第十四章-結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件(配套李廉錕教材)

1、 13.1.1 13.1.1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn) 13.1 13.1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度 13.1.2 13.1.2 動(dòng)力荷載的分類動(dòng)力荷載的分類 13.1.3 13.1.3 動(dòng)力計(jì)算的自由度動(dòng)力計(jì)算的自由度 13.1.1 13.1.1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)： 研究結(jié)構(gòu)在研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載動(dòng)力荷載作用下的作用下的動(dòng)力反應(yīng)。動(dòng)力反應(yīng)。 （1 1）地震現(xiàn)場錄像）地震現(xiàn)場錄像（2 2）地震振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)錄像）地震振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)錄像 例如地震荷載：例如地震荷載： 動(dòng)力荷載：荷載的動(dòng)力荷載：荷載的大小、方向、作用位置大小、方向、作用位置

2、 隨時(shí)間而變化。隨時(shí)間而變化。 （1 1）TacomaTacoma大橋風(fēng)毀錄像大橋風(fēng)毀錄像（2 2）南浦大橋風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)錄像）南浦大橋風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)錄像 例如風(fēng)荷載：例如風(fēng)荷載： 13.1.1 13.1.1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn) 荷載的變化周期是結(jié)構(gòu)自振周期荷載的變化周期是結(jié)構(gòu)自振周期5 5倍以上，則可看成靜荷載。倍以上，則可看成靜荷載。 用于教學(xué)演示的小型振動(dòng)臺(tái)，鋁質(zhì)和有機(jī)玻璃模型用于教學(xué)演示的小型振動(dòng)臺(tái)，鋁質(zhì)和有機(jī)玻璃模型 用于教學(xué)演示的用于教學(xué)演示的 小型振動(dòng)臺(tái)，小型振動(dòng)臺(tái)， 鋁質(zhì)和有機(jī)玻璃模型鋁質(zhì)和有機(jī)玻璃模型 鋁質(zhì)模型的自由鋁質(zhì)模型的自由 振動(dòng)記錄振動(dòng)記錄 有機(jī)玻璃模型的有機(jī)玻璃模型的

3、 自由振動(dòng)記錄自由振動(dòng)記錄 用于教學(xué)演示的用于教學(xué)演示的 小型振動(dòng)臺(tái)，小型振動(dòng)臺(tái)， 鋁質(zhì)和有機(jī)玻璃模型鋁質(zhì)和有機(jī)玻璃模型 有機(jī)玻璃模型的有機(jī)玻璃模型的 自由振動(dòng)記錄自由振動(dòng)記錄 鋁質(zhì)模型的自由鋁質(zhì)模型的自由 振動(dòng)記錄振動(dòng)記錄 動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的區(qū)別：動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的區(qū)別： 加速度：加速度： 可否忽略可否忽略 動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容：動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容： 1）結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性：自振頻率、阻尼、振型自振頻率、阻尼、振型 2）荷載的變化規(guī)律及其動(dòng)力反應(yīng)動(dòng)力反應(yīng) （自由振動(dòng)） （受迫振動(dòng)） 1）牛頓運(yùn)動(dòng)定律2）慣性力 動(dòng)靜法動(dòng)靜法 （達(dá)朗伯原理） 特點(diǎn)：考慮慣性力，形式上瞬間的動(dòng)平衡動(dòng)平衡！ 建立微分方程

4、，, ,y y y 13.1.1 13.1.1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn) 如何考慮如何考慮 13.1.2 13.1.2 動(dòng)力荷載的分類動(dòng)力荷載的分類 1 1）周期荷載）周期荷載 2 2）沖擊荷載）沖擊荷載 3 3）隨機(jī)荷載）隨機(jī)荷載 P(t ) t P t 簡諧荷載簡諧荷載 P(t) t tr P P(t) t tr P P(t) t P P(t) t 爆炸荷載爆炸荷載1 1 爆炸荷載爆炸荷載2 2 突加荷載突加荷載 地震波地震波 一般周期荷載一般周期荷載 13.1.2 13.1.2 動(dòng)力荷載的分類動(dòng)力荷載的分類 建筑抗震設(shè)計(jì)原則建筑抗震設(shè)計(jì)原則 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)“小震不破壞，中震可修復(fù)，大震不倒

