上海交通大學(xué)本科學(xué)位課程 電路基礎(chǔ) 電路第5章_4

1、電路基礎(chǔ)電路基礎(chǔ) 第五章第五章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析 上海交通大學(xué)本科學(xué)位課程上海交通大學(xué)本科學(xué)位課程 2 動(dòng)態(tài)電路在原始狀態(tài)為零的情況下，僅由獨(dú)立動(dòng)態(tài)電路在原始狀態(tài)為零的情況下，僅由獨(dú)立 電源作為輸入激勵(lì)引起的響應(yīng)，稱電源作為輸入激勵(lì)引起的響應(yīng)，稱零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(zero- state response)。 (a)t 0- -時(shí)時(shí) (b)t 0+時(shí)時(shí) 一階一階RC電路在直流電壓源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)電路在直流電壓源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 一階電路在直流電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路在直流電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 3 SR

2、C uuu 根據(jù)換路后的電路可得根據(jù)換路后的電路可得 S d d C C u RCuu t 一階常系數(shù)線性非齊次微分方程一階常系數(shù)線性非齊次微分方程 微分方程的通解為微分方程的通解為 hpCCC uuu uCh為電路方程對應(yīng)的齊次微分方程的為電路方程對應(yīng)的齊次微分方程的通解通解 uCp 為非齊次微分方程的為非齊次微分方程的特解特解 / h ee stt RC C uKK 齊次微分方程的通解與零輸入相同齊次微分方程的通解與零輸入相同 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 4 非齊次微分方程的特解非齊次微分方程的特解uCp應(yīng)滿足電路方程，即應(yīng)滿足電路方程，即 p p d d C

3、 C u RCuU t pC uU 通常特解的形式與輸入激勵(lì)的形式有關(guān)。通常特解的形式與輸入激勵(lì)的形式有關(guān)。 S uU p ( ) CC uuU 通解為：通解為： / hp e t RC CCC uuuKU 根據(jù)初始值，確定積分常數(shù)根據(jù)初始值，確定積分常數(shù) 0 / (0 )e0 RC C uKUK U KU 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 5 零狀態(tài)響應(yīng)電容電壓為零狀態(tài)響應(yīng)電容電壓為 / e(1 e)( ) t RCt RC C uUUUt / S e( ) t RC RC uuuUt / e( ) t RC R uU it RR 或或 / / d d e( )(1

4、e)( ) e( ) C C t RCt RC t RC u iiC t U tCUt R U t R 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 6 波形表明，齊次解在換路后經(jīng)過波形表明，齊次解在換路后經(jīng)過 45時(shí)間，時(shí)間， 可以認(rèn)為已衰減結(jié)束，所以稱為可以認(rèn)為已衰減結(jié)束，所以稱為暫態(tài)暫態(tài)（或瞬態(tài)）分量（或瞬態(tài)）分量 (transient component)。 暫態(tài)分量的暫態(tài)分量的初始值初始值及其以后的任何瞬時(shí)值，是及其以后的任何瞬時(shí)值，是 和輸入電源有關(guān)的。但在隨時(shí)間變化的規(guī)律上講，和輸入電源有關(guān)的。但在隨時(shí)間變化的規(guī)律上講， 齊次解只取決于時(shí)間常數(shù)齊次解只取決于時(shí)間常數(shù)，

5、而時(shí)間常數(shù)僅由電路結(jié)，而時(shí)間常數(shù)僅由電路結(jié) 構(gòu)和元件參數(shù)決定，與輸入電源無關(guān)，因此也稱其構(gòu)和元件參數(shù)決定，與輸入電源無關(guān)，因此也稱其 為為自由分量。自由分量。 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 7 特解特解是電路趨于穩(wěn)定狀態(tài)后的響應(yīng)，稱為是電路趨于穩(wěn)定狀態(tài)后的響應(yīng)，稱為穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 (steady state component)；或認(rèn)為是輸入電源強(qiáng)迫其電；或認(rèn)為是輸入電源強(qiáng)迫其電 壓達(dá)到規(guī)定值，所以也稱為壓達(dá)到規(guī)定值，所以也稱為強(qiáng)制分量強(qiáng)制分量(forced component) 。 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)uC的瞬時(shí)值取決于電路的輸入，即的瞬時(shí)值取決于電路的輸入，即

