許多選項(xiàng). 輸入輸入?Plot3D Plot3Df, x, xmin, xmax, y, ym

2、in, ymax generates a three-dimensional plot of f as a function of x and y. Plot3Df, s, x, xmin, xmax,y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is specified by s. （1）BoxRatios-1,1,1 圖形高寬比圖形高寬比x,y,z （2）Axes True 是否包括坐標(biāo)軸是否包括坐標(biāo)

3、軸 （3）Axes Label None 在軸中加標(biāo)志在軸中加標(biāo)志xLabel,yLabel （4）Boxed True 是否在曲面周圍加立方體是否在曲面周圍加立方體 三維圖形輸出選項(xiàng)、缺省值和說(shuō)明三維圖形輸出選項(xiàng)、缺省值和說(shuō)明 （5）Mesh True 是否在表面畫(huà)出是否在表面畫(huà)出x，y網(wǎng)格網(wǎng)格 （6）Shading True 表面是陰影還是留白的表面是陰影還是留白的 (7) View Point 1.3,-2.4,2 視視 點(diǎn)點(diǎn) 三維圖形的修飾 fx_,y_:=Sinx2+y2; Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2, BoxRatios-1,1,0.4 例：三維直角圖-1 f

4、x_,y_:=x2+y2; Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2, BoxRatios-1,1,0.4 例：三維直角圖-2 fx_,y_:=x2+y2 gx_,y_:=16-(x2+y2) g1=Plot3Dfx,y, x,-3,3,y,-3,3; g2=Plot3Dgx,y, x,-3,3,y,-3,3; Showg1,g2, BoxRatios-1,1,1 例：三維直角圖-3 參數(shù)方程表示的曲面的繪制參數(shù)方程表示的曲面的繪制 利用參數(shù)方程作空間曲面圖形的命令利用參數(shù)方程作空間曲面圖形的命令ParametricPlot3D 作曲面時(shí)的基本形式為作曲面時(shí)的基本形式為: Parame

5、tricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2, v,v1, v2, 選項(xiàng)選項(xiàng) 輸入輸入 ParametricPlot3Du*Cosv, u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2Pi; 可以作出旋轉(zhuǎn)拋物面可以作出旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2的圖形的圖形, 這個(gè)圖形比這個(gè)圖形比Plot3D命令作出的圖形命令作出的圖形 要好得多要好得多. 常見(jiàn)曲面的常用常見(jiàn)曲面的常用( (標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程的) )參數(shù)方程參數(shù)方程: : 當(dāng)當(dāng)a=b=c時(shí)為球面時(shí)為球面. 橢球面橢球面: 20 0 cos sinsin cossin cz by ax 橢圓拋物面橢圓拋物面: 20 sin cos 2

6、 u uz buy aux 當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)為旋轉(zhuǎn)拋物面時(shí)為旋轉(zhuǎn)拋物面. 橢圓錐面橢圓錐面: 20 sin cos u uz buy aux 當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)為圓錐面時(shí)為圓錐面. 橢圓柱面橢圓柱面: 20 sin cos u uz by ax 當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)為圓柱面時(shí)為圓柱面. 正螺面正螺面: : 單葉雙曲面單葉雙曲面: : 20 44 tan sinsec cossec cz by ax 圓環(huán)面圓環(huán)面: : 20 20 sin sin)cos( cos)cos( rz rRy rRx 20 sin cos aua Rz uy ux a = 2;f = (a + Cosu/2Sint - Sinu/2S

7、in2t) Cosu; g = (a + Cosu/2Sint - Sinu/2Sin2t) Sinu; h = Sinu/2Sint + Cosu/2Sin2t; ParametricPlot3Df, g, h, t, 0, 2Pi, u, 0, 2Pi, Boxed - False, Axes - False, PlotPoints - 30 例：參數(shù)方程圖形 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 g1=ParametricPlot3Du,v,0,u,-1,1,v,-1,1, DisplayFunction-Identity g2=ParametricPlot3Du,0,v,u,-1,1,v,-1