5、塌。小震不破壞，中震可修復(fù)，大震不倒塌?！?y 13.1.3 13.1.3 動(dòng)力計(jì)算的自由度動(dòng)力計(jì)算的自由度 確定全部質(zhì)量的位置，所需獨(dú)立幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)。 動(dòng)力自由度：動(dòng)力自由度： 這是因?yàn)椋簯T性力取決于質(zhì)量分布質(zhì)量分布及其運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)方向。 m E、A、I、 R 體系振動(dòng)自由度為？無限自由度無限自由度 ( (忽略忽略 ) ) m 三個(gè)自由度三個(gè)自由度 忽略軸向變形 忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 自由度為？單自由度單自由度 m 0,0mEAR 例：簡支梁：例：簡支梁： m 13.1.3 13.1.3 動(dòng)力計(jì)算的自由度動(dòng)力計(jì)算的自由度 集中質(zhì)量法：集中質(zhì)量法： 將分布質(zhì)量集中到某些位置。 例例1 1： 2EI

6、EI EI y (a)(a)單自由度單自由度 y1 y2 (b)(b)兩個(gè)自由度兩個(gè)自由度 例例2 2： (t) (c)(c)三個(gè)自由度三個(gè)自由度 ( )m x (d)(d)無限自由度無限自由度 ( , )y x t x 13.1.3 13.1.3 動(dòng)力計(jì)算的自由度動(dòng)力計(jì)算的自由度 例例3 3： u(t) v(t) 例例4 4： 確定體系的振動(dòng)自由度時(shí)，一般忽略梁和剛 架的軸向變形，和集中質(zhì)量的慣性矩的影響 集中質(zhì)量法幾點(diǎn)注意：集中質(zhì)量法幾點(diǎn)注意： 1）體系動(dòng)力自由度數(shù)不一定等于質(zhì)量數(shù)。 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 兩個(gè)兩個(gè)DOFDOF 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 一個(gè)一個(gè)DOFDOF 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 三個(gè)三個(gè)

7、DOFDOF 2）體系動(dòng)力自由度與其超靜定次數(shù)無關(guān)。 3）體系動(dòng)力自由度決定了結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的精度。 m1 m2 y x xx 13.1.3 13.1.3 動(dòng)力計(jì)算的自由度動(dòng)力計(jì)算的自由度 改變改變 水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系 3 3個(gè)自由度個(gè)自由度 4 4個(gè)自由度個(gè)自由度 m1 m2 m3 2 2個(gè)自由度個(gè)自由度 自由度與質(zhì)量數(shù)自由度與質(zhì)量數(shù) 不一定相等不一定相等 y1 y2 y1 y3 y2 y3 y4 y1 y2 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立 13.2 13.2 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng) 13

8、.2.2 13.2.2 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答 13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 13.2.4 13.2.4 阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 一一、自由振動(dòng)自由振動(dòng) （體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用，只有慣性力）（體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用，只有慣性力） 1.1.自由振動(dòng)產(chǎn)生原因自由振動(dòng)產(chǎn)生原因 體系在初始時(shí)刻體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾。受到外界的干擾。 靜平衡位置靜平衡位置 m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y 2.2.研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性研究單自由度

9、體系的自由振動(dòng)重要性 （1 1）它代表了許多實(shí)際工程問題，如水塔、單層廠房等。）它代表了許多實(shí)際工程問題，如水塔、單層廠房等。 （2 2）它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。）它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。 自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性 自振頻率和振型自振頻率和振型 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立 以一懸臂柱為對(duì)象：以一懸臂柱為對(duì)象： 自由振動(dòng) 初始位移 初始速度 同時(shí)作用

10、y(t) km y m my 模型模型2 2 隔離體隔離體 理解理解 兩模兩模 型中型中 “k” 含義含義 my m k y 模型模型1 1 “彈簧小車彈簧小車” ky ky 建立自由振動(dòng)的微分方程建立自由振動(dòng)的微分方程: : 兩種方法： 1）剛度法 力的平衡力的平衡 2）柔度法 位移協(xié)調(diào) 位移協(xié)調(diào) 1 1 k 1P 建立方程 1 1）剛度法：）剛度法： 以質(zhì)量為隔離體以質(zhì)量為隔離體 0 0 X myky 1 k 模型模型2 2模型模型1 1 剛度系數(shù) k 柔度系數(shù) 概念理解概念理解 my ky y 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立

11、建立自由振動(dòng)的微分方程建立自由振動(dòng)的微分方程: : 兩種方法： 1）剛度法 力的平衡力的平衡 2）柔度法 位移協(xié)調(diào) 位移協(xié)調(diào) 建立方程 2 2）柔度法：）柔度法： M點(diǎn)位移 y ky my ky 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立 ymF i ymFy i 0 yy m 慣性力 建立方程建立方程 1 1）剛度法：）剛度法： m y ky W 0y 0kymyW std yyy ()()0 stdstd k yym yyW 0 st st kyW y 0 dd kymy 0kymy 以質(zhì)量為隔離體以質(zhì)量為隔離體 my 13.2.1 13.