6、 電壓源電壓電壓源電壓U和電路的時(shí)間常數(shù)和電路的時(shí)間常數(shù)。一旦電路已經(jīng)確。一旦電路已經(jīng)確 定，對于任意時(shí)刻定，對于任意時(shí)刻t t0， 為常數(shù)，瞬時(shí)值為常數(shù)，瞬時(shí)值 uC(t0)僅取決于輸入電壓僅取決于輸入電壓U，且滿足齊次性和可加性，且滿足齊次性和可加性 。這一性質(zhì)對任意線性電路都是成立的，即線性電。這一性質(zhì)對任意線性電路都是成立的，即線性電 路的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的路的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)線性函數(shù)。 0/ (1 e) t 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 8 從能量的角度看，從能量的角度看，電容電壓其儲能電容電壓其儲能為為 22 S 11 22 CC wCuCu

7、在充電過程中在充電過程中電阻消耗的總能量電阻消耗的總能量為為 2222 22 SS S 00 0 1 ded()e 22 tt RCRC R uuRC wRi ttCu RR 在充電過程中電阻消耗的總能量與電容最后在充電過程中電阻消耗的總能量與電容最后 所存儲的能量是相等的。所存儲的能量是相等的。 電壓源在充電過程中提供的總能量為電壓源在充電過程中提供的總能量為 2 CUwww RC 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 9 例：例：在圖示的電路中，開關(guān)在圖示的電路中，開關(guān)S一直閉合在位置一直閉合在位置a上。上。 一旦電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，開關(guān)立即閉合到位置一旦電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，開關(guān)立

8、即閉合到位置b，假設(shè)，假設(shè) 開關(guān)閉合到位置開關(guān)閉合到位置b的時(shí)間發(fā)生在的時(shí)間發(fā)生在t=0，試求零狀態(tài)響，試求零狀態(tài)響 應(yīng)應(yīng)i和和uL。 解解:圖示電路為具有直流圖示電路為具有直流 電壓輸入的電壓輸入的RL電路，所電路，所 求為零狀態(tài)響應(yīng)。求為零狀態(tài)響應(yīng)。 根據(jù)換路定律可得初始值根據(jù)換路定律可得初始值i(0+)= i(0- -)=0 根據(jù)基爾霍夫定律，得電路方程根據(jù)基爾霍夫定律，得電路方程 12 d () d i LRR iU t 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 10 12 d () d i LRR iU t 特征方程特征方程 12 ()0LsRR 特征根特征根 12

9、RR s L 方程的通解方程的通解 hp iii 穩(wěn)態(tài)分量（方程穩(wěn)態(tài)分量（方程特解特解） p 12 U i RR 暫態(tài)分量（方程暫態(tài)分量（方程齊次解齊次解）為）為 12 h e RR t L iK 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 11 12 ph 12 e RR t L U iiiK RR 12 U K RR 根據(jù)初始值根據(jù)初始值i(0+)= i(0- -)=0可得可得 12 12 1 e( ) RR t L U it RR 121212 0 12 d (e)( )(1 e)( )( e)( ) d RRRRRR tt LLL L iUU uLLttUt tLRR 5

10、.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 12 一階電路在正弦電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路在正弦電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)正弦電流源為設(shè)正弦電流源為 Sm cos()iIt 換路后以電容電壓換路后以電容電壓uC為響應(yīng)的電路方程為為響應(yīng)的電路方程為 m d1 cos() d C C u CuIt tR hpCCC uuu 方程的通解方程的通解 在正弦信號作用下的的穩(wěn)態(tài)分量在正弦信號作用下的的穩(wěn)態(tài)分量uCp是一個(gè)與輸入是一個(gè)與輸入 具有相同頻率的正弦量。具有相同頻率的正弦量。 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 13 其一般表達(dá)式為其一般表達(dá)式為 pm cos

11、() C uUt m mm sin()cos()cos() U CUttIt R 式中式中Um和和 都是待定常數(shù)都是待定常數(shù) 將上式代入電路方程得將上式代入電路方程得 m m 22 ()(1/ ) I U CR arctan RC 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 14 暫態(tài)分量暫態(tài)分量uCh h est C uK / m ecos() t RC C uKUt 根據(jù)根據(jù)uC(0+)= uC(0- -)=0可得可得 m (0 )cos0 C uK U m cosKU 正弦響應(yīng)電容電壓為正弦響應(yīng)電容電壓為 / mm (cos )ecos()( ) t RC C uUUtt

