2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 5.1 平面向量的概念及線性運算學(xué)案北師大版

1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 5.1 平面向量的概念及線性運算學(xué)案北師大版2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 5.1 平面向量的概念及線性運算學(xué)案北師大版年級：姓名：第五章平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入5.1平面向量的概念及線性運算必備知識預(yù)案自診知識梳理1.平面向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有又有的量叫作向量;向量ab的大小稱為向量ab的(或稱)記作ab零向量長度為的向量叫作零向量;其方向是任意的記作0單位向量長度等于的向量,叫作單位向量非零向量a的單位向量為a|a|平行向量方向或的非零向量叫作平行向量零向量與任意向量

2、或共線共線向量的非零向量又叫作共線向量相等向量長度且方向的向量叫作相等向量兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度且方向的向量叫作相反向量零向量的相反向量仍是零向量2.平面向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算,叫作向量的加法(1)交換律:a+b=(2)結(jié)合律:(a+b)+c=減法向量a加上b的相反向量,叫作a與b的差.求兩個向量差的運算叫作向量的減法a-b=a+(-b)續(xù)表向量運算定義法則(或幾何意義)運算律數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算叫作向量的數(shù)乘(1)|a|=;(2)當0時,a的方向與a的方向;當0時,a的方向與a的方向;當=0時,a=0(a)=

3、;(+)a=;(a+b)=(,為實數(shù))3.向量共線定理(1)向量a(a0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數(shù),使得.注:限定a0的目的是保證實數(shù)的存在性和唯一性.(2)變形形式:已知直線l上三點a,b,p,o為直線l外任一點,有且只有一個實數(shù),使得op=(1-)oa+ob.1.p為線段ab的中點op=12(oa+ob).2.若g為abc的重心,則有(1)ga+gb+gc=0;(2)ag=13(ab+ac).3.首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量,一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.4.對于起點相同、終點共線的三個向量op,op1,op2(o與p1,

4、p2不共線),總有op=uop1+vop2,u+v=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數(shù)和為1.5.對于任意兩個向量a,b,都有:(1)|a|-|b|ab|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).考點自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段表示向量.()(2)ab+bc+cd=ad.()(3)若兩個向量共線,則其方向必定相同或相反.()(4)若向量ab與向量cd是共線向量,則a,b,c,d四點在一條直線上.()(5)若ab,bc,則ac.()2.(2020河南開封模擬)ab

5、+bc-ad=()a.cdb.cbc.add.dc3.(2020北京朝陽期中,4)如圖,在abc中,d是bc的中點.若ab=a,ad=b,則ac=()a.3a-2bb.a-2bc.-a+2bd.12a+12b4.(2020山東菏澤調(diào)研)設(shè)a與b是兩個不共線向量,且向量a+b與-(b-2a)共線,則=.5.(2020全國1,理14)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點平面向量的有關(guān)概念【例1】給出下列四個說法:若|a|=|b|,則a=b;若a,b,c,d是不共線的四點,則“ab=dc”是“四邊形abcd為平行四邊形”的充要條件;若a=b,b=c,則a=c;a

6、=b的充要條件是|a|=|b|且ab.其中正確說法的序號是()a.b.c.d.解題心得平面向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)平面向量定義的關(guān)鍵是方向和大小.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長度沒有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是1個單位.(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.對點訓(xùn)練1給出下列命題:兩個具有公共終點的向量,一定是共線向量;兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小;若a=0(為實數(shù)),則必為零;已知,為實數(shù),若a=b,則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為()a.1b.2c.3d.4考點平面向量的線性運算【例2】(1

7、)(2020湖南師大附中一模,理3)如圖,在正方形abcd中,點e是dc的中點,點f滿足cf=2fb,那么ef=()a.12ab-13adb.13ab+12adc.12ab-23add.14ab+12ad(2)在abc中,ab+ac=2ad,ae+de=0,若be=xab+yac,則()a.y=3xb.x=3yc.y=-3xd.x=-3y思考在幾何圖形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的線性運算與代數(shù)多項式的運算有怎樣的聯(lián)系?解題心得1.進行向量運算時,要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線及相似三角形的對應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向

8、量用已知向量表示出來.2.向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算,實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形方法在向量的線性運算中同樣適用.對點訓(xùn)練2(1)(2020河南駐馬店二模,文7)如圖,在等腰直角三角形abc中,d,e分別為斜邊bc的三等分點(d靠近點b),過e作ad的垂線,垂足為f,則af=()a.35ab+15acb.25ab+15acc.415ab+815acd.815ab+415ac(2)如圖所示,在正方形abcd中,e為ab的中點,f為ce的中點,則af=()a.34ab+14adb.14ab+34adc.12ab+add.34ab+12ad考點向量共線定理及其應(yīng)用

