魯棒控制線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)論文與仿真

1、魯棒控制線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)論文與仿真 摘 要魯棒控制一直是國際自控界的研究熱點(diǎn)對于一個(gè)控制系統(tǒng)若使得閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的則有必要在設(shè)計(jì)穩(wěn)定化控制器的時(shí)候考慮可能出現(xiàn)的不確定因素以及時(shí)間滯后因素這就是線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)問題本文的主要研究內(nèi)容包括首先綜述了魯棒控制理論的發(fā)展和線性矩陣不等式方法的發(fā)展現(xiàn)狀然后針對線性不確定系統(tǒng)和線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)研究這些系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒控制器的設(shè)計(jì)方法基于線性矩陣不等式和lyapunov穩(wěn)定性理論研究的漸近穩(wěn)定充分條件得到控制器設(shè)計(jì)方法abstractrobust control is the focus in the research of

2、 internationally controlled sectorfor a control system if makes its closed-loop system is stable it will be necessary to consider the possible uncertain and time-delay factors when we design stability controllers this is design problem of linear uncertain time-delay systems robust controllersummaril

3、y the contents of this paper are outlined as follows first it summarize the development of robust control theory and linear matrix inequality approach thenfor the linear uncertain system and the linear uncertain time-delay systems research the robust stability conditions and design technique of robu

4、st controller for these systems base on the linear matrix inequality lmi and lyapunov stability theory a sufficient condition for linear uncertain system linear uncertain delay-independent system and linear uncertain delay-dependent system to be asymptotically stable is presented getting the design

5、technique of their controller and according to design examples and the simulation study the results show that the system is stablekey words robust control uncertainty linear time-delay system state feedback 目 錄第1章 概 述111 時(shí)滯系統(tǒng)概述112 魯棒控制理論概述213 本文研究的主要內(nèi)容5第2章 預(yù)備知識621 線性矩陣不等式基礎(chǔ)622 一些常用的基本引理1023 本章小結(jié)11第3

6、章 線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯無關(guān)的狀態(tài)反饋控制1231 引言1232 線性不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)1233 線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯無關(guān)魯棒控制器設(shè)計(jì)1534 具有時(shí)滯項(xiàng)不確定的線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯無關(guān)魯棒控制器設(shè)計(jì)1935 本章小結(jié)23第4章 線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)的狀態(tài)反饋控制2441 引言2442 線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)魯棒控制器設(shè)計(jì)2443 本章小結(jié)30結(jié) 論31參考文獻(xiàn)32致 謝33附 錄34第1章 概 述11 時(shí)滯系統(tǒng)概述1目前關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的研究成果從結(jié)論的角度可分為兩類依賴于時(shí)滯的和不依賴于時(shí)滯的在20世紀(jì)80研究時(shí)滯系統(tǒng)通常使用的工具主要有riccati矩陣方程與線性矩陣不等式特別是線性

7、矩陣不等式方法的廣泛應(yīng)用使得有關(guān)線性時(shí)滯系統(tǒng)的控制問題的研究得到了飛速發(fā)展縱觀時(shí)滯系統(tǒng)的研究和發(fā)展有兩條主要研究途徑即時(shí)域方法和頻域方法兩大類近年來有關(guān)不確定時(shí)滯系統(tǒng)的結(jié)論基本上都是用時(shí)域的分析方法取得的本論文也用時(shí)域的方法來研究不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析和魯棒控制器的綜合問題時(shí)域方法用的最多的是lyapunov直接設(shè)計(jì)方法從世紀(jì)年代開始lyapunov第二方法開始被用來處理線性系統(tǒng)的控制問題接著該方法也很快被引入到時(shí)滯系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)中來逐漸成為人們手中處理時(shí)滯系統(tǒng)的有力武器因此lyapunov方法在工業(yè)實(shí)際中有著廣闊的應(yīng)用前景控制系統(tǒng)就是使控制對象按照預(yù)期目標(biāo)運(yùn)行的系統(tǒng)當(dāng)今的自動控制技術(shù)

8、都是基于反饋的概念反饋理論的要素包括三個(gè)部分測量比較和執(zhí)行這個(gè)理論和應(yīng)用自動控制的關(guān)鍵是做出正確的測量和比較后如何才能更好地糾正系統(tǒng)80年代以來反饋控制理論獲得了驚人的發(fā)展變得更加嚴(yán)密更加符合實(shí)際由此發(fā)展起來的魯棒控制理論為處理不確定性提供了有效的手段魯棒控制方面的研究始在過去的20年中魯棒控制一直是國際自控界的研究熱點(diǎn)3-4魯棒控制方法適用于穩(wěn)定性和可靠性作為首要目標(biāo)的應(yīng)用同時(shí)過程的動態(tài)特性已知且不確定因素的變化范圍可以預(yù)估飛機(jī)和空間飛行器的控制是這類系統(tǒng)的例子所謂是指控制系統(tǒng)在一定的參數(shù)攝動下維持某些性能的特性根據(jù)對性能的不同定義可分為穩(wěn)定魯棒性和性能魯棒性以閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性作為目標(biāo)設(shè)計(jì)得

9、到的固定控制器稱為魯棒控制器由于工作狀況變動外部干擾以及建模誤差的緣故實(shí)際工業(yè)過程的精確模型很難得到而系統(tǒng)的各種故障也將導(dǎo)致模型的不確定性因此可以說模型的不確定性在控制系統(tǒng)中廣泛存在如何設(shè)計(jì)一個(gè)固定的控制器使具有不確定性的對象滿足控制品質(zhì)也就是魯棒控制成為國內(nèi)外科研人員的研究課題魯棒控制的早期研究主要針對單變量系統(tǒng)siso 在微小攝動下的不確定性具有代表性的是zames提出的微分靈敏度分析然而實(shí)際工業(yè)過程中故障導(dǎo)致系統(tǒng)中參數(shù)的變化這種變化是有界攝動而不是無窮小攝動因此產(chǎn)生了以討論參數(shù)在有界攝動下系統(tǒng)性能保持和控制為內(nèi)容的現(xiàn)代魯棒控制現(xiàn)代魯棒控制是一個(gè)著重控制算法可靠性研究的控制器設(shè)計(jì)方法其設(shè)計(jì)

