信息光學(xué)中的傅里葉變換

1、信息光學(xué)中的傅里葉變換信息光學(xué)中的傅里葉變換 表征現(xiàn)代光學(xué)重大進(jìn)展的另一件大事，是表征現(xiàn)代光學(xué)重大進(jìn)展的另一件大事，是P.M.Duffieux P.M.Duffieux 19461946年把傅里葉變換的概念引入光學(xué)領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代年把傅里葉變換的概念引入光學(xué)領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代 光學(xué)的一個(gè)重要分支光學(xué)的一個(gè)重要分支傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。它應(yīng)用）。它應(yīng)用 線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成 像等問(wèn)題。像等問(wèn)題。 它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光

2、信息；用頻 譜被改變的觀點(diǎn)評(píng)價(jià)譜被改變的觀點(diǎn)評(píng)價(jià)非相干成像系統(tǒng)非相干成像系統(tǒng)的像質(zhì)。的像質(zhì)。信息光學(xué)信息光學(xué)促進(jìn)促進(jìn) 了圖像科學(xué)、應(yīng)用光學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展?？梢哉J(rèn)為它是光了圖像科學(xué)、應(yīng)用光學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展。可以認(rèn)為它是光 學(xué)、光電子學(xué)、信息論和通訊理論的學(xué)、光電子學(xué)、信息論和通訊理論的交叉學(xué)科交叉學(xué)科。 信號(hào)頻域分布特性的分析與處理信號(hào)頻域分布特性的分析與處理 系統(tǒng)傳輸不同空間頻率信號(hào)能力的分析與處理系統(tǒng)傳輸不同空間頻率信號(hào)能力的分析與處理 空域頻域 傅里葉分析 離散周期信號(hào) 連續(xù)周期信號(hào) 離散非周期信號(hào) 連續(xù)非周期信號(hào) 1. 1. 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 1 1、二維傅里葉變換的定義

3、、二維傅里葉變換的定義 含有兩個(gè)變量含有兩個(gè)變量x,yx,y的函數(shù)的函數(shù) f f (x,y)(x,y)，其二維傅里葉變換定義為，其二維傅里葉變換定義為 yxyfxfjyxfffF yxyx dd)(2exp),(),( ),( yx ffF ),(yxf 在此定義中，在此定義中，),( yx ffF本身也是兩個(gè)自變量本身也是兩個(gè)自變量 yx ff 和 的函數(shù)。的函數(shù)。 率.為X和Y方向的空間頻 分別稱f ,f頻譜,y)的傅里葉譜或空間)稱為f(x,f ,F(f yxyx ),(exp),(),( yxyxyx ffjffFffF 用用模模和和幅幅角角表表示示如如下下),( yx ffF 變換變

4、換 F F ),( yx ffF振幅譜振幅譜 ),( yx ff 相位譜相位譜 2 ),( yx ffF 功率譜功率譜 類似地，函數(shù)類似地，函數(shù)f (f (x,y)x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：也可以用其頻譜函數(shù)表示，即： yxyxyx ffyfxfjffFyxfdd)(2exp),(),( 上式稱為上式稱為F F（f fx x，f fy y）的二維傅里葉）的二維傅里葉逆變換。逆變換。 正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù) 因子的符號(hào)和積分變量不同而已。因子的符號(hào)和積分變量不同而已。 我們可以用傅里葉變換對(duì)偶式來(lái)表示兩種變換

5、之間的關(guān)系式。我們可以用傅里葉變換對(duì)偶式來(lái)表示兩種變換之間的關(guān)系式。 ),( yx ffF),(yxf = -1 ),( yx ffFF F -1（） F F F F ( ) 二、傅里葉變換的存在條件二、傅里葉變換的存在條件 （1 1）、函數(shù)）、函數(shù)f(x,y)f(x,y)必須對(duì)整個(gè)必須對(duì)整個(gè)XYXY平面絕對(duì)可積，即平面絕對(duì)可積，即 yxyxfdd),( （2 2）、函數(shù)）、函數(shù)f(x,y)f(x,y)必須在必須在XYXY平面上的每一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)局部平面上的每一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)局部 連續(xù)，即僅存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小點(diǎn)。連續(xù)，即僅存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小點(diǎn)。 （3 3）、函