12、5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 15 / mm (cos )ecos()( ) t RC C uUUtt 上式表明，暫態(tài)分量的初值上式表明，暫態(tài)分量的初值uCh(0+)Umcos 與與 穩(wěn)態(tài)分量的初值穩(wěn)態(tài)分量的初值uCp(0+) Umcos 大小相等，方向相大小相等，方向相 反。由于穩(wěn)態(tài)分量的初值又與輸入電源的初相位有反。由于穩(wěn)態(tài)分量的初值又與輸入電源的初相位有 關(guān)，即與電源接入時(shí)間有關(guān)，所以穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)關(guān)，即與電源接入時(shí)間有關(guān)，所以穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài) 分量的初值都將隨電源輸入初相位的不同而不同。分量的初值都將隨電源輸入初相位的不同而不同。 （1）如果換路時(shí)）如果換路時(shí)

13、 90 ，則電源接入瞬間，電容電，則電源接入瞬間，電容電 壓穩(wěn)態(tài)分量的值為零，暫態(tài)分量的值也為零。這時(shí)壓穩(wěn)態(tài)分量的值為零，暫態(tài)分量的值也為零。這時(shí) 電容電壓響應(yīng)中沒有暫態(tài)分量，也就沒有過渡過程電容電壓響應(yīng)中沒有暫態(tài)分量，也就沒有過渡過程 。 （2）如果換路時(shí)）如果換路時(shí) 0 ，則，則 / mm ecos t RC C uUUt 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 16 一階電路的階躍響應(yīng)一階電路的階躍響應(yīng) 電路在單位階躍電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為電路在單位階躍電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單單 位階躍響應(yīng)位階躍響應(yīng)(unit step response)。單位階躍響應(yīng)常。單位

14、階躍響應(yīng)常 用符號用符號s(t)表示。表示。 根據(jù)圖示電路可得電根據(jù)圖示電路可得電 路方程為路方程為 S d1 d C C u Cui tR 根據(jù)根據(jù)uC(0+)= uC(0- -)=0 d1 1 d C C u Cu tR 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)uC為為 / ( )(1 e)( ) t RC C s tuRt 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 17 / ( )e( ) t RC CR itit / (1 e)( ) t RC C R u it R (a) (a)單位階躍波形單位階躍波形 (b)(b)電容電壓波形電容電壓波形 (c)(c)電容、電阻電流波形電容、電阻電

15、流波形 如果如果iS (t t0)，在線性非時(shí)變電路中，激勵(lì)延遲，在線性非時(shí)變電路中，激勵(lì)延遲t0 ，響應(yīng)，響應(yīng)也延遲也延遲t0。此時(shí)對延遲單位階躍。此時(shí)對延遲單位階躍 (t t0)的電的電 容電壓響應(yīng)為容電壓響應(yīng)為 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 18 0 ()/ 0 1 e() t tRC C uRtt 電容電流、電阻電流分別為電容電流、電阻電流分別為 0 ()/ 0 1 e() t tRC R itt 0 ()/ 0 e() t tRC C itt 電路的這種性質(zhì)稱為線性非時(shí)變電路的非時(shí)變特電路的這種性質(zhì)稱為線性非時(shí)變電路的非時(shí)變特 性，也稱為性，也稱為延遲特性

16、延遲特性。 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 19 例例 :在圖在圖(a)所示所示RL電路中，電壓源輸出為如圖電路中，電壓源輸出為如圖(b) 所示的脈沖電壓，開關(guān)所示的脈沖電壓，開關(guān)S在在t=0時(shí)由位置時(shí)由位置a閉合到位閉合到位 置置b，試求零狀態(tài)響應(yīng)，試求零狀態(tài)響應(yīng)i。 解：解：圖圖(b)所示脈沖電壓可表示為所示脈沖電壓可表示為 S0 ( ) ()uUttt (a) (b) 單位階躍響應(yīng)回路電流為單位階躍響應(yīng)回路電流為 ( / ) 1 ( )( )1 e( ) R L t s ti tt R 延遲單位階躍延遲單位階躍 (t t0)響應(yīng)回路電流為響應(yīng)回路電流為 0 (