8、,1, DisplayFunction-Identity g3=ParametricPlot3D0,u,v,u,-1,1,v,-1,1, BoxRatios-1,1,1,DisplayFunction-Identity Showg1,g2,g3,DisplayFunction-$DisplayFunction 經(jīng)典曲面1笛卡兒坐標(biāo)系 fx_,y_:=-x-3y-1 Plot3Dfx,y,x,-1,1,y,-1,1 平面設(shè)計(jì)平面設(shè)計(jì) 13 zyx x y z o ParametricPlot3Dx,x-z,z,x,-1,1,z,-1,1, Axes-False,ViewPoint-3.180,1

9、.032,0.521 平面設(shè)計(jì)平面設(shè)計(jì) x y z o 0 xzy x y z o x y z o 13 zy 平面設(shè)計(jì)平面設(shè)計(jì) ParametricPlot3Dx,y,1-3y,x,-1,1,y,-1,1, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint-2.788,1.845,0.521 x y z o x y z o 11 zx 平面設(shè)計(jì)平面設(shè)計(jì) ParametricPlot3Dx,y,-x-11,x,-1,1,y,-1,1, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint-2.788,1.845,0.521 x y z o x

10、 y z o 1 yx 平面設(shè)計(jì)平面設(shè)計(jì) ParametricPlot3Dx,-x-1,z,x,-1,1,z,-1,1, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint-2.788,1.845,0.521 麥比烏斯帶麥比烏斯帶 經(jīng)典曲面2麥比烏斯帶 麥比烏斯圈麥比烏斯圈(M bius strip, M bius band)是一種單側(cè)、不可定是一種單側(cè)、不可定 向的曲面。因向的曲面。因A.F.麥比烏斯麥比烏斯(August Ferdinand M bius, 1790-1868)發(fā)現(xiàn)而得名。發(fā)現(xiàn)而得名。 xu_, v_ := (1 + v/2 Cosu/2) Cos

11、u yu_, v_ := (1 + v/2 Cosu/2) Sinu zu_, v_ := v/2 Sinu/2 ParametricPlot3Dxu, v, yu, v, zu, v, u, 0, 2Pi, v, -1, 1 -1 0 1 -1 0 1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 -1 0 1 拓?fù)鋵W(xué)大怪物克萊因瓶拓?fù)鋵W(xué)大怪物克萊因瓶 經(jīng)典曲面3克萊因瓶 在在1882年，著名數(shù)學(xué)家克萊因年，著名數(shù)學(xué)家克萊因(Felix Klein)發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的著發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的著 名名“瓶子瓶子”。這是一個(gè)象球面那樣封閉。這是一個(gè)象球面那樣封閉 的（也就是說(shuō)沒(méi)有邊）的

12、（也就是說(shuō)沒(méi)有邊）曲面曲面，但是它卻，但是它卻 只有一個(gè)面。在圖片上我們看到，克萊只有一個(gè)面。在圖片上我們看到，克萊 因瓶的確就象是一個(gè)瓶子。但是它沒(méi)有因瓶的確就象是一個(gè)瓶子。但是它沒(méi)有 瓶底，它的瓶底，它的瓶頸瓶頸被拉長(zhǎng)，然后似乎是穿被拉長(zhǎng)，然后似乎是穿 過(guò)了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一過(guò)了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一 起。如果瓶頸不穿過(guò)瓶壁而從另一邊和起。如果瓶頸不穿過(guò)瓶壁而從另一邊和 瓶底圈相連的話，我們就會(huì)得到一個(gè)輪瓶底圈相連的話，我們就會(huì)得到一個(gè)輪 胎面胎面. bx = 6 Cosu (1 + Sinu); by = 16 Sinu; rad = 4 (1 - Cosu / 2)

13、; X = IfPi u = 2 Pi, bx + rad Cosv + Pi, bx + rad Cosu Cosv; Y = IfPi u 48,12, Axes - False, Boxed - False, ViewPoint- 1.4, -2.6, -1.7 在我們繪制克萊因瓶的時(shí)候，如果能夠看清拓?fù)鋬?nèi) 部結(jié)構(gòu)更有利于我們理解，而在mathematica中由于缺 少曲面透明的效果，我們將使用鏤空的效果達(dá)到同樣的 目的。 首先我們定義一個(gè)克萊因瓶: bx = 6 Cosu (1 + Sinu); by = 16 Sinu; rad = 4 (1 - Cosu/2); X = IfPi