6、數(shù)）、函數(shù)f(x,y)f(x,y)必須沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)。必須沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)。 上述三個(gè)存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。上述三個(gè)存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。 這是因?yàn)?，從?yīng)用的角度看，這是因?yàn)?，從?yīng)用的角度看，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存 在的物理量，其傅里葉變換總是存在的在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。 但需說(shuō)明的，為了物理學(xué)上描述方便起見(jiàn)，我們往往又用但需說(shuō)明的，為了物理學(xué)上描述方便起見(jiàn)，我們往往又用 理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示實(shí)際的物理圖形，對(duì)這些有用的函理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表示實(shí)際的物理圖形，對(duì)這些有用的函 數(shù)而言，上面的三個(gè)條件中的一

7、個(gè)或多個(gè)可能均不成立。例數(shù)而言，上面的三個(gè)條件中的一個(gè)或多個(gè)可能均不成立。例 如階躍函數(shù)，如階躍函數(shù)， 函數(shù)等就不滿足存在條件。函數(shù)等就不滿足存在條件。 因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來(lái)描述物理圖因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來(lái)描述物理圖 形，有必要對(duì)傅里葉變換的定義作一些推廣。形，有必要對(duì)傅里葉變換的定義作一些推廣。 三、廣義傅里葉變換三、廣義傅里葉變換 對(duì)于不嚴(yán)格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個(gè)對(duì)于不嚴(yán)格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個(gè) 序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換， 然后求出該序

8、列各成分的傅里葉變換，從而得到一個(gè)相應(yīng)的變?nèi)缓笄蟪鲈撔蛄懈鞒煞值母道锶~變換，從而得到一個(gè)相應(yīng)的變 換序列。如果換序列。如果后一序列后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義 傅里葉變換。所以傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。就是極限意義下的傅里葉變換。 例題：求函數(shù)例題：求函數(shù)f(x,y)=1f(x,y)=1的傅里葉變換的傅里葉變換 ),(yxf 解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們 把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。把它定義為矩形函數(shù)序列的極限。 )()(

9、lim a y rect a x rect a x )( a x rect 0 1 2 a 2 a 先求矩形函數(shù)的傅里葉變換先求矩形函數(shù)的傅里葉變換 xe a x rect xfj x d)( 2 xe xfj a a x d 2 2 2 )( 2 1 2 2 2 2 a fj a fj x xx ee fj x x f af sin x x fa af a sin )(sinafca x rect(y)(sinafca y rect(x)F F F F 請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo)請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo) )(sin)(sin 2 lim yx a afcafca ),( yx ff f (x,y)=1f

10、(x,y)=1 所以所以1 1的傅里葉變換是的傅里葉變換是 函數(shù)。函數(shù)。 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 函數(shù)的逆函數(shù)的逆傅里葉變換傅里葉變換等于等于1 1嗎？嗎？ x xfj x fef x d)( 2 xx fefd)( 0 xx ffd)( 1 yxeff yfxfj yx yx dd),( )(2 ),(yxf )( x f -1 F F F F 物理圖像物理圖像 請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo)請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo) 2. 2. 傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理 1 1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì) ),( yx ffF),( yx ffG設(shè)設(shè) a,ba,b為常數(shù)，則為常數(shù)，則 ),( yx ffaF

11、),( yx ffbG 即兩個(gè)函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變即兩個(gè)函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變 換的相應(yīng)組合。換的相應(yīng)組合。 )y,x(fF F )y,x(gF F )y,x(bg)y,x(af F F 2 2、二重傅里葉變換性質(zhì)、二重傅里葉變換性質(zhì) )(y,xf 對(duì)二元函數(shù)作二次對(duì)二元函數(shù)作二次傅里葉變換，傅里葉變換，得到原函數(shù)的反折得到原函數(shù)的反折 3 3、縮放性質(zhì)、縮放性質(zhì) ),( yx ffF ), a ( 1 b f f F ab y x 4 4、平移特性、平移特性 ),()y(2exp 00yxyx ffFfxfj ),( 00yyxx ffffF