10、目標(biāo)是找到在實(shí)際環(huán)境中為保證安全要求控制系統(tǒng)最小的必須滿足的要求一旦設(shè)計(jì)好這個(gè)控制器它的參數(shù)不能改變而且控制性能能夠保證控制系統(tǒng)在其特性或參數(shù)發(fā)生攝動時(shí)仍可使品質(zhì)指標(biāo)保持不變的性能魯棒性原是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)專門術(shù)語20世紀(jì)70年代初開始在控制理論的研究中流行起來用以表征控制系統(tǒng)對特性或參數(shù)攝動的不敏感性在實(shí)際問題中系統(tǒng)特性或參數(shù)的攝動常常是不可避免的產(chǎn)生攝動的原因主要有兩個(gè)方面一個(gè)是由于量測的不精確使特性或參數(shù)的實(shí)際值會偏離它的設(shè)計(jì)值標(biāo)稱值另一個(gè)是系統(tǒng)運(yùn)行過程中受環(huán)境因素的影響而引起特性或參數(shù)的緩慢漂移因此魯棒性已成為控制理論中的一個(gè)重要的研究課題也是一切類型的控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中所必須考慮的一個(gè)基

11、本問題對魯棒性的研究主要限于線性定常控制系統(tǒng)所涉及的領(lǐng)域包括穩(wěn)定性無靜差性適應(yīng)控制等魯棒性問題與控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性頻率域內(nèi)表征控制系統(tǒng)穩(wěn)定性裕量的一種性能指標(biāo)和不變性原理自動控制理論中研究扼制和消除擾動對控制系統(tǒng)影響的理論有著密切的聯(lián)系內(nèi)模原理把外部作用信號的動力學(xué)模型植入控制器來構(gòu)成高精度反饋控制系統(tǒng)的一種設(shè)計(jì)原理的建立則對魯棒性問題的研究起了重要的推動作用當(dāng)系統(tǒng)中存在模型攝動或隨機(jī)干擾等不確定性因素時(shí)能保持其滿意功能品質(zhì)的控制理論和方法稱為魯棒控制早期的魯棒控制主要研究單路系統(tǒng)頻率特性的某些特征或基于小攝動分析上的靈敏度問題系統(tǒng)魯棒可追溯到無窮小分析的思想例如微分方程解在給定區(qū)間的任意小

12、變化依賴于初值和方程系數(shù)的充分小變化再如偏微分方程中的適定性研究計(jì)算方法中關(guān)于誤差的靈敏性等魯棒控制問題事實(shí)上最初在具有攝動的精確系統(tǒng)的大增益反饋器設(shè)計(jì)有所體現(xiàn)這一思想最早研究可追溯到1927年black針對具有攝動的精確系統(tǒng)的大增益反饋設(shè)計(jì)思想由于當(dāng)時(shí)不知道反饋增益和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的確切關(guān)系基于上述思想設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)往往是動態(tài)不穩(wěn)定的1932年nyquist提出了基于nyquist曲線的頻域穩(wěn)定性判據(jù)使得反饋增益和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系明朗化1945年bode討論了單輸入單輸出 siso 反饋系統(tǒng)的魯棒性提出了利用幅值和相位穩(wěn)定裕度來得到系統(tǒng)能容許的不確定性范圍并引入微分靈敏度函數(shù)來衡

13、量參數(shù)攝動下的系統(tǒng)性能世紀(jì)年代初cruz和perkins將單輸入單輸出系統(tǒng)的靈敏性分析思想推廣到多輸入多輸出 mimo 系統(tǒng)引入靈敏度矩陣來衡量系統(tǒng)的閉環(huán)和開環(huán)性能這些關(guān)于魯棒控制的早期研究主要局限于系統(tǒng)的不確定性是微小的參數(shù)攝動情形尚屬于靈敏度分析的范疇并只是停留在理論上尚不能在實(shí)際的生產(chǎn)過程中得以應(yīng)用在實(shí)際生產(chǎn)過程中系統(tǒng)的參數(shù)攝動往往由于各種原因會在較大的范圍內(nèi)發(fā)生變化早期的理論研究不能解決實(shí)際中出現(xiàn)的這種情況為適應(yīng)社會的發(fā)展和解決生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的問題現(xiàn)代魯棒控制理論得以應(yīng)運(yùn)而生在魯棒控制理論建立過程中zames于1963年提出的小增益原理影響深遠(yuǎn)這一原理為魯棒穩(wěn)定性分析莫定了基礎(chǔ)至今仍是

14、頻域分析非結(jié)構(gòu)不確定性系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的基本工具魯棒控制理論這一術(shù)語首次由davsion在1972年提出在世紀(jì)年代末和年代初人們從實(shí)際與理論兩個(gè)方面越來越深刻的認(rèn)識到棒控制理論具有的特殊的實(shí)踐和理論意義從而魯棒控制擴(kuò)展到許多領(lǐng)域得到迅速發(fā)展并取得了令人矚目的成果隨著科技的進(jìn)步和社會的發(fā)展微機(jī)的應(yīng)用為控制論的飛速發(fā)展提供了極大的方便也正是微機(jī)的廣泛應(yīng)用現(xiàn)代控制理論才有今天可喜的成果魯棒控制理論發(fā)展到今天已經(jīng)形成了很多引人注目的理論其中控制理論是目前解決魯棒性問題最為成功且較完善的理論體系系統(tǒng)的分析方法和控制器的設(shè)計(jì)大多是基于數(shù)學(xué)模型而建立的而且各類方法已經(jīng)趨于成熟和完善然而系統(tǒng)總是存在這樣或那樣的