12、2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立 建立方程建立方程 2 2）柔度法：）柔度法： m ky my W std yyy () stdstdst yym yyy 0 st y 0ymy 以梁為對(duì)象建立位移方程以梁為對(duì)象建立位移方程 ( )y tkykymyW ymyW st Wy dd ymy ky 13.2.1 13.2.1 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立單自由度體系自由振動(dòng)微分方程建立 （1 1）剛度法）剛度法 研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立 平衡方程，需要用到剛度系數(shù)。平衡方程，需要用到剛度系數(shù)。 方法小結(jié)方法小結(jié)

13、 （2 2）柔度法）柔度法 研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程，研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程， 需要用到柔度系數(shù)。需要用到柔度系數(shù)。 剛度法剛度法 柔度法柔度法 （3 3）方法選擇）方法選擇 誰較簡單？誰較簡單？ 誰較容易求得。誰較容易求得。 取決于結(jié)構(gòu)的取決于結(jié)構(gòu)的 柔度系數(shù)柔度系數(shù) 剛度系數(shù)剛度系數(shù) 超靜定結(jié)構(gòu)，查表（形常數(shù)）超靜定結(jié)構(gòu)，查表（形常數(shù)） 靜定結(jié)構(gòu)，圖乘法求靜定結(jié)構(gòu)，圖乘法求 順利求解剛（柔）度系數(shù)是自由振動(dòng)分析的關(guān)鍵！順利求解剛（柔）度系數(shù)是自由振動(dòng)分析的關(guān)鍵！ 0myky原方程：原方程：0 k yy m 2 () k m 令： 通解為：通解為： 12 ( )

14、sincosy tCtCt 由由初始條件：初始條件： 020 (0) yyCy 0 01 (0) v yvC 0 0 ( )cossin v y tytt解為：解為： T 0 y(t) t y0 -y0 T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4 T/4 T 0 y(t) t 0 v 0 v 13.2.2 13.2.2 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答 化成單項(xiàng)三角函數(shù)的形式化成單項(xiàng)三角函數(shù)的形式: : 解又可表達(dá)為：解又可表達(dá)為： 將其展開：將其展開：( )sincoscossiny tatat 0 0 ( )cossin v y tytt 相比較得：相比較得

15、：0 sinya 0 cos v a 2 21 00 0 2 0 tan vy ay v ( )sin()y tat 則：振幅則：振幅 T 0 y(t) t a a 0 y 自由振動(dòng)總位移：自由振動(dòng)總位移： 初始相位角初始相位角 13.2.2 13.2.2 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答 13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 ( )sin()y tat由式由式: :可知可知 時(shí)間時(shí)間經(jīng)經(jīng) 后，質(zhì)量完成了一個(gè)振動(dòng)周期。后，質(zhì)量完成了一個(gè)振動(dòng)周期。 2 T 用用T 表示周期，表示周期， 周期函數(shù)的條件周期函數(shù)的條件: : y

16、(t+T )=y(t ) 1 2 f T 1)1)自振周期計(jì)算公式：自振周期計(jì)算公式： 2 m T k 2m 2 W g 2 st g 2)2)自振頻率計(jì)算公式：自振頻率計(jì)算公式： 1 st kgg mmW 秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)2用用 表示圓頻率：表示圓頻率： 用用 表示頻率：每秒鐘內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)表示頻率：每秒鐘內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)f 泛美大廈，泛美大廈，6060層層 鋼結(jié)構(gòu)，南北方向鋼結(jié)構(gòu)，南北方向 的基本固有周期為的基本固有周期為 2.902.90秒，秒， 大壩，大壩，400400英尺高的混凝土重力壩的英尺高的混凝土重力壩的 基本固有周期由強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)測得在蓄基本固有周期由強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)測得在