12、 函數(shù)空域的位移，帶函數(shù)空域的位移，帶 來(lái)頻域中的線性相移，來(lái)頻域中的線性相移， 另一方面函數(shù)在空域另一方面函數(shù)在空域 中的相移，會(huì)導(dǎo)致頻中的相移，會(huì)導(dǎo)致頻 域位移。域位移。 )y,x(fF FF F ),(yxfF F ),(byaxf F F ),( 00 yyxxf F F ),(y)(2exp 00 yxffxfj yx F F ),(yxf),( yx ffF f f ),( 00 yyxxf f f ),()y(2exp 00yxyx ffFfxfj f f ),( yx ffF ),( 00yyxx ffffF ),(y)(2exp 00 yxffxfj yx 5 5、對(duì)稱性質(zhì)、

13、對(duì)稱性質(zhì) ),(- * yx ffF ),( * yx ffF 若若f(x,y)f(x,y)為實(shí)函數(shù)，顯然有為實(shí)函數(shù)，顯然有 ),( yx ffF),(- * yx ffF ),( yx ffF稱稱具有厄米對(duì)稱性具有厄米對(duì)稱性 ),( * yxf F F ),( * yxf F F 若若f(x,y)f(x,y)為虛函數(shù)，顯然有為虛函數(shù)，顯然有 ),( yx ffF),(- * yx ffF ),( yx ffF稱稱具有反厄米對(duì)稱性具有反厄米對(duì)稱性 ),( yx ffF ),( yx ffG ),( yx ffF ),( yx ffG ),( yx ffG 說(shuō)明：空域兩個(gè)函數(shù)的卷積，在頻域等于其

14、變換的乘積。這一定理有重說(shuō)明：空域兩個(gè)函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重 要的意義，當(dāng)一個(gè)復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡(jiǎn)單函數(shù)的乘積或要的意義，當(dāng)一個(gè)復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡(jiǎn)單函數(shù)的乘積或卷積卷積時(shí)，時(shí)，利用利用 卷積定理可由簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換來(lái)確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而卷積定理可由簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換來(lái)確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而 且定理為獲得兩個(gè)函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相且定理為獲得兩個(gè)函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相 乘，再對(duì)乘積作逆變換。乘，再對(duì)乘積作逆變換。 )y,x(g)y,x(fF F )y,x(g)y,x(f F F )y,x(fF F )

15、y,x(gF F 6 6、卷積的傅里葉變換、卷積的傅里葉變換 ),( yx ffF 7 7、乘積的傅里葉變換、乘積的傅里葉變換 ),( yx ffF ),( yx ffG )y,x(f F F )y,x(gF F 8 8、相關(guān)的傅里葉變換、相關(guān)的傅里葉變換 ),( yx ffF ),( yx ffG )y,x(g)y,x(fF F （1 1）互相關(guān)定理）互相關(guān)定理 ),( yx ffF ),( yx ffG互譜能量密度互譜能量密度 （2 2）自相關(guān)定理）自相關(guān)定理 2 ),( yx ffF )y , x( f)y , x( f 2 ),( yx ffF 稱為信號(hào)稱為信號(hào)f(x,y)f(x,y)

16、的能譜密度的能譜密度 F F 9 9、帕斯瓦爾（能量）定理、帕斯瓦爾（能量）定理 yxyx dfdfffF 2 ),( dydxyxf 2 ),( 在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表 明一個(gè)事件空域各分量能量的總和與頻域各分量能明一個(gè)事件空域各分量能量的總和與頻域各分量能 量的總和是相等的。量的總和是相等的。 dydxyxfy)(x,)g,( yxyxyx dfdfffGffF),(),( 1010、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)( (一維情況一維情況) ) )( x fF)(xfF F )()0( 2 1 )( 2 1 xx x fFfF fj df

17、 x )( F F 11 11、導(dǎo)數(shù)定理、導(dǎo)數(shù)定理 ),( yx ffF 則有則有 ),()(j2)(j2 nm yxyx ffFff y n x m ff yxF ),( nm )y,x(f F F yx yxf nm nm ),( F F ),()2()2(yxfyjxj nm F F 若其導(dǎo)數(shù)存在 ),()2)(2( yxyx ffFfjfj yx yxf),( 2 F F yx ff yxF ),( 2 ),()2)(2(yxfyjxjF F 證明：證明： yx yxf nm ),( nm yxyxyx ffyfxfjffFyxfdd)(2exp),(),( yxyxyx nm nm

