人教版正比例函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)與點(diǎn)評

1、人教版正比例函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)與點(diǎn)評重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌重慶市璧山縣中學(xué) 王 偉一、教學(xué)目標(biāo)（1）理解正比例函數(shù)的意義，能根據(jù)實(shí)際問題抽象出正比例函數(shù)并確定其表達(dá)式，能辨別一個(gè)函數(shù)是否是正比例函數(shù)，能根據(jù)已知條件求出正比例函數(shù)的表達(dá)式.（2）經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出正比例函數(shù)模型的過程，體會(huì)正比例函數(shù)來源于實(shí)際，體驗(yàn)函數(shù)是描述變量間對應(yīng)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.（3）從不同角度思考數(shù)學(xué)概念，全面理解概念的內(nèi)涵與外延，獲得今后研究特殊函數(shù)的基本思路與方法.（4）在概念形成階段，培養(yǎng)學(xué)生與他人合作交流的意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度；在概念的理解辨析過程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)能從不同角度思考問題的思維方法；在運(yùn)用概

2、念的過程中，培養(yǎng)學(xué)生善于思考的良好習(xí)慣和創(chuàng)新精神.二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：如何合理展示正比例函數(shù)的概念生成的邏輯順序.難點(diǎn)：從不同角度全面認(rèn)識正比例函數(shù)的意義.三、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件.四、我們的思考正比例函數(shù)是學(xué)生第一次比較系統(tǒng)學(xué)習(xí)一類特殊函數(shù)的相關(guān)知識，其涉及的研究函數(shù)的方法對初中階段以后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)都有引領(lǐng)作用.本課將按照從問題情境出發(fā)，通過建模生成概念，挖掘概念的內(nèi)涵，運(yùn)用概念解決有關(guān)問題進(jìn)行教學(xué)，其中有三個(gè)方面至關(guān)重要，要引起高度重視.1.把握好正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，為正比例函數(shù)的抽象做好鋪墊學(xué)習(xí)正比例函數(shù)是在變量和常量以及函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)表達(dá)式“格式化”

3、，因此重點(diǎn)要從以下幾方面分析：（1）在自主探索教材第86頁的問題1后，應(yīng)關(guān)注（2）中變量是什么，常量是什么？它們是否成函數(shù)關(guān)系，自變量是誰，函數(shù)是誰.（2）自變量和常量是運(yùn)用什么運(yùn)算符號連接起來的？問題（1）（3）之間有何關(guān)聯(lián)？（3）教材第86頁的思考（1）（4）中，在學(xué)生通過充分思考建立了函數(shù)關(guān)系式后，要注意引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)和自變量的辨別，進(jìn)一步強(qiáng)化自變量與常量之間的連接符號，同時(shí)要注意（4）中，這有助于糾正學(xué)生對正比例函數(shù)中正比例系數(shù)的錯(cuò)誤認(rèn)識，為準(zhǔn)確下定義做好準(zhǔn)備.2.把握好學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，高度重視概念的生成過程在充分體驗(yàn)正比例函數(shù)的問題情境后，要注意抽象的邏輯順序即先用語言描述，再把常量

4、規(guī)定為，再讓學(xué)生嘗試寫出數(shù)學(xué)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上思考常量滿足的條件，最后才給出定義.3.把握好挖掘概念的多種角度，全面認(rèn)識正比例函數(shù)的意義在理解正比例函數(shù)的意義時(shí)，一般情況下，正比例函數(shù)的表達(dá)式從形式上看等號右邊是單項(xiàng)式，并可以從系數(shù)不為0和次數(shù)為1上去認(rèn)識，但在特定條件下正比例函數(shù)自變量的取值范圍或表達(dá)式都可能有所不同；從本質(zhì)上講這個(gè)概念是一個(gè)結(jié)果定義，即要求最后的表達(dá)式應(yīng)化為形如（為常數(shù)，）的形式，因此要認(rèn)清正比例函數(shù)的概念的實(shí)質(zhì).五、教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)1：創(chuàng)設(shè)情境PPT展示教材第86頁的問題1中的（1）（3）.問題探究提問1：（2）中變量和常量分別是什么？其對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？誰是自變量，誰是

