2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)34數(shù)學(xué)歸納法必刷題（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)34 數(shù)學(xué)歸納法1（2019江蘇高三高考模擬)已知數(shù)列,，且對(duì)任意n恒成立(1）求證：（n）；（2）求證:（n)【答案】（1）見解析(2）見解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)，滿足成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.即：成立下證：當(dāng)時(shí)，成立。因?yàn)榧矗寒?dāng)時(shí)，成立由、可知，(n）成立.(2)(）當(dāng)時(shí)，成立,當(dāng)時(shí)，成立，(）假設(shè)時(shí)（)，結(jié)論正確，即：成立下證：當(dāng)時(shí)，成立。因?yàn)橐C，只需證只需證：，只需證：即證：（）記當(dāng)時(shí),所以在上遞增,又所以，當(dāng)時(shí)，恒成立。即：當(dāng)時(shí)，成立。即：當(dāng)時(shí)，恒成立.所以當(dāng)，恒成立。由（）(）可得：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立,命題得證.2（2019江蘇高三高考模擬）

2、已知數(shù)列是各項(xiàng)都不為0的無窮數(shù)列，對(duì)任意的n3，n,恒成立（1)如果，,成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知1求證：數(shù)列是等差數(shù)列；已知數(shù)列中，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，滿足，(i）求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中的任意一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)【答案】（1）(2）見解析見解析【解析】（1）由題可得：當(dāng)時(shí)，兩邊同除以,可得:因?yàn)?，成等差?shù)列，所以所以，解得：（2）由題可得:當(dāng)時(shí), ()用代上式中的，可得： （）（）(）得：上式兩邊同除以可得：整理得:整理得：()由（1）得，當(dāng)時(shí)，,成等差數(shù)列，結(jié)論正確。（)假設(shè)時(shí)，結(jié)論正確。即：成等差數(shù)列，且公差為下證時(shí)， 成等差數(shù)列。即證又。所以成立.由(）（）可得：對(duì)任意的

3、，數(shù)列是等差數(shù)列。由得：數(shù)列是等差數(shù)列,公差為所以,（)又，成等比數(shù)列，所以,即：整理得:所以，所以是整數(shù)數(shù)列中的任意一項(xiàng)令，則整理得：，整理得：又所以解得：即:存在，使得：成立所以數(shù)列中的任意一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)3（2019江蘇高三高考模擬）在教材中，我們已研究出如下結(jié)論:平面內(nèi)條直線最多可將平面分成個(gè)部分現(xiàn)探究：空間內(nèi)個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分，設(shè)空間內(nèi)個(gè)平面最多可將空間分成個(gè)部分（1)求的值；(2）用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論【答案】（1）； （2）見解析?！窘馕觥?（1)由得解得(2）用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，顯然成立假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即那么當(dāng)時(shí)，在個(gè)平面的基礎(chǔ)上再添上第個(gè)平面因?yàn)樗颓皞€(gè)平面都

4、相交，所以可得到條互不平行且不共點(diǎn)的交線，且其中任何條直線不共點(diǎn),這條交線可以把第個(gè)平面劃分成個(gè)部分;每個(gè)部分把它所在的原有空間區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域，因此，空間區(qū)域的總數(shù)增加了個(gè),所以即時(shí)，結(jié)論成立根據(jù)可知，4（2019江蘇高三高考模擬)已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且證明：（1）當(dāng)時(shí)，; (2）對(duì)于任意的，【答案】（1）見解析;（2）見解析【解析】【分析】(1）利用證明即可；(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可【詳解】（1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且,所以 (2)當(dāng)時(shí)，由（1）可知，命題成立;假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即對(duì)于任意的，若，均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則則當(dāng)時(shí)，設(shè)，并不妨設(shè)令,則由歸納假設(shè),知因?yàn)榫鶠榉秦?fù)實(shí)數(shù)，且