15、不確定性在系統(tǒng)建模時(shí)有時(shí)只考慮了工作點(diǎn)附近的情況造成了數(shù)學(xué)模型的人為簡化另一方面執(zhí)行部件與控制元件存在制造容差系統(tǒng)運(yùn)行過程也存在老化磨損以及環(huán)境和運(yùn)行條件惡化等現(xiàn)象使得大多數(shù)系統(tǒng)存在結(jié)構(gòu)或者參數(shù)的不確定性這樣用精確數(shù)學(xué)模型對系統(tǒng)的分析結(jié)果或設(shè)計(jì)出來的控制器常常不滿足工程要求近些年來人們展開了對不確定系統(tǒng)魯棒控制問題的研究并取得了一系列研究成果反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本要求包括穩(wěn)定性漸調(diào)節(jié)動態(tài)特性和魯棒性等四個(gè)方面 1 穩(wěn)定性它是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的最基本要求并意味著控制系統(tǒng)從工作點(diǎn)附近任意初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡在時(shí)間趨于無窮時(shí)收斂于工作點(diǎn) 2 漸調(diào)節(jié)它意味著對于一類給定的目標(biāo)輸入和外部擾動一個(gè)反饋控制系統(tǒng)必

16、須能夠保證即保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0漸調(diào)節(jié)的特性反映了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能 3 動態(tài)特性它是指反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)性能必須滿足一組給定的設(shè)計(jì)指標(biāo) 4 魯棒性它是指當(dāng)不確定性在一組給定的范圍內(nèi)發(fā)生變化時(shí)必須保證反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性漸調(diào)節(jié)和動態(tài)特性不受影響一個(gè)反饋控制系統(tǒng)是魯棒的或者說一個(gè)反饋控制系統(tǒng)具有魯棒性就是指這個(gè)反饋控制系統(tǒng)在某一類特定的不確定性條件下具有使穩(wěn)定性漸調(diào)節(jié)和動態(tài)特性保持不變的特性即這一反饋控制系統(tǒng)具有承受這一類不確定性影響的能力魯棒性又可以分為魯棒穩(wěn)定性魯棒調(diào)節(jié)和魯棒動態(tài)特性 1 魯棒穩(wěn)定性是指在一組不確定性的作用下仍然能夠保證反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2 魯棒漸調(diào)節(jié)是指在一組不確

17、定性的影響下仍然可以實(shí)現(xiàn)反饋控制系統(tǒng)的漸調(diào)節(jié)功能 3 魯棒動態(tài)特性通常稱為靈敏度特性即要求動態(tài)特性不受不確定性的影響一個(gè)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題就是根據(jù)給定的控制對象模型尋找一個(gè)控制器以保證反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性使反饋控制系統(tǒng)達(dá)到期望的性能并對模型不確定性和擾動不確定性具有魯棒性具有魯棒性的控制系統(tǒng)稱為魯棒控制系統(tǒng)抓住不確定性變化的范圍界限并在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行最壞情況下的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)這就是魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本思想在時(shí)間域中研究參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒分析和綜合問題的主要理論基礎(chǔ)是lyapunov穩(wěn)定性理論早期的一種主要方法是riccati方程處理方法它是通過將系統(tǒng)的分析和綜合問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)riccat

18、i型矩陣方程的可解性問題進(jìn)而應(yīng)用求解riccati方程的方法給出系統(tǒng)具有給定魯棒性能的條件和魯棒控制器的設(shè)計(jì)方法盡管riccat方程處理方法可以給出控制器的結(jié)構(gòu)形式便于進(jìn)行一些理論分析但是在實(shí)施這一方法之前往往需要設(shè)計(jì)者事先確定一些待定參數(shù)這些參數(shù)的選擇不僅影響到結(jié)論的好壞而且還會影響到問題的可解性但在現(xiàn)有的riccati方程處理方法中還缺乏尋找這些參數(shù)最佳值的方法參數(shù)的這種人為確定方法給分析和綜合結(jié)果帶來了很大的保守性另一方面riccati型矩陣方程本身的求解也還存在一定的問題目前存在很多求解riccati型矩陣方程的方法但多為迭代方法這些方法的收斂性并不能得到保證世紀(jì)年代初隨著求解凸優(yōu)化問

19、題的內(nèi)點(diǎn)法的提出線性矩陣不等式再一次受到控制界的關(guān)注并被應(yīng)用到系統(tǒng)和控制的各個(gè)領(lǐng)域中許多控制問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題或者是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題由于有了求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法使得這些問題可以得到有效的解決1995年matlab推出了求解線性矩陣不等式問題的lm工具箱從而使得人們能夠更加方便和有效地來處理求解線性矩陣不等式系統(tǒng)進(jìn)一步推動了線性矩陣等式方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用線性矩陣不等式處理方法可以克服riccati方程處理方法中存在的許多不足線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個(gè)凸約束條件因此可以應(yīng)用求解凸優(yōu)化問題的有效方法來進(jìn)行求解正是這種凸約束條

20、件使得在控制器設(shè)計(jì)時(shí)得到的不僅僅是一個(gè)滿足設(shè)計(jì)要求的控制器而是從凸約束條件的任意一個(gè)可行解都可以得到一個(gè)控制器即可以得到滿足設(shè)計(jì)要求的一組控制器這一性能在求解系統(tǒng)的多目標(biāo)控制問題時(shí)是特別有用的本主要介紹線性矩陣不等式的一些基本概念求解線性矩陣不等式的主要算法以及應(yīng)用線性矩陣不等式來解決系統(tǒng)與控制問題時(shí)要用到的一些基本結(jié)論com 線性矩陣不等式的表示式近年來線性矩陣不等式被廣泛用來解決系統(tǒng)與控制中的一些問題隨著解決線性矩陣不等式的內(nèi)點(diǎn)法的提出matlb軟件中l(wèi)mi工具箱的推出線性矩陣不等式這一工具越來越受到人們的注意和重視應(yīng)用線性矩陣不等式來解決系統(tǒng)與控制問題已成為這些領(lǐng)域中的一大研究熱點(diǎn)線性矩