5、函數(shù)？提問2：（2）中自變量與常量按什么運(yùn)算符號連接起來的？提問3：（1）與（2）之間有何關(guān)系？（2）與（3）呢？師生行為行為1：先由學(xué)生獨(dú)立完成問題1中（1）（3）.教師要解釋提問1：盡管有小的出入，但這個(gè)函數(shù)基本上反映了列車的行程與運(yùn)行時(shí)間的對應(yīng)關(guān)系.行為2：教師：（1）說明了（2）中的函數(shù)關(guān)系的自變量的取值范圍，（2）為（3）提供解決問題的模型.設(shè)計(jì)意圖：此處的提問1以前面學(xué)習(xí)的變量和常量、函數(shù)為基礎(chǔ)引入本課，提問2則由此引入新課，轉(zhuǎn)換研究視角，這樣教學(xué)環(huán)節(jié)就比較自然、流暢.活動(dòng)2：問題再現(xiàn)PPT展示教材第86頁的思考（1）（4）.問題探究提問1：分別寫出（1）（4）的關(guān)系式，它們都是函

6、數(shù)關(guān)系嗎？其變量和常量分別是什么？誰是自變量，誰是函數(shù)？提問2：自變量和常量是用什么運(yùn)算符號連接起來的？這些常量可以取哪些值？提問3：這4個(gè)函數(shù)表達(dá)式與問題1的函數(shù)表達(dá)式有何共同特征？請你用語言進(jìn)行描述師生行為行為1：先由學(xué)生獨(dú)立完成教材第86頁的思考（1）（4）.行為2：提問3中，教師重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生是否很快找出問題中兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；（2）學(xué)生能否準(zhǔn)確地用語言表述；（3）學(xué)生是否有與他人交流、合作的意識.設(shè)計(jì)意圖：提問2幫助學(xué)生認(rèn)識正比例系數(shù)既可以為正，也可以為負(fù)，消除在小學(xué)形成的正比例系數(shù)的錯(cuò)誤認(rèn)識，有助于形成正確的概念.活動(dòng)3：形成概念提問1：如果我們把這個(gè)常數(shù)記為，你們能用數(shù)學(xué)

7、式子表達(dá)嗎？提問2：對這個(gè)常數(shù)有何要求呢？為什么？提問3：請你們嘗試對這類特殊函數(shù)給出定義.提問4：這個(gè)函數(shù)表達(dá)式在形式上是一個(gè)單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式？你們能指出它的系數(shù)是什么嗎？次數(shù)為多少？提問5：正比例函數(shù)(常數(shù))的自變量的取值范圍是什么？這與教材第86頁的問題1和教材第86頁的思考（1）（4）中的函數(shù)自變量的取值范圍有何不同？提問6：如何理解與成正比例函數(shù)？反之，(常數(shù))表示什么意義？提問7：在正比例函數(shù)(常數(shù))中，關(guān)鍵是確定哪個(gè)量？比例系數(shù)一經(jīng)確定，正比例函數(shù)就確定了嗎？怎樣確定呢？師生行為行為1：教師應(yīng)允許學(xué)生充分發(fā)表意見，學(xué)生相互合作、相互交流，嘗試給出正比例函數(shù)的定義.行為2：提問5中

8、，一般情況下正比例函數(shù)自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，但在特殊情況下自變量取值范圍會(huì)有所不同.行為3：提問6中，要讓學(xué)生明白：與成正比例函數(shù)(為常數(shù)，).行為4：提問7中，要讓學(xué)生從函數(shù)關(guān)系去認(rèn)識：關(guān)鍵是比例系數(shù)，比例系數(shù)一確定，正比例函數(shù)就確定了；必須知道兩個(gè)變量、的一對對應(yīng)值即可確定.從方程角度看，如果三個(gè)量、中已知其中兩個(gè)量，則一定可以求出第三個(gè)量.設(shè)計(jì)意圖：從不同角度去認(rèn)知概念，有助于學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，為概念運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).活動(dòng)4：辨析概念問題1：教材第87頁練習(xí)第1題：下列式子，哪些表示是的正比例函數(shù)？如果是，請你指出比例系數(shù)的值補(bǔ)充：（5）；（6）.問題2：教材第87頁練習(xí)2.師