5、,所以所以，即，也就是說,當(dāng)時(shí)命題也成立所以，由可知，對(duì)于任意的，5（2019江蘇高三高考模擬）已知數(shù)列滿足，（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2)令，證明：【答案】（1)詳見解析(2）詳見解析【解析】（1）證明:當(dāng)時(shí)，,結(jié)論顯然成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),，則當(dāng)時(shí)，綜上，.（2)由（1）知，所以.因?yàn)?，所以，即，于是，所?故構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為.于是,從而,所以，即，于是,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì),有，所以，所以，從而。6（2018江蘇高三高考模擬）在含有個(gè)元素的集合中，若這個(gè)元素的一個(gè)排列（，)滿足，則稱這個(gè)排列為集合的一個(gè)錯(cuò)位排列（例如：對(duì)于集合，排列是的一個(gè)錯(cuò)位排列；排列不是的一個(gè)錯(cuò)位排列

6、）。記集合的所有錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)為。（1）直接寫出，,，的值；（2）當(dāng)時(shí)，試用，表示，并說明理由;(3）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：為奇數(shù).【答案】（1）見解析；（2)；（3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義列錯(cuò)位排列,根據(jù)錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)得，的值；（2）根據(jù)定義理解,，三者關(guān)系,需先確定兩類，有兩個(gè)數(shù)恰好錯(cuò)排與這兩個(gè)數(shù)不錯(cuò)排，再降數(shù)處理，(3）先根據(jù)遞推關(guān)系得對(duì)任意正奇數(shù)，有均為偶數(shù),再利用以及歸納假設(shè)得結(jié)論。試題解析：（1），,（2）,理由如下：對(duì)的元素的一個(gè)錯(cuò)位排列（，），若，分以下兩類：若，這種排列是個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè);若，這種錯(cuò)位排列就是將，,，,，,排列到第到第個(gè)位置上，不在第個(gè)位

7、置，其他元素也不在原先的位置，這種排列相當(dāng)于個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共有個(gè);根據(jù)的不同的取值，由加法原理得到；（3）根據(jù)（2)的遞推關(guān)系及（1）的結(jié)論，均為自然數(shù)；當(dāng),且為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),從而為偶數(shù)，又也是偶數(shù),故對(duì)任意正奇數(shù),有均為偶數(shù)。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（其中）為奇數(shù).當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立,即是奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，注意到為偶數(shù),又是奇數(shù)，所以為奇數(shù)，又為奇數(shù)，所以,即結(jié)論對(duì)也成立；根據(jù)前面所述，對(duì)任意，都有為奇數(shù)。7（2019江蘇高三高考模擬)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）若，求證:,，必可以被分為1組或2組，使得每組所有數(shù)的和小于1；（2）若，求證：，必可以被分為組（），使得每組所有數(shù)的

8、和小于1【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】解：（1）不妨設(shè)假設(shè)，則所以所以與矛盾,因此，所以必可分成兩組、使得每組所有數(shù)的和小于1（2)不妨設(shè)，先將，單獨(dú)分為一組，再對(duì)后面項(xiàng)依次合并分組,使得每組和屬于，最后一組和屬于，不妨設(shè)將，分為,，共組，且其中組,，最后一組首先必小于等于,否則，與，矛盾當(dāng)時(shí)，則所以只需將，,分為，,，即可滿足條件；當(dāng)時(shí),可將與合成一組，且，否則，矛盾此時(shí)只需將，分為，即可滿足條件，所以，,，必可以被分為m組(1mk）,使得每組所有數(shù)的和小于18（2018江蘇高三高考模擬理）在正整數(shù)集上定義函數(shù),滿足，且（1）求證：；（2）是否存在實(shí)數(shù)a,b，使，對(duì)任意正整數(shù)n

9、恒成立，并證明你的結(jié)論【答案】(1)見解析（2）【解析】試題分析:（1）由，整理得，根，根據(jù)遞推關(guān)系先求出，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由，可得,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.試題解析：（1)因?yàn)?整理得，由，代入得，所以（2）由，可得 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明存在實(shí)數(shù)，使成立 當(dāng)時(shí)，顯然成立 當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在，使得成立，那么，當(dāng)時(shí)，,即當(dāng)時(shí)，存在，使得成立由,可知，存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意正整數(shù)n恒成立9（2018江蘇高三高考模擬）已知數(shù)列滿足(1)求， ， 的值；（2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明【答案】（1) （2)見解析【解析】試題分析：（）利用等式，求出， , 的值；（）歸納猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.試題