17、/ )() 000 1 ()()1 e() R L t t s tti tttt R 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 20 根據(jù)線性非時(shí)變電路的齊根據(jù)線性非時(shí)變電路的齊 次性、可加性和非時(shí)變特性次性、可加性和非時(shí)變特性 ，可得，可得 0 () 00 ( )()(1 e)( )1 e() RR tt t LL UU iU s ts ttttt RR 例：例：在圖在圖(a)所示電路中，所示電路中，R=2 ，L1=1H， L2=5H，M=2H，uS=10 (t)V，試求階躍響應(yīng)試求階躍響應(yīng)i0、 u0、i1和和 i2。 (a) 解：解：根據(jù)題意根據(jù)題意 有有i0(0+) i

18、0(0- -) 0 等效電感等效電感 2 12 eq 12 0.5H 2 L LM L LLM 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 21 由圖由圖(b)可得電路方程為可得電路方程為 (a)(b) 0 eq0S d d i LRiu t 0 0 d1 210 2 d i i t 4 0h e t iK 齊次解為齊次解為 S 0p 5 u i R 特解為特解為 根據(jù)根據(jù)i0(0+) i0(0- -) 0 可得可得K=5 4 0 5(1 e)( )A t it 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 22 4 0S0 10e( )V t uuRit 根據(jù)根據(jù)K

19、VL可得可得 由圖由圖(a)所示電路有所示電路有 1212 12 dddd dddd iiii LMML tttt 12 dd 3 dd ii tt 根據(jù)根據(jù)KCL，i0= i1+i2，則有，則有 012 ddd ddd iii ttt 4 2 d 20e2 d t i t 由于由于i2(0)=0，有，有 44 2 0 10e d2.5(1 e)(t)A t tt it 4 102 7.5(1e)(t)A t iii 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 23 一階電路的沖激響應(yīng)一階電路的沖激響應(yīng) 電路在單位沖激電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為電路在單位沖激電源激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

20、稱為 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)(unit impulse response)。單位沖激。單位沖激 響應(yīng)常用符號響應(yīng)常用符號h(t)表示。表示。 一、一、RC并聯(lián)電路的沖激響應(yīng)并聯(lián)電路的沖激響應(yīng) 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)uC的電路方程的電路方程 為為 S d1 d C C u Cui tR 由于在由于在t 0+時(shí)沖激函數(shù)時(shí)沖激函數(shù)(t)恒等于零，所以可把沖恒等于零，所以可把沖 激響應(yīng)理解為是起始于激響應(yīng)理解為是起始于t=0+的零輸入響應(yīng)，而引起的零輸入響應(yīng)，而引起 這個(gè)零輸入響應(yīng)的是這個(gè)零輸入響應(yīng)的是t=0瞬間的沖激瞬間的沖激(t)在在t=0+時(shí)建立時(shí)建立 的電路的初始狀態(tài)的電路的初始狀態(tài)uC(

21、0+)。 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 24 對電路方程的兩邊從對電路方程的兩邊從t= 0- -到到t=0+進(jìn)行積進(jìn)行積 分分 000 000 d1 d( )d d C C u Cdtuttt tR 0 0 1 (0 )(0 )d1 CCC CuCuut R S d1 d C C u Cui tR 求求uC(0+): 1 (0 ) C u C 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 25 當(dāng)當(dāng)t 0+ 時(shí)，單位沖激時(shí)，單位沖激 (t)=0，電路成為由電容初始電路成為由電容初始 值值uC(0+)=1/C引起的零輸入響應(yīng)。此時(shí)的電路方程引起的零輸入響應(yīng)

22、。此時(shí)的電路方程 為為 d1 0 d C C u Cu tR 方程的解方程的解 為為 / 1 ( )e( ) t RC C h tut C / 1 e( ) t RC C R u it RRC / d1 ( )e( ) d t RC C C u iCtt tRC 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 26 RL串聯(lián)電路的沖激響應(yīng)串聯(lián)電路的沖激響應(yīng) 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)iL的電路方程為的電路方程為 d ( ) d L L i LRit t 求求iL(0+) 000 000 d dd( )d d L L i LtRi ttt t 1 (0 ) L i L ( / ) 1 (

23、 )e( ) R L t L h tit L ( / ) d ( )e( ) d R L t L L iR uLtt tL 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 27 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系 由第一章可知，由第一章可知，沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，階沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，階 躍函數(shù)是沖激函數(shù)的積分躍函數(shù)是沖激函數(shù)的積分 一個(gè)線性電路的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)之間也存在類似的關(guān)系一個(gè)線性電路的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)之間也存在類似的關(guān)系 d ( ) ( ) d s t h t t ( )( )d t s th 或或 所以在已知電路階躍響應(yīng)的情況下，可對其求所以