21、陣不等式 lmi 具有如下形式 2-1 其中是個(gè)實(shí)數(shù)變量稱為是線性矩陣不等式 的決策變量是由決策變量構(gòu)成的向量稱為決策向量是一組給定的實(shí)對稱矩陣式 2 中的不等號指的是矩陣是負(fù)定的即對所有非零的向量或的最大特征值小于零看成是從到實(shí)對稱矩陣集的一個(gè)映射則可以看出并不是一個(gè)線性函數(shù)而只是一個(gè)仿射函數(shù)因此更確切地說不等式 2-1 應(yīng)該稱為一個(gè)仿射矩陣不等式但由于歷史原因目前線性矩陣不等式這一名稱已被廣泛接受和使用如果在 2-1 式中用代替 則相應(yīng)的矩陣不等式稱為非嚴(yán)格的線性矩陣不等式顯然多個(gè)lmi可用一個(gè)lmi表示即等價(jià)于對二次非線性矩陣不等式通過schur補(bǔ)引理13可以轉(zhuǎn)化為lmi從而推廣lmi在

22、控制理論研究中應(yīng)用范圍其基本思想是若則等價(jià)于本節(jié)介紹三類標(biāo)準(zhǔn)的性矩陣不等式問題在matlab的lmi工具箱中給出了這三類問題的求解器假定其中的和是對稱的矩陣值仿射函數(shù)是一個(gè)給定的常數(shù)向量 可行性問題 lmip 對給定的線性矩陣不等式檢驗(yàn)是否存在使得成立的問題稱為一個(gè)線性矩陣不等式的可行性問題如果存在這樣的則該線性矩陣不等式問題是可行的否則這個(gè)線性矩陣不等式就是不可行的特征值問題 evp 該問題是在個(gè)線性矩陣不等式約束下求矩陣的最大特征值的最小化問題或確定問題的約束是不可行的它的一般形式是這樣一個(gè)問題也可以轉(zhuǎn)化成以下的一個(gè)等價(jià)問題這也是lmi工具箱中特征值問題求解器所要處理問題的標(biāo)準(zhǔn)形式廣義特征

23、值問題 gevp 在一個(gè)線性矩陣不等式約束下求兩個(gè)仿射矩陣函數(shù)的最大廣義特征值的最小化問題對給定的兩個(gè)相同階數(shù)的對稱矩陣和對標(biāo)量如果存在非零向量使得則稱為矩陣和的廣義特征值矩陣和的最大廣義特征值的計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的優(yōu)化問題事實(shí)上假定矩陣是正定的則對充分大的標(biāo)量有隨著減小并在某個(gè)適當(dāng)?shù)闹祵⒆優(yōu)槠娈惖囊虼舜嬖诜橇阆蛄渴沟眠@樣的一個(gè)就是矩陣和的廣義特征值根據(jù)這樣的思想矩陣和的最大廣義特征值可以通過求解以下的優(yōu)化問題得到當(dāng)矩陣和是的一個(gè)仿射函數(shù)時(shí)在一個(gè)線性矩陣不等式約束下求矩陣函數(shù)和的最大廣義特征值的最小化問題的一般形式如下通常在控制理論研究中所遇到的二次非線性矩陣不等式通

24、過下面schur補(bǔ)引理可以轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式這也是線性矩陣不等式在控制理論研究中能得到廣泛應(yīng)用的主要原因之一下面給出schur引理的具體描述 com schur補(bǔ)引理 假設(shè)對稱矩陣并且可以進(jìn)行以下分塊其中是維的假定非奇異則稱為是在中的schur補(bǔ)那么以下三個(gè)結(jié)論等價(jià) 上述結(jié)論中的所有不等式都是嚴(yán)格不等式如果遇有非嚴(yán)格的不等式則用到下列推廣了的schur補(bǔ)引理 引理22 假設(shè)對稱矩陣并且可以進(jìn)行以下分塊分塊定義同引理21則等價(jià)于下述三個(gè)約束條件 注意到引理21的 2 式和 3 式中的第二個(gè)不等式以及式后兩個(gè)不等式均為非線性矩陣不等式因此以上的等價(jià)關(guān)系說明了應(yīng)用矩陣的schur補(bǔ)性質(zhì)一些非線性矩

25、陣不等式可以轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式從而利用現(xiàn)有的軟件matlab中的lmi工具箱可以直接對問題求解 線性矩陣不等式處理方法可以克服riccati方程處理方法中存在的許多不足線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個(gè)凸約束條件因此可以應(yīng)用求解凸優(yōu)化問題的有效方法來進(jìn)行求解正是這種凸約束條件使得在控制器設(shè)計(jì)時(shí)得到的不僅僅是一個(gè)滿足設(shè)計(jì)方法的控制器而且是從約束條件的任意一個(gè)可行解都可以得到的一個(gè)控制器即可以得到滿足設(shè)計(jì)要求的一組控制器 1 以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式 2 獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息 3 修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng) 4 求解三個(gè)一般的線性矩陣不等式問題 5 驗(yàn)證結(jié)