9、生行為行為1：教師既要關(guān)注學(xué)生對正比例函數(shù)形式的理解，也要關(guān)注對變量次數(shù)以及比例系數(shù)的理解.行為2：對（6）應(yīng)看學(xué)生能否化簡后認(rèn)識正比例函數(shù)，說明正比例函數(shù)的定義是一個(gè)結(jié)果定義，并非形式定義，這是識別正比例函數(shù)的方法.設(shè)計(jì)意圖：補(bǔ)充問題（5）對后面學(xué)習(xí)一次函數(shù)有一定的指導(dǎo)作用，（6）可以幫助學(xué)生意識到正比例函數(shù)的定義是一個(gè)結(jié)果定義，為識別概念提供方法.活動(dòng)5：判定正誤下列說法正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”.（1）若，則是的正比例函數(shù).（ ）（2）若，則是的正比例函數(shù).（ ）（3）若，則關(guān)于成正比例函數(shù).（ ）（4）若，則關(guān)于成正比例函數(shù).（ ）參考答案：（1）；（2）；（3）；（4）.師生行為教師

10、要充分暴露學(xué)生的問題，追問錯(cuò)誤的原因，同時(shí)進(jìn)一步豐富概念的內(nèi)涵和外延.行為1：一般情況下，正比例函數(shù)的形式為(為常數(shù)，)，即自變量次數(shù)為1，且常數(shù).行為2：在特定條件下自變量可能不單獨(dú)為了，要注意自變量的變化.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固正比例函數(shù)的概念，豐富概念的內(nèi)涵和外延，達(dá)到對概念的深刻理解、靈活掌握.活動(dòng)6：理解概念問題1：如果是關(guān)于的正比例函數(shù)，則滿足_.問題2：如果是關(guān)于的正比例函數(shù)，則_.問題3：如果是關(guān)于的正比例函數(shù)，則_.參考答案：問題1：；問題2：2；問題3：4.師生行為行為：教師要圍繞概念詢問結(jié)果的由來，暴露學(xué)生的思維過程.設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用概念，擴(kuò)大思維量，提高學(xué)生辨析概念的能力.

11、活動(dòng)7：運(yùn)用概念問題1：已知正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求出的值.問題2：若關(guān)于成正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求出與的關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，求出對應(yīng)的函數(shù)值.參考答案：問題1：；問題2：（1），（2）.師生行為行為：教師要以問題1為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生理解問題2中“關(guān)于成正比例函數(shù)”的意義，同時(shí)求“與的關(guān)系式”的關(guān)鍵就是求出比例系數(shù)的值.設(shè)計(jì)意圖：達(dá)到對概念的活學(xué)活用，為以后學(xué)習(xí)待定系數(shù)法做好鋪墊.活動(dòng)8：課堂小結(jié)與作業(yè)布置課堂小結(jié)：你們?nèi)绾卫斫庹壤瘮?shù)？能從哪幾個(gè)方面去認(rèn)識正比例函數(shù)？作業(yè)布置：1.下列函數(shù)是正比例函數(shù)的是（ ）A. B. C. D.2.下列問題中的與成正比例函數(shù)關(guān)系的是（ ）A.圓的半徑為，

12、面積為B.某地手機(jī)月租為10元，通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.1元/，若某月通話時(shí)間為，該月通話費(fèi)用為元C.把10本書全部隨意放入兩個(gè)抽屜內(nèi)，第一個(gè)抽屜放入本，第二個(gè)抽屜放入本D.長方形的一邊長為4，另一邊長為，面積為3.關(guān)于說法正確的是（ ）A.是關(guān)于的正比例函數(shù)，正比例系數(shù)為B.是關(guān)于的正比例函數(shù)，正比例系數(shù)為C.是關(guān)于的正比例函數(shù)，正比例系數(shù)為D.是關(guān)于的正比例函數(shù)，正比例系數(shù)為4.若是關(guān)于的正比例函數(shù)，則_.5.若是關(guān)于的正比例函數(shù)，則滿足的條件是_.6.已知關(guān)于成正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí),，則與的關(guān)系式為_.7.若是關(guān)于的正比例函數(shù)，試求的值，并指出比例系數(shù).8.若關(guān)于成正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.試求出與的函

13、數(shù)關(guān)系式.參考答案：1.B；2.D；3.D；4.；5.；6.；7.，比例系數(shù)為6；8.師生行為行為1：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié).（1）正比例函數(shù)的語言描述和形式特征；（2）特殊情況下，自變量的范圍和表達(dá)式會(huì)有所不同，要認(rèn)真體會(huì)正比例函數(shù)的意義；（3）可以從語言描述、外形特征、結(jié)果形式、函數(shù)關(guān)系和方程角度等方面去認(rèn)識正比例函數(shù).行為2：作業(yè)針對正比例函數(shù)的概念，在教材“復(fù)習(xí)鞏固”中沒有相應(yīng)習(xí)題，故補(bǔ)充這些習(xí)題作為作業(yè).設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)達(dá)到學(xué)會(huì)梳理知識，進(jìn)一步明確概念的意義，掌握求正比例函數(shù)的思想方法，使本課學(xué)習(xí)內(nèi)容得到進(jìn)一步發(fā)展；通過補(bǔ)充的作業(yè)鞏固所學(xué)知識，使知識和技能都得到落實(shí)和內(nèi)化.六、本課點(diǎn)評正