17、蓄 水為水為310310英尺和英尺和345345英尺十分別為英尺十分別為0.2880.288 秒和秒和0.3060.306秒，秒， 金門大橋，金門大橋，金門大橋橋墩跨距金門大橋橋墩跨距1280.21280.2米全橋總米全橋總 長長2737.42737.4米的米的懸索橋，其橫向振動(dòng)的基本基本固懸索橋，其橫向振動(dòng)的基本基本固 有周期為有周期為18.2018.20秒，豎向振動(dòng)的基本基本固有周期秒，豎向振動(dòng)的基本基本固有周期 為為10.9010.90秒，縱向振動(dòng)的基本基本固有周期為秒，縱向振動(dòng)的基本基本固有周期為3.813.81 秒，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的基本基本固有周期為秒，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的基本基本固有周期為4.43

18、4.43秒秒 例例13.113.1 求圖示梁結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率。求圖示梁結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率。 m EI l/2l/2 1P l/4 解：為求柔度系數(shù)，在質(zhì)點(diǎn) 上加單位力1（圖乘法） 3 48 l EI 3 22 48 ml Tm EI 思考思考 比較圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率 3 48EI l m l/2l/2l/2l/2l/2l/2 m mm (a)(a) (b)(b)(c)(c) (a)(b)(c)(a)(b)(c) 13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 例例13.513.5 求圖示結(jié)構(gòu)的頻率。求圖示結(jié)構(gòu)的頻率。 解解1 1： 是單自由度體系，作

19、水平振動(dòng)。求柔度時(shí)由于是單自由度體系，作水平振動(dòng)。求柔度時(shí)由于 結(jié)構(gòu)對(duì)稱，可取半剛架計(jì)算。結(jié)構(gòu)對(duì)稱，可取半剛架計(jì)算。 3 4 2 EI mL 3 11212 () 2 2223222324 LLLLLL L EIEI L EI EIEI L mm M圖圖 L/2L/2 P=1/2P=1/2 2 2 L/2L/2 EI EIEI 13.2.3 13.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 P=1 13.2.4 13.2.4 阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 m k y 1) 不考慮阻尼 0 y(t) t a a m k y=0 c 2) 考慮阻尼 阻尼是客觀存在的阻尼是

20、客觀存在的 振幅隨時(shí)間減小，這表明在振動(dòng)過 程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼阻尼。 （1 1）產(chǎn)生阻尼的原因）產(chǎn)生阻尼的原因 1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦 2)材料之間的內(nèi)摩擦 3)周圍介質(zhì)的阻力 （2 2）阻尼力的確定）阻尼力的確定 1)與質(zhì)點(diǎn)速度成正比 2)與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比 3)與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān) 粘滯阻尼粘滯阻尼 ( )R tcy y(t) m y ky my k m c cy 有阻尼模型有阻尼模型 建立動(dòng)平衡方程 0mycyky 標(biāo)準(zhǔn)化得: k m 2 c m 0 ck yyy mm 其中: 稱為阻尼比 二階常微分方程可變?yōu)椋?2 20yyy 設(shè)特解為： t yCe 特征方程為： 22 2

21、0 解為： 2 (1) 111 、 （1）1 令： 2 1 r 則代數(shù)方程解： r i 13.2.4 13.2.4 阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 111 、 小阻尼、臨界阻尼、過阻尼的自由振動(dòng) 則微分方程通解為： 12 cossin t rr yeCtCt 00 0 cossin t rr r y yeytt 2 2 000 0 2 00 () sin() , t r r r vyy yeataytg vy ， 也可: t y yk t yae yk+1 tk T 1)1)是一種衰減振動(dòng)是一種衰減振動(dòng) 2)2)對(duì)自振頻率的影響對(duì)自振頻率的影響 2 1 r r 當(dāng)0.2,則 0.96

22、r/1 在工程結(jié)構(gòu)問題中0.010.1 此時(shí)，阻尼的影響可以忽略。 實(shí)部 初始條件初始條件 虛部 13.2.4 13.2.4 阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響 1)1)是一種衰減振動(dòng)是一種衰減振動(dòng) 阻尼對(duì)固有振動(dòng)蘋率的影響 阻尼對(duì)自由振動(dòng)阻尼對(duì)自由振動(dòng) 衰減速率的影響衰減速率的影響 如圖右如圖右 2)2)對(duì)自振頻率的影響對(duì)自振頻率的影響 當(dāng)0.2,則 0.96r/1 在工程結(jié)構(gòu)問題中0.01)引起的動(dòng)力反應(yīng) 微分沖量微分沖量 0 1 ( )( )sin() t y tPtd m 13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)