26、果lmi工具箱可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式式中是具有一定結(jié)構(gòu)的矩陣變量左右外因子和是具有相同維數(shù)的給定矩陣左右內(nèi)因子和是具有相同分塊結(jié)構(gòu)的對稱塊矩陣lmi工具箱提供了用于求解如下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)問題的線性矩陣不等式求解器 1 可行性問題 lmip 對應(yīng)的求解器函數(shù)feasp 的一般表達(dá)式如下tminxfeas feasp lmisysoptionstarget 求解器feasp 是通過求解如下的一個(gè)輔助凸優(yōu)化問題來求解線性矩陣不等式系統(tǒng)limisys的可行性問題 2 特征值問題 evp 對應(yīng)的求解器函數(shù)mincx 的一般表達(dá)式如下coptxopt mincx lmisysoptionsxi

27、nittarget 求解器mincx 求解的優(yōu)化問題如下這是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的線性目標(biāo)函數(shù)的最小化優(yōu)化問題 3 廣義特征值問題 gevp 對應(yīng)的求解器函數(shù)gevp 的一半表達(dá)式如下loptxopt gevp lmisysnlfcoptionslinitxinittarget 對于給定的兩個(gè)相同階數(shù)的對稱矩陣和標(biāo)量如果存在非零向量使得則稱為是矩陣和的廣義特征值求解器gevp 給出了優(yōu)化問題的全局最小值lopt和決策向量的最優(yōu)解xopt控制系統(tǒng)中的一些性能指標(biāo)穩(wěn)定性判據(jù)可以轉(zhuǎn)化為lmi的以上三類標(biāo)準(zhǔn)問題其原因是一方面lyapunov方法易得到凸的或擬凸的條件另一方面lmi本身能表示范圍廣

28、泛的不同類凸約束引理 為適維的常數(shù)矩陣并且是適維的單位矩陣則存在使得下式成立引理 com 給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣和其中對稱的則對所有滿足的矩陣成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)使得引理23 對給定的對稱矩陣其中是rxr維的以下三個(gè)條件是等價(jià)的 1 2 3 在一些控制問題中經(jīng)常遇到二次型矩陣不等式其中是給定的適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣是對稱矩陣變量則應(yīng)用引理23可以將可行性問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)等價(jià)的矩陣不等式是適維矩陣是適維單位陣是同維向量則下式成立其中com com如果令則23 本章小結(jié)本章主要介紹了線性矩陣不等式的一些基礎(chǔ)知識以及matlab lmi工具箱在本章中列出了一些常用的引理也對文中要用的矩陣不等式做了歸納總結(jié)

29、并給出了證明第3章 線性時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯無關(guān)的狀態(tài)反饋控制31 引言近年來不確定系統(tǒng)的研究涌現(xiàn)出許多的成果在實(shí)際控制系統(tǒng)中不確定性和時(shí)滯性是不可避免的它們的存在往往是導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定的內(nèi)在因素這類問題的本質(zhì)是帶攝動的無窮維問題所以不確定性的滯后控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定研究就比較困難而實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)通常又不能無條件地用無滯后的不確定系統(tǒng)線性系統(tǒng)的攝動抑制及時(shí)滯抑制是系統(tǒng)魯棒性研究中一類很重要的問題在實(shí)際系統(tǒng)分析及綜合中具有重要意義因此下面分別對不確定系統(tǒng)和具有時(shí)滯的不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)進(jìn)行研究32 線性不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)在魯棒控制中不確定動態(tài)系統(tǒng)的概念是相當(dāng)重要的為了進(jìn)行有效的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)

30、復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)必須用一個(gè)相對簡單的模型來描述而這樣一個(gè)簡化模型和實(shí)際對象之間的差距稱為模型不確定性除了在模型簡化中可能帶來模型的不確定性外對系統(tǒng)某些特性或環(huán)節(jié)缺乏足夠的了解 即難以建模的部分 由于系統(tǒng)環(huán)境的變化元器件的老化某些物理參數(shù)的漂移或隨時(shí)間的未知變化等因素所帶來的系統(tǒng)行為的變化也可能導(dǎo)致模型不確定性的產(chǎn)生因此就要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使不確定系統(tǒng)具有穩(wěn)定性本節(jié)主要是在系統(tǒng)的狀態(tài)反饋中加入了不確定的系數(shù)從簡單的線性不確定系統(tǒng)著手來進(jìn)行理論的推導(dǎo)和驗(yàn)證推導(dǎo)出來的理論又通過一個(gè)實(shí)際的例子進(jìn)行了驗(yàn)證與仿真不僅證明了定理的正確性而且通過理論分析和實(shí)例表明設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器還具有一定的魯棒性即在受到一定

31、的不確定干擾時(shí)系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的com 問題描述考慮如下形式的線性不確定系統(tǒng) 3-1 其中是系統(tǒng)的狀態(tài)向量是系統(tǒng)的控制輸入是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣是適當(dāng)維數(shù)的不確定矩陣函數(shù)表示了系統(tǒng)模型中的參數(shù)不確定性假定所考慮的參數(shù)不確定性是參數(shù)有界的且具有以下的形式其中是適當(dāng)維常數(shù)矩陣為未知的lebesgue可測矩陣函數(shù)且滿足取狀態(tài)反饋控制律如下 3-2 在反饋控制律 3 的作用下com 主要結(jié)果和推導(dǎo)過程定對于給定線性不確定無時(shí)滯系統(tǒng) 31 存在線性狀態(tài)反饋 3-2 使得閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的充分條件是存在適當(dāng)?shù)恼龜?shù)正定對稱矩陣以及矩陣使得如下線性矩陣不等式成立 3-3 證明定義如下lyapunov函數(shù)函

