2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 統(tǒng)計(jì) 2.2 用樣本估計(jì)總體 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精22。2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征預(yù)習(xí)課本p36,思考并完成以下問(wèn)題（1)如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)? (2)如何理解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與極端數(shù)據(jù)的關(guān)系？ （3)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，平均數(shù)會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷嗎？ （4)方差、標(biāo)準(zhǔn)差有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（2）中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于中間位置的數(shù)如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)2三種數(shù)字特征的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾

2、數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；容易計(jì)算它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；無(wú)法客觀地反映總體的特征中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響;容易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量一般情況下，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變數(shù)據(jù)越“離群,對(duì)平均數(shù)的影響越大3.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念與計(jì)算公式（1)標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,s .(2）方差： 標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差s2(x1)2（x2）2(xn）2，其中,xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)點(diǎn)睛（

3、1）標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小(2）標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：0，)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性1下列說(shuō)法不正確的是(）a方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方b標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過(guò)極差c若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒(méi)有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0d標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊校粯?biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚⒔馕觯哼xd標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊?標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周?chē)椒稚?10名工人某天生產(chǎn)同一零

4、件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有(）aabcbbcaccab dcba解析：選d將數(shù)據(jù)從小到大排列為10，12,14，14，15，15，16，17，17,17，則平均數(shù)a(101214215216173)14。7,中位數(shù)b15,眾數(shù)c17，顯然abc，選d。3奧運(yùn)會(huì)體操比賽的計(jì)分規(guī)則為：當(dāng)評(píng)委亮分后，其成績(jī)先去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分,再計(jì)算剩下分?jǐn)?shù)的平均值，這是因?yàn)椋ǎ゛減少計(jì)算量b避免故障c剔除異常值d活躍賽場(chǎng)氣氛解析：選c因?yàn)樵隗w操比賽的評(píng)分中使用的是平均分，記分過(guò)程中采用“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)

5、最低分”的方法，就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素給出過(guò)高或過(guò)低的分?jǐn)?shù)對(duì)選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公平4樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為_(kāi)解析:由題意知（a0123）1，解得a1.所以樣本方差為s2（11)2(01)2（11)2（21)2（31）22。答案：2眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算典例某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下（單位：歲)：甲群：13,13,14，15,15,15，15，16，17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56。(1）甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其

6、中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？（2）乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？解(1）甲群市民年齡的平均數(shù)為15（歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為15（歲),中位數(shù)為6歲，眾數(shù)為6歲由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來(lái)計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí),可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算活學(xué)活用（廣東高考

7、）已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2，,xn的均值5，則樣本數(shù)據(jù)2x11,2x21，2xn1的均值為_(kāi)解析：由條件知5,則所求均值02125111。答案：11標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的計(jì)算及應(yīng)用典例甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲:8,6，7,8，6,5,9，10，4，7;乙：6，7,7,8，6,7,8,7，9，5。（1)分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2）分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估計(jì)兩名戰(zhàn)士的射擊情況若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰(shuí)去合適？解（1）甲（86786591047）7(環(huán)），乙(6778678795）7（環(huán)）（2)由方差公式s2（x1）2(x2）

8、2(xn）2，得s3,s1。2。（3)甲乙，說(shuō)明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)又ss，說(shuō)明甲戰(zhàn)士射擊情況波動(dòng)比乙大因此，乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定從成績(jī)的穩(wěn)定性考慮，應(yīng)選擇乙參加比賽計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的5步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).(2）求出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi（i1，2,，n）(3）求出xi（i1,2，,n）的平方值(4）求出上一步中n個(gè)平方值的平均數(shù)，即為樣本方差(5)求出上一步中平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差活學(xué)活用從甲、乙兩種玉米的苗中各抽10株,分別測(cè)它們的株高如下:(單位：cm）甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42；乙：27 16 44 27 44

9、 16 40 40 16 40.問(wèn):（1）哪種玉米的苗長(zhǎng)得高？（2)哪種玉米的苗長(zhǎng)得齊?解：（1）甲(25414037221419392142）30030（cm),乙（27164427441640401640)31031（cm)所以甲乙即乙種玉米苗長(zhǎng)得高（2）s(2530)2(4130)2(4030)2（3730)2（2230)2(1430)2（1930)2（3930）2(2130）2（4230）2（2512110049642561218181144）1 042104。2（cm2)，s2（2731)23(1631)22（4431)23（4031）21 288128。8（cm2)所以ss.即甲種

10、玉米苗長(zhǎng)得齊。數(shù)字特征的綜合應(yīng)用典例某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示（1）求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；（2）求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)解(1)由題圖知眾數(shù)為75。(2）由題圖知，設(shè)中位數(shù)為x,由于前三個(gè)矩形面積之和為0。4，第四個(gè)矩形面積為0.3，0.30.40。5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0.10.03（x70)，所以x73。3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，但是

11、有偏差;表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)平均數(shù)等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心,是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)活學(xué)活用為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖,則(1）這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在55，75)的人數(shù)是_(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為_(kāi)（3）這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為_(kāi)解析:(1）在55,75）的人數(shù)為(0。040100.02510)2013。(2）設(shè)中位數(shù)為x，則0.2（x55)0。040.5，x62.5.（3）0.2500。4600