10、解析：（1）, , （2)猜想： 證明：當(dāng)，2，3時(shí)，由上知結(jié)論成立； 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則有則時(shí)， 由得 ， 又，于是所以， 故時(shí)結(jié)論也成立由得, 10(2018江蘇高三高考模擬）已知函數(shù)，記,當(dāng)(1)求證：在上為增函數(shù)；（2)對(duì)于任意，判斷在上的單調(diào)性，并證明【答案】（1）見解析（2)見解析【解析】（1)證明：因?yàn)?，所以?因?yàn)樗?，所以，所以，所以在上為增函?shù) （2)結(jié)論：對(duì)于任意，在上均為增函數(shù)證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論也成立，即在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上恒成立當(dāng)n=k+1時(shí)， 所以又當(dāng)時(shí)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上為增函數(shù)由得證,對(duì)于任意，在上均

11、為增函數(shù)11(2018江蘇高三高考模擬）設(shè),正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，當(dāng)時(shí)， 都成立.（1）若， ， ，求數(shù)列的前項(xiàng)和;（2）若， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1） （2) 【解析】（1)當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)閙=1,所以=tnt1，可得an+1=ana1,故=a1=3(n2）又a1=，a2=3,則an是公比為3的等比數(shù)列,故an的前n項(xiàng)和為=3n（2）當(dāng)nk時(shí)，因?yàn)?tntk,所以=tn+1tk，所以=，即=an+1,因?yàn)閙=3,4，所以取k=3，當(dāng)n3時(shí)，有an+4an2=an+12；取k=4,當(dāng)n4時(shí),有an+5an3=an+12由an+5an3=an+12 知，數(shù)列a2,a6,a10,a14

12、，a18,a22，,a4n2，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q由an+4an2=an+1 知,數(shù)列a2，a5，a8，a11，a14，a17,，a3n1,是等比數(shù)列，設(shè)公比為q1，數(shù)列a3，a6，a9，a12,a15,a18，a3n，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q2，數(shù)列a4,a7,a10，a13，a16，a19，a22，a3n+1,成等比數(shù)列，設(shè)公比為q3，由得， =q3,且=q14,所以q1=；由得， =q3，且=q24，所以q2=；由得， =q3,且=q34,所以q3=；所以q1=q2=q3=由得，a6=a2q，a6=a3q2，所以=，由得，a10=a2q2，a10=a4q32，所以=，所以a2，a3，a4

13、是公比為q的等比數(shù)列，所以an（n2）是公比為q的等比數(shù)列因?yàn)楫?dāng)n=4，k=3時(shí)，t7t1=t42t32；當(dāng)n=5，k=4時(shí),t9t1=t52t42，所以（）7=2a24，且()10=2a26，所以=2，a2=2又a1=，所以an（nn*）是公比為的等比數(shù)列故數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n112(2018江蘇高三高考模擬）（1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí), (,且, )；（2）求 的值?！敬鸢浮浚?）見解析(2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等式右邊 等式左邊,等式成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,即 .那么，當(dāng)時(shí),有這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)和可知，對(duì)任何等式都成立.(2）由（2)可知， ，兩邊同時(shí)求導(dǎo),得所以

14、 所以 。13(2017江蘇高三高考模擬）已知，其中, ， ， .(1）試求， ， 的值；（2)試猜測(cè)關(guān)于的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.【答案】(1）, (2）【解析】試題分析：（1)根據(jù)對(duì)應(yīng)以及組合數(shù)公式展開化簡(jiǎn)得， ， 的值；（2)從階乘角度猜想關(guān)于的表達(dá)式，證明時(shí)注意利用性質(zhì)及進(jìn)行轉(zhuǎn)化：配湊成歸納假設(shè)的條件.試題解析：解：（1） ； ； .（2）猜想： 。而 , ，所以。用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)， ，所以結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)時(shí), 。當(dāng)時(shí), （*) 由歸納假設(shè)知（）式等于 .所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立。綜合，成立。14（2017江蘇高三高考模擬）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù), .（1)求;（2）猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.【答案】（1）見解析(2）見解析【解析】（1）。（2）猜想.證明: 當(dāng)時(shí),由(1）知