32、數(shù)兩邊同時(shí)對求導(dǎo)有下式成立令則因?yàn)閯tcom應(yīng)用schur補(bǔ)引理得 3-4 比較可知線性矩陣不等式 3 與不等式 3 等價(jià)因此系統(tǒng) 31 是穩(wěn)定的考慮系統(tǒng) 31 具有如下的各矩陣參數(shù)已知矩陣已經(jīng)給定要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使得被控系統(tǒng)穩(wěn)定并且具有一定的魯棒性且仿真出來系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)圖解利用matlab的lmitoollmiedit函數(shù) 所編程序如附錄中的 附錄1 即附錄1中ew值 由matlab的1中所計(jì)算得的增益值輸入在圖中的matrix gain中選取一定值運(yùn)行即得如下所示的系統(tǒng)狀態(tài)階躍響應(yīng)圖圖3-2 系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)從仿真圖中可以看到系統(tǒng)的響應(yīng)隨著時(shí)間的增大而趨近于穩(wěn)定這就說明由本

33、方法得到的能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的魯棒性一類是與時(shí)滯大小無關(guān)的系統(tǒng)穩(wěn)定條件另一類是系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則時(shí)滯無關(guān)的穩(wěn)定判別準(zhǔn)則的主要特點(diǎn)是簡潔實(shí)用本節(jié)的主要工作是提出線性時(shí)滯系統(tǒng)的一些與時(shí)滯無關(guān)的穩(wěn)定設(shè)計(jì)理論分析和實(shí)例表明研究結(jié)果具有十分重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值com 問題描述考慮具有如下形式的線性不確定系統(tǒng) 3-5 其中是系統(tǒng)的狀態(tài)向量是系統(tǒng)的控制輸入是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣為時(shí)滯參數(shù)值是反映系統(tǒng)模型中參數(shù)不確定性的未知實(shí)矩陣假定所考慮的參數(shù)不確定性是參數(shù)有界的且具有以下的形式其中是適當(dāng)維常數(shù)矩陣為未知的lebesgue可測矩陣函數(shù)且滿足取狀態(tài)反饋控制律如下 3-6 在反饋控制律 3

34、 的作用下com 主要結(jié)果和推導(dǎo)過程com對于給定線性不確定時(shí)滯系統(tǒng) 3 存在線性狀態(tài)反饋 3 使得閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的充分條件是存在適當(dāng)?shù)恼龜?shù)正定對稱矩陣以及矩陣使得如下線性矩陣不等式成立 3-7 證明定義如下lyapunov函數(shù)函數(shù)兩邊同時(shí)對求導(dǎo)有下式成立因?yàn)閯tcom將其代入則變成我們可以令即得要證明只需要證明即可在的左右兩邊同時(shí)乘以再令可以得到 3-8 對于不等式 3-8 應(yīng)用schur補(bǔ)引理即得 3-9 比較可知線性矩陣不等式 3 與不等式 3 等價(jià)因此系統(tǒng) 3 是穩(wěn)定的考慮系統(tǒng) 3 具有如下的各矩陣參數(shù) 已知矩陣已經(jīng)給定要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使得被控系統(tǒng)穩(wěn)定并且具有一定的魯棒性且

35、仿真出來系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)圖解利用matlab的lmitoollmiedit函數(shù) 所編程序如附錄中的 附錄2 所示運(yùn)行程序解得 即附錄2中ew值 由matlab的2中所計(jì)算得的增益值輸入在圖中的matrix gain和matrix gain1中選取一定值運(yùn)行即得如下所示的系統(tǒng)狀態(tài)階躍響應(yīng)圖圖3-4 系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)時(shí)滯d 05圖3-5 系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)時(shí)滯d 10在系統(tǒng)取不同的時(shí)滯常數(shù)值的情況下從仿真圖3-4和 3-10 其中是系統(tǒng)的狀態(tài)向量是系統(tǒng)的控制輸入是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣為時(shí)滯參數(shù)值是反映系統(tǒng)模型中參數(shù)不確定性的未知實(shí)矩陣假定所考慮的參數(shù)不確定性是參數(shù)有界的且具有以下的形式其

36、中是適當(dāng)維常數(shù)矩陣為未知的lebesgue可測矩陣函數(shù)且滿足取狀態(tài)反饋控制律如下 3-11 在反饋控制律 3 的作用下com 主要結(jié)果和推導(dǎo)過程定對于給定線性不確定時(shí)滯系統(tǒng) 3 存在線性狀態(tài)反饋 3 使得閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的充分條件是存在適當(dāng)?shù)恼龜?shù)正定對稱矩陣以及矩陣使得如下線性矩陣不等式成立 3-12 證明定義如下lyapunov函數(shù)函數(shù)兩邊同時(shí)對求導(dǎo)有下式成立因?yàn)閯tcom將其代入則變成 可以令即得要證明0只需要證明即可在的左右兩邊同時(shí)乘以再令 3-13 對于不等式 3-13 應(yīng)用schur補(bǔ)引理即得 3-14 比較可知線性矩陣不等式 3 與不等式 3 等價(jià)因此系統(tǒng) 3 是穩(wěn)定的考慮系統(tǒng) 3

37、 具有如下的各矩陣參數(shù)已知矩陣已經(jīng)給定要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使得被控系統(tǒng)穩(wěn)定并且具有一定的魯棒性且仿真出來系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)圖解第一步利用matlab的lmitool工具可以解得未知矩陣 即lmiedit函數(shù) 所編程序如附錄中的 附錄3 所示運(yùn)行程序解得 即附錄3中ew值 由matlab的simulink工具箱在狀態(tài)反饋控制規(guī)律的作用下的系統(tǒng)的方塊圖圖3-6 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方塊圖由附錄3中所計(jì)算得的增益值加在圖中的matrix gain和matrix gain1中選取一定的時(shí)滯值即得如下所示的系統(tǒng)狀態(tài)階躍響應(yīng)圖圖3-7 系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)時(shí)滯d 05圖3-8 系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)時(shí)滯d