12、.25700.1800。059064。答案：（1)13(2）62.5(3）64層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在某幾場(chǎng)比賽中得分的莖葉圖如圖所示，則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)之和是（）a63b64c65 d66解析:選a甲、乙兩人在這幾場(chǎng)比賽中得分的中位數(shù)分別是36和27，則中位數(shù)之和是362763.2下列說(shuō)法中,不正確的是()a數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4，6b數(shù)據(jù)1,2，2，3，4，4的眾數(shù)是2，4c一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)d8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是解析：選a數(shù)據(jù)2，4,6,8的中位數(shù)為5，顯然a是錯(cuò)誤的

13、，b、c、d都是正確的故選a.3已知一組數(shù)據(jù)，現(xiàn)將每個(gè)數(shù)據(jù)都加上m，則新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與原來(lái)一組數(shù)的平均數(shù)相比（）a擴(kuò)大到m倍b增加m倍c數(shù)值不變 d增加m解析：選d設(shè)原來(lái)一組數(shù)據(jù)為x1，x2,，xn，平均數(shù)，那么加上m后得到的一組新數(shù)據(jù)為x1m，x2m,，xnm，其平均數(shù)mm.故答案為d。4如圖是一次考試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)該圖可估計(jì),這次考試的平均分?jǐn)?shù)為(）a46 b36c56 d60解析：選a根據(jù)題中統(tǒng)計(jì)圖，可估計(jì)有4人成績(jī)?cè)?,20）之間，其考試分?jǐn)?shù)之和為41040；有8人成績(jī)?cè)?0,40）之間，其考試分?jǐn)?shù)之和為830240；有10人成績(jī)?cè)?0，60）之間，其考試分?jǐn)?shù)之和為10505

14、00；有6人成績(jī)?cè)?0，80）之間,其考試分?jǐn)?shù)之和為670420；有2人成績(jī)?cè)?0,100)之間，其考試分?jǐn)?shù)之和為290180，由此可知，考生總?cè)藬?shù)為48106230，考試總成績(jī)?yōu)?02405004201801 380，平均數(shù)為46.5某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0。30，0.40，0。15，0。10,0。05.求：（1）高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；（2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)解：（1)由圖可知眾數(shù)為65，第一個(gè)小矩形的面積為0.3，設(shè)中位數(shù)為60x，則0.3x0.0

15、40。5，得x5，中位數(shù)為60565.(2）依題意，平均成績(jī)?yōu)?50。3650.4750。15850。1950。0567，故平均成績(jī)約為67.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1。如圖為甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分情況的莖葉圖,則甲和乙得分的中位數(shù)的和是(）a56分b57分c58分d59分解析：選b易得甲得分的中位數(shù)是32，乙得分的中位數(shù)是25,其和為322557。2在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9。4,8.4，9。4，9。9,9.6,9。4，9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為()a9.4，0.484 b9。4,0。016c9。5,0.04 d9。5,0

16、。016解析：選d9.5，s2(0.1240。22）0.016。3如圖，樣本a和b分別取自兩個(gè)不同的總體,它們的樣本平均數(shù)分別為a和b，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sa和sb，則(）a.ab,sasb b。ab，sasbc。ab，sasb d.ab，sasb解析：選b由圖易得ab，又a波動(dòng)性大，b波動(dòng)性小，所以sasb.4為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試,得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為，則（)amem0 bmem0cmem0 dm0me解析:選d由題目所給的統(tǒng)計(jì)圖可知，30個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列好后，中間兩個(gè)數(shù)為5,6，故中位數(shù)

17、為me5。5.又眾數(shù)為m05,平均值（324351066738292102），m0me.5五個(gè)數(shù)1,2,3,4，a的平均數(shù)是3,則a_,這五個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是_解析:由3，得a5；由s2（13)2（23)2(33）2(43)2（53）22,得標(biāo)準(zhǔn)差s.答案：56某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時(shí)間記錄如下表：等待時(shí)間(分鐘)0，5)5，10）10,15)15，20)20，25頻數(shù)48521用上述分組資料計(jì)算出病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值_。解析:（2。547.5812.5517。5222.51）9.5.答案：9.57某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下:7,8，7，9，5，4,9,

18、10，7，4.則:(1）平均命中環(huán)數(shù)為_(kāi)；（2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)解析：(1）(78795491074)7.（2）s2(77）2（87)2(77)2(97)2（57）2(47）2(97)2（107)2（77）2（47）24，所以s2。答案：(1）7(2)28從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組75,85）85,95）95，105）105，115)115,125頻數(shù)62638228（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查

19、數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？解：（1)頻率分布直方圖如圖所示:(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為:800.06900.261000.381100.221200.08100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為：s2（80100）20。06(90100）20。26(100100）20.38（110100)20.22(120100)20。08104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100,方差的估計(jì)值為104.（3）質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.380.220.080.68。由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80”的規(guī)定