23、一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng): : 杜哈梅積分杜哈梅積分 初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 為零為零 （1 1）突加荷載）突加荷載 P(t) t Po 0 0 1 ( )sin() t y tPtd m 0 2 (1cos)(1cos) st P tyt m yst y(t) t 0 23 質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動(dòng)位置作簡諧振動(dòng) yst yst 舉例說明舉例說明 0 00 ( ) 0 t P t Pt 0 1 ( )( )sin() t y tPtd m 13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)

24、 max ( ) 2 st y t y （2 2）短時(shí)荷載）短時(shí)荷載 P(t) t Po u 0 00 ( )0 0 t P tPtu tu 1 1）方法一：）方法一： 0 00 11 ( )( )sin()() tu y tPtdPSintd mm 2sinsin() 22 st uu yt 13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng) ( )(1 cos) st y tyt 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載同突加荷載： 階段階段 ( (t u) )： P(t) t Po u 0 00 ( )0 0 t P tPtu tu 階段階段 ( (t

25、u) )：體系以：體系以 作自由振動(dòng)。作自由振動(dòng)。 ( ), ( )y uy u 2 2）方法二：）方法二： ( )(1 cos) st y tyt ( )sin st y uyu ( )cos()cos st y tytut 2sinsin() 22 st uu yt 13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng) 階段階段 (0(0t u) )同突加荷載同突加荷載： ( )(1 cos) st y uyu 3 3）方法三：）方法三： P(t) t P P(t) t P u ( )(1 cos) st y tyt ( )1 cos() st y tytu

26、 1)1)當(dāng)當(dāng)0 u (cos()cos) st ytut 2sinsin() 22 st uu yt 1 cos() st ytu ( )(1 cos) st y tyt 13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng) P(t) t P u y(t) t 0 23 討論主要針對(duì)u展 開 yst T/2 1 1）當(dāng)）當(dāng)u T/2，最大動(dòng)最大動(dòng) 位移發(fā)生在階段位移發(fā)生在階段 max ( ) 2 st y t y 2 2）當(dāng)）當(dāng)0u T/2，最大動(dòng)最大動(dòng) 位移發(fā)生在階段位移發(fā)生在階段 ( )2sinsin() 22 st uu y tyt max ( )2si

27、n 2 st u y ty max ( ) 2sin 2 st y tu y u T 1/6 1 1/2 2 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜( (T T, ,) ) 1 2sin 2 1 2 2 uu TT u T 當(dāng) 當(dāng) 13.3.3 13.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng) 最大動(dòng)反應(yīng)的求解：最大動(dòng)反應(yīng)的求解： 13.3.4 13.3.4 阻尼對(duì)受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響阻尼對(duì)受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響 計(jì)算簡圖: 建立平衡方程： ( )mycykyP t 簡諧荷載： 2 2sin F yyyt m ( )sinP tFt 方程的解： r sin()yat 22 2

28、2 22 1 (1)4 st ay y(t) k m y m 隔離體隔離體 ( )P t ( )P t my ky cy 設(shè)特解： 22 22 22 1 (1)4 st a y 動(dòng)力系數(shù)： 1 2 2 2 tan (1) 相位角： 22 22 22 1 (1)4 st a y 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 =0 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜( , ) 1 1 10 1 1 1 2 共振：共振： max 1 0.751.3 共振共振 區(qū)區(qū) 13.3.4 13.3.4 阻尼對(duì)受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響阻尼對(duì)受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響 例

29、例13.1013.10 前提同例前提同例13.213.2，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生P P0 0sintsint， P P0 0=20kN=20kN，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為400r/min400r/min，求振幅及地基最大壓力。，求振幅及地基最大壓力。 解解: : 由由 例例13.213.2已求出已求出 1 44.27s k = 12103 kN/m W P0sint 1)1)荷載頻率荷載頻率: : 1 22400 41.89 6060 n s 2)2)動(dòng)力系數(shù)：動(dòng)力系數(shù)：22 2 11 9.59 41.89 1 1 44.27 max 3 20 ( )9.560.0159 12 10 st y