38、10在系統(tǒng)取不同的時(shí)滯常數(shù)值的情況下從仿真圖3-7和3-8中可以看到系統(tǒng)的響應(yīng)隨著時(shí)間的增大而趨近于穩(wěn)定并且穩(wěn)定時(shí)間基本相同這就說明由本方法得到的狀態(tài)反饋控制律能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的魯棒性35 本章小結(jié)本節(jié)針對一類不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)即在系統(tǒng)矩陣具有不確定性且具有時(shí)滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)中給出了使與時(shí)滯無關(guān)的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件通過求解線性矩陣不等式獲得了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制器為解決實(shí)際應(yīng)用提供了一種可行的設(shè)計(jì)方案并且通過仿真驗(yàn)證了結(jié)論的正確性具有一定的理論意義及實(shí)際價(jià)值在323334節(jié)中對于線性不確定系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋魯棒控制器的基于穩(wěn)定的直接法給出了控制作用下的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件并且通過實(shí)際

39、的仿真實(shí)例對所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了驗(yàn)證結(jié)果表明設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器具有很好的魯棒性 4-1 其中是系統(tǒng)的狀態(tài)向量是系統(tǒng)的控制輸入是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣為時(shí)滯參數(shù)值是反映系統(tǒng)模型中參數(shù)不確定性的未知實(shí)矩陣假定所考慮的參數(shù)不確定性是參數(shù)有界的且具有以下的形式其中是適當(dāng)維常數(shù)矩陣為未知的lebesgue可測矩陣函數(shù)且滿足取狀態(tài)反饋控制律如下 4-2 在反饋控制律 的作用下com 主要結(jié)果和推導(dǎo)過程定對于給定線性不確定時(shí)滯系統(tǒng) 1 存在線性狀態(tài)反饋 使得閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的充分條件是存在適當(dāng)?shù)恼龜?shù)正定對稱矩陣矩陣使得如下線性矩陣不等式成立 4-3 其中證明由于即將其代入系統(tǒng) 4 則系統(tǒng)可表示成定義

40、如下lyapunov函數(shù)分別對求導(dǎo)根據(jù)引理25得對求導(dǎo)對求導(dǎo)則得其中則等價(jià)于上式等價(jià)于 4-4 其中若式 4-4 成立則存在不為零的適維向量使得下式成立 4-5 不等式 4-5 與下式等價(jià) 4-6 其中假設(shè)并利用schur補(bǔ)引理不等式 4-7 與線性矩陣不等式 4-3 等價(jià)有如下形式 4-7 其中 證畢com 仿真實(shí)例考慮系統(tǒng) 具有如下的各矩陣參數(shù)已知矩陣已經(jīng)給定要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使得被控系統(tǒng)穩(wěn)定并且具有一定的魯棒性且仿真出來系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)圖解第一步利用matlab的lmitool工具可以解得未知矩陣 即lmiedit函數(shù) 所編程序如附錄中的 附錄4 所示運(yùn)行程序解得由matlab

41、的圖4-2 系統(tǒng)的狀態(tài)階躍響應(yīng)從仿真圖中可以看到系統(tǒng)的響應(yīng)隨著時(shí)間的增大而趨近于穩(wěn)定這就說明由本方法得到的控制能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的魯棒性并且通過實(shí)際的仿真實(shí)例對所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了驗(yàn)證結(jié)果表明設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器具有很好的魯棒性lmi 本文的主要研究工作概括如下 1 對于時(shí)滯系統(tǒng)和魯棒控制理論進(jìn)行了概述講述了什么是時(shí)滯系統(tǒng)什么是系統(tǒng)的魯棒性魯棒理論的歷史和發(fā)展魯棒控制器的設(shè)計(jì)方法等并且介紹了線性矩陣不等式的一些相關(guān)知識本論文中所要用到的引理也進(jìn)行了描述 2 對于線性不確定無時(shí)滯系統(tǒng)和線性不確定時(shí)滯無關(guān)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋魯棒控制器的設(shè)計(jì)基于線性矩陣不等式方法 lmi 和lyapunov穩(wěn)定性原

42、理給出了系統(tǒng)穩(wěn)定鎮(zhèn)定的設(shè)計(jì)并且針對實(shí)例進(jìn)行了仿真驗(yàn)證 3 為了克服不依賴時(shí)滯的結(jié)果在某些情況下存在的局限性如可能無法得知時(shí)滯變化率而只知道系統(tǒng)的時(shí)滯范圍的情況因而對線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒鎮(zhèn)定問題進(jìn)行了研究通過利用lmi方法給出了系統(tǒng)魯棒控制器存在的充分條件克服了以往通過求解riccati方程或不等式時(shí)有大量的參數(shù)和正定矩陣需要預(yù)先調(diào)整的缺點(diǎn)并對結(jié)果進(jìn)行了仿真研究參考文獻(xiàn)1 俞立魯棒控制線性矩陣不等式處理方法m北京清華大學(xué)學(xué)研大廈清華大學(xué)出版社20021-20158-207 2 申鐵龍控制理論及應(yīng)用m北京清華大學(xué)校內(nèi)清華大學(xué)出版社1996年1-653 鐘麟王峰matlab仿真技術(shù)與應(yīng)用

43、教程m第二版北京國防工業(yè)出版社20044matlab建模與仿真m北京科學(xué)出版社20011-76145-1785 魏克新王云亮陳志敏高強(qiáng)matlab語言與自動控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)第二版m北京機(jī)械工業(yè)出版社200456-1236 張曉彤李紅利蘭立柱孫兆林不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定j石油化工高等學(xué)校學(xué)報(bào)20037 何熊熊王樹青王驥程線性不確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋的實(shí)際穩(wěn)定性j浙江大學(xué)學(xué)報(bào) 工學(xué)版 2000年第34卷 第2期8 lixsouza c e dcriteria for robust stability and stabilization of uncertain linear systems with