14、比例函數(shù)的意義正如筆者提到的：“是學(xué)生第一次比較系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)知識，其涉及的研究函數(shù)的方法對初中階段以后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等都有引領(lǐng)作用”，本課時(shí)的核心是正比例函數(shù)的概念，是以后研究此函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的基礎(chǔ).本課教學(xué)就只有一個(gè)中心正比例函數(shù)的概念，教學(xué)中緊緊圍繞這個(gè)中心，從概念生成、概念理解、概念辨析和概念運(yùn)用等都對概念教學(xué)提供了很好的范例.具體講有如下幾個(gè)特點(diǎn).1.問題設(shè)計(jì)精巧，邏輯清晰首先在概念的準(zhǔn)備階段，不惜用大量的問題串引導(dǎo)學(xué)生逼近概念，如“它們都是函數(shù)關(guān)系嗎？其變量和常量分別是什么？誰是自變量，誰是函數(shù)？自變量和常量運(yùn)用什么運(yùn)算符號連接起來的？這些常量可以取哪些值

15、？”，這些問題自上而下，從函數(shù)這個(gè)大前提逐步向特殊函數(shù)正比例函數(shù)過渡，為正比例函數(shù)的概念的生成提供了充分的保證；其次在概念的生成階段，先用語言描述共同特征，再規(guī)定常數(shù)為，“你能用數(shù)學(xué)式子表達(dá)嗎？對這個(gè)常數(shù)有何要求呢？請你嘗試對正比例函數(shù)給出定義”，這些問題自下而上合理演繹了認(rèn)知過程，這樣定義的形成就水到渠成了.試想：如果沒有“先用語言描述”、“規(guī)定常數(shù)為”和對“常數(shù)的要求”，哪來正比例函數(shù)的概念呢？2.概念辨析充分，認(rèn)識深刻在理解正比例函數(shù)的意義時(shí)，除了從形式上分析是單項(xiàng)式，并從系數(shù)和次數(shù)上做出了辨析外，還對“如何理解與成正比例函數(shù)？反之(常數(shù))表示什么意義？”進(jìn)行了辨析，為基礎(chǔ)練習(xí)4做好了充

16、分的準(zhǔn)備，并在此基礎(chǔ)上通過基礎(chǔ)練習(xí)1（6）挖掘出正比例函數(shù)的定義是一個(gè)結(jié)果定義，也為確定正比例函數(shù)提供了一個(gè)判定方法，接著再從基礎(chǔ)練習(xí)2（4）若，得出是關(guān)于成正比例函數(shù)的，豐富了概念的內(nèi)涵又如“在正比例函數(shù)(常數(shù))中關(guān)鍵是確定哪個(gè)量？比例系數(shù)一經(jīng)確定，正比例函數(shù)就確定了嗎？怎樣確定呢？”，這些問題可以幫助學(xué)生深刻認(rèn)識確定正比例函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵以及要把函數(shù)與方程聯(lián)系起來理解正比例函數(shù)，也為后面活動(dòng)7與活動(dòng)8中的問題的解決奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).以上這些具體問題為全面認(rèn)識正比例函數(shù)提供了不同的視角，從而促使學(xué)生正確把握概念的內(nèi)涵與外延.3.教學(xué)活動(dòng)豐富，漸進(jìn)展開在活動(dòng)1和活動(dòng)2概念準(zhǔn)備階段，采用了學(xué)生主體與教師指導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)原則，通過學(xué)生的充分活動(dòng)獲得基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，教師再對所得結(jié)果進(jìn)行引導(dǎo)；在活動(dòng)3概念的形成與辨析中，采用教師主導(dǎo)為主的教學(xué)策略，通過設(shè)置問題串的方式，引導(dǎo)學(xué)生最終形成定義并對概念進(jìn)行深入辨析；在活動(dòng)4至活動(dòng)8概念的運(yùn)用與理解中，采用了學(xué)生自主和教師引導(dǎo)的教學(xué)方式，通過