14、u 2 Pi, bx + rad Cosv + Pi, bx + rad Cosu Cosv; Y = IfPi 59, Axes - False, Boxed - False, ImageSize - 400, Background - Black, LightSources - 0, 1, 1.3, GBColor0.3, 0.3, .8, 1, -1, 1.3, RGBColor.7, .2, .2, -1, -1, 1.3, RGBColor0.3, .8, 0.3, AmbientLight - Black; 1 2 二次曲面欣賞二次曲面欣賞 經(jīng)典曲面系列二次曲面 一般說(shuō)來(lái)，直線與二

15、次曲面相交于兩個(gè)點(diǎn)；一般說(shuō)來(lái)，直線與二次曲面相交于兩個(gè)點(diǎn)； 如果相交于三個(gè)點(diǎn)以上，那么此直線全部在曲面上。如果相交于三個(gè)點(diǎn)以上，那么此直線全部在曲面上。 這時(shí)稱此直線為曲面的母線。如果二次曲面被平行這時(shí)稱此直線為曲面的母線。如果二次曲面被平行 平面所截，其截線是二次曲線。平面所截，其截線是二次曲線。 經(jīng)典曲面系列二次曲面 完全對(duì)稱完全對(duì)稱 直角方程直角方程 參數(shù)方程參數(shù)方程 取值范圍取值范圍 中中 心心 軸軸 X 軸軸,Y 軸軸,Z 軸軸 對(duì)對(duì) 稱稱 性性 頂頂 點(diǎn)點(diǎn) （ ） 截截 痕痕 圓、點(diǎn)圓、點(diǎn) 截截 部部 圓圓 主要特征主要特征 2222 Rzyx uRz vuRy vuRx cos

16、sinsin cossin 0 , 0 ,R （ ） 0 , 0R （ ） R, 0 , 0 圖圖 形形 ),(RzyxR 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ucz vuby vuax cos sinsin cossin 完全對(duì)稱完全對(duì)稱 直角方程直角方程 參數(shù)方程參數(shù)方程 取值范圍取值范圍 中中 心心 軸軸 X X軸，軸，y y軸，軸，Z Z軸軸 對(duì)對(duì) 稱稱 性性 頂頂 點(diǎn)點(diǎn) 截截 痕痕 橢圓，圓，點(diǎn)橢圓，圓，點(diǎn) 截截 部部橢橢 圓圓 主要特征主要特征圖圖 形形 （ ）0 , 0 , a （ ）0 , 0 b （ ） c , 0 , 0 axa byb czc x y z

17、o 標(biāo)準(zhǔn)二次曲面的繪圖標(biāo)準(zhǔn)二次曲面的繪圖 二次曲面的繪制二次曲面的繪制 q y p x z 22 q v p u z vy ux 22 x y z 無(wú)無(wú) 直角方程直角方程 參數(shù)方程參數(shù)方程 取值范圍取值范圍 中中 心心 軸軸Z Z軸軸 對(duì)對(duì) 稱稱 性性 頂頂 點(diǎn)點(diǎn) 截截 痕痕 雙曲線、直線雙曲線、直線 截截 部部雙曲線、直線雙曲線、直線 雙曲拋物面是二次曲面雙曲拋物面是二次曲面 中最桀驁不馴的曲面。一中最桀驁不馴的曲面。一 眼望去，其形狀酷似馬鞍，眼望去，其形狀酷似馬鞍， 因而俗稱馬鞍面。因而俗稱馬鞍面。 雙曲拋物面的脊梁有雙曲拋物面的脊梁有 兩組相互垂直的拋物線構(gòu)兩組相互垂直的拋物線構(gòu) 成，