30、tym 3)3)豎向振動(dòng)振幅豎向振動(dòng)振幅: : 0 max 6020 9.5612.56 2020 PW pkPa AA 4)4)地基最大壓力：地基最大壓力： 13.3.2 13.3.2 簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng) 41.89 0.946 44.27 在共振區(qū)在共振區(qū) 解: 由例13.2已求出 1 44.27s 1)荷載頻率: 1 22400 41.89 6060 n s 2)動(dòng)力系數(shù)： max 3 20 ( )3.315.5 12 10 st y tymm 3)豎向振動(dòng)振幅: 0 max 6020 3.316.31 2020 PW pkPa AA 4)地基最大壓

31、力： 例例13.1413.14 當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生P P0 0sintsint，P P0 0=20kN=20kN，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為 400r/min,400r/min,考慮阻尼的影響考慮阻尼的影響 , ,求振幅及地基最大壓力。求振幅及地基最大壓力。 0.15 (15.9)mm ( 12.56)kPa 0.15 W P0sint41.89 0.946 44.27 在共振區(qū)在共振區(qū) 22 2222 22 2222 11 41.8941.89 1414 0.15 44.2744.27 3.31 13.3.4 13.3.4 阻尼對(duì)受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響阻尼對(duì)受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響 (9.5

32、9) 13.4.1 13.4.1 兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)微分方程的建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)微分方程的建立 13.4 13.4 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng) 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 13.4.4 13.4.4 兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程的一般解兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程的一般解 13.4.1 13.4.1 兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立 （1 1）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系 多層房屋、多層房

33、屋、 不等高排架等不等高排架等 （2 2）為滿足計(jì)算精度的要求）為滿足計(jì)算精度的要求 煙囪、煙囪、 高聳建筑物等高聳建筑物等 基本方法基本方法 剛度法：剛度法： 柔度法：柔度法： 按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動(dòng)方程按結(jié)構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動(dòng)方程 按質(zhì)量的力平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程按質(zhì)量的力平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程 （1 1）柔度法）柔度法 y1 y2 （ m1 m2 22 m y21 11 2 1P 22 12 1 2 1 2 建立方程：建立方程： 111111222 ( )( )( )y tm y tm y t 221112222 ( )( )( )y tm y tm y t 13.4.1 13.4

34、.1 兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立 柔度系數(shù)：柔度系數(shù)： 注意注意 柔度柔度 系數(shù)系數(shù) 物理物理 意義意義 1 1P 11 m y （2 2）剛度法）剛度法 質(zhì)量隔離體質(zhì)量隔離體 m2 m1 2 K 111 ( )0m y tK 222 ( )0m y tK 列平衡方程：列平衡方程： 1 K 2 K 1 y 1 2 2 y 如何確定？如何確定？ 13.4.1 13.4.1 兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立 22 m y 11 m y 1 K y1 y2 （ m1 m2 2 K 1 K 彈彈 性性 力力 慣慣 性性 力力 剛度系數(shù)剛度系

35、數(shù): :k k 1 K 2 K 1 2 2 y 1 y k11 k21 1 1 2 k12 k22 1 1 2 得到運(yùn)動(dòng)方程：得到運(yùn)動(dòng)方程： 11111122 ( )0m y tk yk y 22211222 ( )0m y tk yk y 2211222 Kk yk y 1111122 Kk yk y 111 ( )0m y tK 222 ( )0m y tK 注意注意 物理意義物理意義 ij k 13.4.1 13.4.1 兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)方程建立 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率 111112212 211212222

36、( )( )( ) ( )( )( ) y tm y tm y t y tm y tm y t 設(shè)各質(zhì)點(diǎn)按相同頻率和初相角作簡諧振動(dòng)，即：設(shè)各質(zhì)點(diǎn)按相同頻率和初相角作簡諧振動(dòng)，即： （1 1）柔度法）柔度法 微分方程：微分方程： 2 11 2 22 () () yYSint yY Sint （2 2）求得：求得： 11 22 () () yYSint yY Sint （1 1） 把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程： 22 1 11121221 22 121122222 ()()()0 ()()()0 mYSintmY SintYSint mYSintmY S

37、intY Sint 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率 1 1112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY 齊次線性方程組齊次線性方程組: : 非零解非零解 頻率方程頻率方程 1 11212 121222 0 mm D mm 關(guān)于關(guān)于的二次代數(shù)方程的二次代數(shù)方程 1 11222121212 ()()0mmmm得：得： 系數(shù)行列式系數(shù)行列式 應(yīng)等于零應(yīng)等于零 1 2 2 1112221112221122122112 ()()4() 2 mmmmmm 方程兩正根為方程兩正根為: : 1 1 2 2 1 1 自振頻率自振頻率 12