18、ffyfxfjffF yx dd)(2exp),( yxyx nm nm yx ffyfxfj yx ffFdd)(2exp),( yxyx n y m xyx ffyfxfjfjfjffFdd)(2exp)2()2)(,( n y m xyx fjfjffF)2()2)(,( -1 F F ),()(j2)(j2 nm yxyx ffFff yx yxf nm nm ),( F F yxyfxfjyxfffF yxyx dd)(2exp),(),( nm ) 2 j () 2 j ( dyd)(2exp),(xyfxfjyxf ff yx y n x m nm dyd)(2exp),()2(

19、)2(xyfxfjyxfyjxj yx nm nm ) 2 j () 2 j ( dyd)(2exp),(xyfxfjyxfyx yx nm ),(yxfyx nm F F y n x m ff yxF ),( nm ),()2()2(yxfyjxj nm F F 例題：求例題：求矩形函數(shù)矩形函數(shù)的傅里葉變換的傅里葉變換 x )(xrect 0 2 1 2 1 )(xrect 2 1 2 1 )d(-j2expxxf x xx fjfj x ee f j2 1 x x f f sin )(sin x fc )()(yrectxrect)(sin)(sin yx fcfc F F F F 例題：

20、求例題：求高斯函數(shù)高斯函數(shù)的傅里葉變換的傅里葉變換 )(xGaus xxfx x )d(-j2exp)(-exp 2 xe xfx x d )j2( 2 xee xx fxf d 22 )j( )jd( 22 )j( x fxf fxee xx 2 x f e )( x fGaus 1d 2 xe x F F )()( yx fGausfGaus )()(yGausxGausF F 例題：求例題：求余弦函數(shù)余弦函數(shù)的傅里葉變換的傅里葉變換 xf x 0 2cosxxf x )d(-j2exp )( 2 1 00 22xfjxfj xx ee xxf x )d(-j2exp dxe xffj x

21、x )(2 0 2 1 dxe xffj xx )(2 0 2 1 )( 2 1 0 xx ff)( 2 1 0 xx ff )( 2 1 0 xx ff )( 2 1 0 xx ff )( 2 1 0yy ff)( 2 1 0yx ff xf x0 2cosF F yfxf xx00 2cos2cosF F ),( 2 1 00yyxx ffff),( 2 1 00yyxx ffff 例題：求例題：求三角函數(shù)三角函數(shù)的傅里葉變換的傅里葉變換 )(x)()(xrectxrect 利用卷積定理利用卷積定理 )(sin c)(sin c )(sin 2 c )(2cos 00 yfxf yx F

22、F )()(xrectxrect F F )( x F F )(xrect )(xrectF F F F 下面利用卷積定理的下面利用卷積定理的 圖解方法求三角函數(shù)圖解方法求三角函數(shù) 的的傅里葉變換。傅里葉變換。 這種方法，用圖形這種方法，用圖形 表示出函數(shù)在空間表示出函數(shù)在空間 域和頻率域的對(duì)應(yīng)域和頻率域的對(duì)應(yīng) 關(guān)系，分析思路直關(guān)系，分析思路直 觀且便于記憶。觀且便于記憶。 )(xrect x0 2 1 2 1 )(xrect x0 2 1 2 1 * * x 0 )(x -11 x 11 )(sin c x 11 )(sin c x 11 )(sin 2 c 例：求極坐標(biāo)內(nèi)的二維傅里葉變換。例：求極坐標(biāo)內(nèi)的二維傅里葉變換。 y x0 ),( r 0 ),( cosrx sinry cos sin rdrdrjrrfG)cos(2exp)sin,cos()sin,cos( drdrjrrgG)cos(2exp),(),( 同理同理 ddrjGrg)cos(2exp),(),( 上面極坐標(biāo)下上面極坐標(biāo)下的傅里葉變換的形式是相當(dāng)復(fù)雜的，但是當(dāng)傅里葉