9、【例3】設(shè)兩個非零向設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若ab=a+b,bc=2a+8b,cd=3(a-b),求證:a,b,d三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.思考如何用向量的方法證明三點共線?變式發(fā)散1若將本例(1)中“bc=2a+8b”改為“bc=a+mb”,則當m為何值時,a,b,d三點共線?變式發(fā)散2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?解題心得1.提醒證明三點共線時,需說明共線的兩向量有公共點.2.對于oa=ob+oc(,為實數(shù)),若a,b,c三點共線,則+=1.3.aba與b共線b=a(a0).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.對點訓(xùn)練3(1)設(shè)

10、兩個非零向量a與b不共線,若a與b的起點相同,且a,tb,13(a+b)的終點在同一條直線上,則實數(shù)t的值為.(2)(2020山東泰安一模,6)如圖,在abc中,點o是bc的中點,過點o的直線分別交直線ab,ac于不同的兩點m,n,若ab=mam,ac=nan,則m+n=()a.1b.32c.2d.31.平面向量的重要結(jié)論:(1)若存在非零實數(shù),使得ab=ac或ab=bc或ac=bc,則a,b,c三點共線.(2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.2.a與b共線b=a(a0,為實數(shù)).3.向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法

11、則,做題時,要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接,指向終點”;向量減法的三角形法則要素是“起點重合,指向被減向量的終點”;平行四邊形法則要素是“起點重合”.1.若兩個向量起點相同,終點相同,則這兩個向量相等;但兩個相等向量不一定有相同的起點和終點.2.零向量和單位向量是兩個特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定.3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行之間的關(guān)系.向量ab與cd是共線向量,但a,b,c,d四點不一定在同一條直線上.4.在向量共線的充要條件中要注意“a0”,否則可能不存在,也可能有無數(shù)個.第五章平面向量、復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運算必

12、備知識預(yù)案自診知識梳理1.大小方向長度模01個單位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.b+aa+(b+c)|a|相同相反()aa+aa+b3.(1)b=a考點自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.dab+bc-ad=ac-ad=dc,故選d.3.c如圖,bd=ad-ab=b-a,ac=ab+bc=ab+2bd=a+2(b-a)=-a+2b.故選c.4.-12依題意知向量a+b與2a-b共線,設(shè)a+b=k(2a-b),則有(1-2k)a+(k+)b=0,所以1-2k=0,k+=0,解得k=12,=-12.5.3|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=1+1+2ab=

13、1,ab=-12,|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2ab=3,|a-b|=3.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1a不正確.兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同.正確.ab=dc,|ab|=|dc|,abdc且ab,dc方向相同,又a,b,c,d是不共線的四點,四邊形abcd為平行四邊形;反之,若四邊形abcd為平行四邊形,則|ab|=|dc|,abdc且ab,dc方向相同,因此ab=dc.正確.a=b,a,b的長度相等且方向相同,又b=c,b,c的長度相等且方向相同,a,c的長度相等且方向相同,故a=c.不正確.當ab且方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|

14、且ab不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件.綜上所述,正確說法的序號是.對點訓(xùn)練1c錯誤.當方向不同時,不是共線向量.正確.因為向量有方向,故它們不能比較大小,但它們的模均為實數(shù),故可以比較大小.錯誤.當a=0時,不論為何值,a=0.錯誤.當=0時,a=b,此時,a與b可以是任意向量.例2(1)c(2)d(1)在cef中,ef=ec+cf.因為點e是dc的中點,所以ec=12dc.因為cf=2fb,所以cf=23cb.所以ef=12dc+23cb=12ab+23da=12ab-23ad.故選c.(2)由ab+ac=2ad,得點d是bc的中點,由ae+de=0,得點e是ad的中點,所以be=

15、ba+ae=-ab+12ad=-ab+1212(ab+ac)=-34ab+14ac,因此x=-34,y=14,所以x=-3y,故選d.對點訓(xùn)練2(1)d(2)d(1)設(shè)bc=6,則ab=ac=32,bd=de=ec=2,ad=ae=bd2+ba2-2bdbacos4=10,cosdae=10+10-4210=45,所以afad=afae=cosdae=45,所以af=45ad.因為ad=ab+13bc=ab+13(ac-ab)=23ab+13ac,所以af=4523ab+13ac=815ab+415ac.故選d.(2)根據(jù)題意得af=12(ac+ae),又因為ac=ab+ad,ae=12ab,

16、所以af=12ab+ad+12ab=34ab+12ad.故選d.例3(1)證明ab=a+b,bc=2a+8b,cd=3(a-b),bd=bc+cd=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5ab,ab,bd共線,又它們有公共點b,a,b,d三點共線.(2)解ka+b與a+kb共線,存在實數(shù),使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a,b是兩個不共線的非零向量,k-=0,k-1=0.k2-1=0.k=1.變式發(fā)散1解bd=bc+cd=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,若a,b,d三點共線,則存在實數(shù),使bd=ab,即4a+(m-3)b=(a+b),4=,m-3=,解得m=7.故當m=7時,a,b,d三點共線.變式發(fā)散2解因為ka+b與a+kb反向共線,所以存在實數(shù),使