38、 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率 第一頻率第一頻率 （基頻） 第二頻率第二頻率 （2 2）剛度法）剛度法 11121122 22211222 ( )0 ( )0 m y tk yk y m y tk yk y 微分方程：微分方程： 設(shè)解為：設(shè)解為： 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率 11 22 () () yYSint yY Sint （1 1） 2 11 2 22 () () yYSint yY Sint （2 2） 把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程： 2 1111 1122 2 2221

39、 1222 ()()()0 ()()()0 mYSintk YSintk Y Sint mY Sintk YSintk Y Sint 可求得：可求得： 頻率方程：頻率方程： 2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y 齊次線性方程組：齊次線性方程組： 自振頻率：自振頻率： 2 2 1122112211221221 1,2 121212 4()1 2 kkkkk kk k mmmmm m 13.4.2 13.4.2 頻率方程和自振頻率頻率方程和自振頻率 2 11112 2 21222 0 kmk D kkm 較小的較小的 第一頻率（基頻），第一頻率（

40、基頻）， 為第二頻率。為第二頻率。 1 2 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 （1 1）主振型）主振型 1 1112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY (1) 1212 (1) 2 1 11 2 1 1 Ym Y m Y1(1) Y2(1) m1m2 (柔度法) 1212 2 1 11 2 1 Ym Y m 222 2 121 1 m m 1 1 1）當(dāng)）當(dāng)?shù)谝恢髡裥偷谝恢髡裥?(1) 1 (1) 2 1 Y Y 若：若： 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 m1m2 （1

41、 1）主振型）主振型 1 1112122 2 121 12222 2 1 ()0 1 ()0 mYmY mYmY 1212 2 1 11 2 1 Ym Y m (2) 1212 (2) 2 1 11 2 2 1 Ym Y m (柔度法) 222 2 121 1 m m 2 2 2）當(dāng)）當(dāng) 第二主振型第二主振型 (2) 1 (2) 2 1 Y Y 若：若： Y1(2) Y2(2) 2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y 則，用剛度系數(shù)表示的主振型為：則，用剛度系數(shù)表示的主振型為： (1) 112 (1)2 21111 (2) 112 (2)2 2

42、1121 Yk Ykm Yk Ykm 平衡方程：平衡方程： （2 2）主振型）主振型 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 2 112222 2 211121 Ykkm Ykmk 兩種方法是等價(jià)的兩種方法是等價(jià)的 （3 3）主振型的正交性）主振型的正交性 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 m1m2 11 m y 22 m y 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 按按 振動(dòng)時(shí)：振動(dòng)時(shí)： 1 位移與加速度同時(shí)達(dá)到最大，因此位移與加速度同時(shí)達(dá)到最大，因此 可以看作可以看作 是最大慣性力產(chǎn)生的靜位移。是最大慣性力產(chǎn)生的靜位移。 (1)(1)

43、 12 YY 11 22 () () yYSint yY Sint (1) 111 (1) 221 () () yYSint yYSint 2(1) 1111 2(1) 2121 () () yYSint yYSint 作自由振動(dòng)時(shí)，體系上承受的是慣性力。作自由振動(dòng)時(shí)，體系上承受的是慣性力。準(zhǔn)備準(zhǔn)備1 1： 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 1 P 111222 1112 22 PP TP 準(zhǔn)備準(zhǔn)備2 2： 功的互等定理。功的互等定理。 1 12 2 2 P 11 12 22 1 P 1 12 2 2 P 21 12 22 在梁上先作用在梁上先作用P P

44、1 1, ,再作用再作用P P2 2, , 整個(gè)過程中體系做的功為：整個(gè)過程中體系做的功為： 在梁上先作用在梁上先作用P P2 2, ,再作用再作用P P1 1, , 整個(gè)過程中體系做的功為：整個(gè)過程中體系做的功為： 222111 2221 22 PP TP 12 TT 1 1號(hào)力在號(hào)力在2 2號(hào)力引起的位移上做的功號(hào)力引起的位移上做的功 112221 PP功的互等定理功的互等定理 2 2號(hào)力在號(hào)力在1 1號(hào)力引起的位移上做的功號(hào)力引起的位移上做的功 （3 3）主振型的正交性）主振型的正交性 用功的互等定理來證明。用功的互等定理來證明。 第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 功的互等定理功