18、但兩組拋物線的開(kāi)口成，但兩組拋物線的開(kāi)口 方向卻南轅北轍。方向卻南轅北轍。 讓我們用一組水平面切讓我們用一組水平面切 割標(biāo)準(zhǔn)的馬鞍面，你能想割標(biāo)準(zhǔn)的馬鞍面，你能想 象出切割出的曲線的形狀象出切割出的曲線的形狀 嗎？在它的脊梁上方是一嗎？在它的脊梁上方是一 組東西向的雙曲線，而在組東西向的雙曲線，而在 脊梁的下面，卻是南北向脊梁的下面，卻是南北向 的雙曲線，在脊梁正中原的雙曲線，在脊梁正中原 點(diǎn)處的那張平面只得到兩點(diǎn)處的那張平面只得到兩 條彼此相交的直線。條彼此相交的直線。 雙曲拋物面是無(wú)界曲雙曲拋物面是無(wú)界曲 面，我們看到的是它的局面，我們看到的是它的局 部，其整體可以想象卻不部，其整體可以想

19、象卻不 能繪制。能繪制。 主要特征主要特征圖圖 形形 無(wú)無(wú) 備備 注注 z y x o y x z 二次曲面的繪制二次曲面的繪制 二次曲面-單葉雙曲面 xu_,v_:= SecuCosv; yu_,v_:= SecuSinv; z u_,v_:= Tanu; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-Pi/3,Pi/3,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 xu_,v_:= SecuCosv; yu_,v_:= SecuSinv; z u_,v_:= Tanu; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v,

20、 u,-Pi/3,Pi/3,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-雙葉雙曲面 xu_,v_:=u*Cosv; yu_,v_:= u*Sinv; zu_,v_:= u; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-2,2,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-錐面 xs_,t_:=(4+Sins)Cost ys_,t_:=(4+Sins)Sint zs_,t_:=Coss ParametricPlot3Dxs,t,ys,t,zs,t,s,0,2Pi, t,0,2Pi,Plo

21、tPoints-50 二次曲面-環(huán)面 xu_,v_:=Cosv; yu_,v_:=Sinv; zu_,v_:= u; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,0,2,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-柱面 xu_,v_:=u; yu_,v_:=v; zu_,v_:=u2/2-v2/2; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-1,1,v,-1,1, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-馬鞍面 xu_,v_:=Sinu+v; yu_,v_:=Cosu+

22、v; zu_,v_:= u; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,-2,2,v,-2,2, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-未命名 xu_,v_:=SinuCosv; yu_,v_:=SinuSinv; zu_,v_:= v/4; ParametricPlot3Dxu,v, yu,v,zu,v, u,0,2Pi,v,0,2Pi, Boxed-False, BoxRatios-1,1,1 二次曲面-未命名 圖形欣賞 tetrapict =ShowGraphics3D Polygon / Flatten HollowTriang

23、le / poly , 1, ViewVertical - .52, .38, .85, Boxed - False運(yùn)行不了運(yùn)行不了 圖形欣賞 圖形欣賞 DoCylindricalPlot3Du1, 7.01559, r, theta, t, r, 0, 1, theta, 0, 2 Pi, PlotRange - -1, 1, -1, 1, -1, 1, Axes - False, Boxed - False, t, 0, 2 Pi/7.01559, Pi/ (6 7.01559)運(yùn)行不了運(yùn)行不了 CylindricalPlot3Du1, 16.4706, r, theta, 0, r, 0

24、, 1, theta, 0, 2 Pi CylindricalPlot3Du0, 5.52008, r, theta, 0, r, 0, 1, theta, 0, 2 Pi CylindricalPlot3Du2, 5.13562, r, theta, 0, r, 0, 1, theta, 0, 2 Pi 圖形欣賞 運(yùn)行不了運(yùn)行不了 ParametricPlot3DCost,Sint,t2*z, t,0.1,2Pi,z,0,1, Boxed-False, BoxRatios-1,1,2 ParametricPlot3DCost,Sinz, t*z, t,0.1,2Pi,z,0,1, Boxed-False, BoxRatios-1,1,2 圖形欣賞 圖形欣賞 Plot3DSinxCosy,x,-2Pi,2Pi,y,-2Pi,2Pi Plot3DSinxCosy,x,-2Pi,2Pi,y,-2Pi,2Pi, PlotPoint-50 圖形欣賞 程序：程序： Plot3Dx2-y2,x,-1,1,y,-1,1, BoxRatios-1,1,1, Boxed-False, ViewPoint-1,-1,0 圖形欣賞 xu_,v_:=a*(1- v/(2Pi)Cosn*v(1+Cosu)+c*Cosn*v; yu_,v_:=a*(1- v/(2Pi)