44、state delayj200133 9 1657-1662 9 nian xiaohongrobust stability for a tape of uncertain time-delay systemsj 2000vol21no410 郭麗梅羅大庸年曉紅不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)j長沙鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)2003年第21卷 第2期11 蔣培剛蘇宏業(yè)鍺健線性不確定時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯依賴魯棒鎮(zhèn)定方法研究jcontrol and decisionvol14 no212 邵克勇黃偉東于樹花高立群一類線性組合系統(tǒng)的穩(wěn)定性j大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào)第26卷 第1期13 yu lichu jianan lm

45、i approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systemsjautomalica199935 6 1155-115914 鄭連偉郭立山劉曉平具有狀態(tài)和控制時(shí)滯的不確定線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定j東北大學(xué)學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版 2001年第22卷 第3期致 謝歷時(shí)十五周的畢業(yè)設(shè)計(jì)結(jié)束了對于設(shè)計(jì)及論文的完成我要衷心感謝我的導(dǎo)師韓巍老師從論文選題到行文思路的具體安排研究以及論文初稿的寫作這期間韓老師都給予了我無比細(xì)致的指導(dǎo)在我的學(xué)習(xí)期間他是我獲得深思熟慮的意見和概念清晰的見解的來源他不惜花費(fèi)自己時(shí)間對本論文提出許多意見和

46、建議給了我持久不斷的鼓勵(lì)在寫作過程中韓老師經(jīng)常詢問我的寫作進(jìn)度和遇到的困難并及時(shí)幫我解決學(xué)習(xí)過程中遇到的難題幫我開拓思路轉(zhuǎn)換思維方式通過這次畢業(yè)設(shè)計(jì)使我從韓老師身上學(xué)到了許多專業(yè)方面的知識嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度動手能力教會了我許多在課堂上學(xué)不到的知識在此我表示最誠摯的謝意在學(xué)習(xí)期間和畢業(yè)設(shè)計(jì)期間我還得到了自動化系其它老師關(guān)愛和幫助受益良多是你們的不倦指導(dǎo)和熱情幫助伴我走過求學(xué)的四年在此我也要深深的謝謝你們另外在畢業(yè)設(shè)計(jì)論文的寫作過程中還得到了很多同學(xué)的幫助在此對他們表示感謝感謝所有關(guān)心過我支持過我的老師和同學(xué)本篇論文從選題初稿調(diào)試修改到最終的完成凝聚著我和多位老師的心血但畢竟學(xué)識有限理論功底不足在此懇

47、請各位老師和同學(xué)對本文的不足之處批評指正附 錄附錄 1matlab程序如下所示m文件a 0 1 00 -1 10 0 -5b 0 0 1e 03 0 00 03 00 0 03f 1 0 0 0 1 0 0 0 1i 1 0 00 1 0 0 0 1setlmis x lmivar 13 1 y lmivar 21 3 ew lmivar 21 1 lmiterm 1 1 1 x1as lmi 1 xaaxlmiterm 1 1 1 yb1s lmi 1 byyblmiterm 1 2 1 0einv x lmi 1 einv x lmiterm 1 2 2 ew51-is lmi 1 -ew

48、i non symmetric lmiterm 1 3 1 0f lmi 1 flmiterm 1 3 3 0-inv ew i lmi 1 -inv ew ilmiterm -2 1 1 x11 lmi 2 xlmiterm -3 1 1 ew11 lmi 3 ewss getlmislp kp feasp ss x dec2mat sskpx y dec2mat sskpy ew dec2mat sskpew p inv x k yinv x 附錄 2matlab程序如下所示m文件a -654 -578587 -666a1 -007 008-009 -007q 1 00 1b -0501e

49、 0006 -00040 -0004f 005 -003005 -007i 1 00 1setlmis x lmivar 12 1 y lmivar 21 2 ew lmivar 21 1 lmiterm 1 1 1 x1as lmi 1 xaaxlmiterm 1 1 1 yb1s lmi 1 byyblmiterm 1 2 1 0a1 lmi 1 a1lmiterm 1 2 2 0-q lmi 1 -qlmiterm 1 3 1 0e lmi 1 elmiterm 1 3 3 ew51-is lmi 1 -ewi non symmetric lmiterm 1 4 1 xf1 lmi 1

50、fxlmiterm 1 4 4 0-inv ew i lmi 1 -inv ew ilmiterm 1 5 1 x11 lmi 1 xlmiterm 1 5 5 0-inv q lmi 1 -inv q lmiterm -2 1 1 x11 lmi 2 xlmiterm -3 1 1 ew11 lmi 3 ewss1 getlmislp kp feasp ss1 x dec2mat ss1kpx y dec2mat ss1kpy ew dec2mat ss1kpew p inv x k yinv x 附錄 3matlab程序如下所示m文件a -758 -692699 -785a1 -005 0

51、06-007 -005q 1 00 1b -03 02e 0002 -00010 -0002f1 003 -0010025 -003f2 003 -02004 -003 i 1 0 0 1setlmis x lmivar 12 1 y lmivar 21 2 ew lmivar 21 1 lmiterm 1 1 1 x1as lmi 1 xaaxlmiterm 1 1 1 yb1s lmi 1 byyblmiterm 1 2 1 0a1 lmi 1 a1lmiterm 1 2 2 0-q lmi 1 -qlmiterm 1 3 1 xf11 lmi 1 f1xlmiterm 1 3 3 0-inv ew i lmi 1 -inv ew ilmiterm 1 4 1 x11 lmi 1 xlmiterm 1 4 4 0-inv q lmi 1 -inv q lmiterm 1 5 1 0e lmi 1 elmiterm 1 5 5 ew505-is lmi 1 -05ewi non symmetric lmiterm 1 6 2 0f2 lmi 1 f2lmiterm 1 6 6 0-inv ew i