45、的互等定理 2(1)(2)2(1)(2)2(2)(1)2(2)(1) 11 11122221 112222 ()()()()mYYm YYmYYm YY 整理得：整理得： 22(1)(2)(1)(2) 121 11222 ()()0mYYm YY 12 第一正交關(guān)系第一正交關(guān)系 虛功虛功1 1 虛功虛功2 2 (1)(2)(1)(2) 1 11222 0mY Ym Y Y Y1(1) Y2(1) m1m2 2(1) 122 m Y 2(1) 11 1 mY m1m2 2(2) 21 1 mY 2(2) 222 m Y 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 Y

46、1(2) Y2(2) 如何解釋正交性？如何解釋正交性？ 利用第一正交關(guān)系利用第一正交關(guān)系 1) 1) 同乘同乘 2 1 2(1)(2)2(1)(2) 11112122 ()()0mYYmYY 虛功虛功1 10 0 2) 2) 同乘同乘 2 2 2(2)(1)2(2)(1) 12112222 ()()0mYYmYY 虛功虛功2 20 0 這表明體系在振動(dòng)過程中，各主振型的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移這表明體系在振動(dòng)過程中，各主振型的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移 到其他主振型上，也不會(huì)引起其他主振型的振動(dòng)。因此，到其他主振型上，也不會(huì)引起其他主振型的振動(dòng)。因此， 各主振型能單獨(dú)存在而不相互干擾。各主振型能單獨(dú)存在而不相互干擾。

47、13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 (1)(2)(1)(2) 1 11222 0mY Ym Y Y 1 2 2 1112221112221122122112 ()()4() 2 mmmmm m 11112 mm 21112 mm 例例13.1513.15 求簡支梁的自振頻率和主振型，并驗(yàn)證主求簡支梁的自振頻率和主振型，并驗(yàn)證主 振型的正交性。振型的正交性。 l/3l/3l/3 P=1 P=1 2 9 l 2 9 l 解：解：1 1）求柔度系數(shù)）求柔度系數(shù) 3 1122 4 243 l EI 3 1221 7 486 l EI 2 2）代入方程求兩個(gè)根）代入

48、方程求兩個(gè)根 3 3）自振頻率）自振頻率 1 3 1 1 5.69 EI ml 2 3 2 1 22 EI ml 1 2 mm EI 1M 2M 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 l/3l/3l/3 mm 4 4）主振型）主振型 (1) 1122 (1) 11112 1 1 Ym mY (2) 1122 (2) 11122 1 1 Ym mY 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 5 5）驗(yàn)證主振型的正交性）驗(yàn)證主振型的正交性 (1)( 2 )(1)( 2 ) 111222 0m YYm YY ? (1)(2)(1)(2) 111222 1(1)1

49、( 1)0 m YYm YYmm即 ： 故滿足正交性條件故滿足正交性條件 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 利用對(duì)稱性另解：利用對(duì)稱性另解： 若結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對(duì)稱的，則主振型若結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對(duì)稱的，則主振型 不是不是 對(duì)稱就是反對(duì)稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算。對(duì)稱就是反對(duì)稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算。 l/3l/3l/3 12 mmEI l/3 1 l/9 1 解：解： 1 1）簡化）簡化 2 2）圖乘）圖乘 3 11 5 162 l EI 1 3 11 1 5.69 EI mml 3 22 486 l EI 2 3 22 1 22 EI mml 3

50、 3）自振頻率）自振頻率 對(duì)稱對(duì)稱 反對(duì)稱反對(duì)稱 13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 13.5 13.5 兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng) 13.5.2 13.5.2 剛度法剛度法 13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法 簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動(dòng)簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動(dòng)柔度法柔度法 （1 1）建立振動(dòng)微分方程）建立振動(dòng)微分方程 22 m y 11 m y P y1y2 1 m 2 m tP sin tP sin 1 P 2 P 位移方程位移方程 11 11122121 ()()sin P ymym yt 21 12122222 ()()sin P ymym yt 1 1 1122 1211 1 1 2122 2222 sin sin P P mym yyt mym yyt （2 2）動(dòng)位移的解答及討論）動(dòng)位移的解答及討論 齊次解（齊次解（ ）特解（）特解（ ） r 設(shè)特解：設(shè)特解： 11 22 ( )sin ( )s