24、在已知電路階躍響應(yīng)的情況下，可對其求 導(dǎo)來獲得沖激響應(yīng)；在已知電路沖激響應(yīng)的情況下導(dǎo)來獲得沖激響應(yīng)；在已知電路沖激響應(yīng)的情況下 ，可對其積分來求得階躍響應(yīng)。，可對其積分來求得階躍響應(yīng)。 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 28 例例 ：在圖在圖(a)電路中，電路中，uC(0- -)=0，C=2F，R=1 ，電流電流 源波形如圖源波形如圖(b)所示，試求所示，試求uC。 (a) (b) 解解: RC并聯(lián)電路單位沖激響應(yīng)為并聯(lián)電路單位沖激響應(yīng)為 / 1 ( )e( ) t RC h tt C 根據(jù)線性非時(shí)變電路的齊次性根據(jù)線性非時(shí)變電路的齊次性 、可加性和非時(shí)變特性，響應(yīng)、可

25、加性和非時(shí)變特性，響應(yīng) uC為為 2 54 5 ( ) 4 (2)e( )e(2) tt RCRC C uh th ttt CC 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 29 /2(2)/2 1(2)/2 (2)/2 2( )2.5e2e (2.5e2)e 1.08e tt C t t tu t 代入已知參數(shù)，并分段表示為代入已知參數(shù)，并分段表示為 /2 022.5e t C tu 2 54 5 ( ) 4 (2)e( )e(2) tt RCRC C uh th ttt CC 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 30 對任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)（卷積積分）對

26、任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)（卷積積分） 線性非時(shí)變電路對輸入為任意波形線性非時(shí)變電路對輸入為任意波形f(t)的零狀的零狀 態(tài)響應(yīng)，總可借助于電路的沖激響應(yīng)態(tài)響應(yīng)，總可借助于電路的沖激響應(yīng)h(t)，采用卷，采用卷 積積分的方法求取。積積分的方法求取。 a 1 0 ( )( )(0)( )( )() ()()()() n k f tf tfp tfp t f kp tkf kp tk 于是對于每一個(gè)脈沖輸入于是對于每一個(gè)脈沖輸入p (t k ) ，都可求得相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)都可求得相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng) h (t k ) 應(yīng)用線性非時(shí)變電路的齊次性、可加性和非應(yīng)用線性非時(shí)變電路的齊次性、可加性和非 時(shí)變特性，可

27、以得到脈沖序列時(shí)變特性，可以得到脈沖序列fa(t)作用于電路的零作用于電路的零 狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng)ya (t)為為 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 31 1 a 0 ( )()() n k y tf kh tk aa 0)( )( )( )( )nf tf ty ty t（即， 0 ( )( ) ()d t y tfh t 這個(gè)積分稱為這個(gè)積分稱為卷積積分卷積積分(convolution integral)， 簡稱卷積簡稱卷積(convolution)。 卷積積分可簡寫成卷積積分可簡寫成( )( )( )y tf th t 0 ( )( ) ()d( )( )( ) t

28、 y thf th tf t 卷積積分滿足交換律卷積積分滿足交換律 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 32 1 0 )()()( n k kOa tthkfty 只要取只要取n便可以從便可以從y0a()轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為y0()。這是因?yàn)?。這是因?yàn)閚 時(shí)，時(shí)，0。從而有：。從而有： 1fa()f() 2p ( ) () 3h ( )h() 4y0a()y0() 可得：可得： 0) () ()( 0 tdttthtfty t t O 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 33 0) () ()( 0 tdttthtfty t t O 在數(shù)學(xué)中，兩個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)

29、中，兩個(gè)函數(shù)f1(t)和和f2(t)的卷積多簡記成的卷積多簡記成： 0 1212 * t t ftfttftft 交換律：交換律：f1(t)*f2(t)= f2(t)*f1(t) 分配律：分配律：f1(t)* f2(t)+f3(t)= f1(t)*f2(t)+ f1(t)*f3(t) 結(jié)合律：結(jié)合律：f1(t)*f2(t)* f3(t)= f1(t)*f2(t)*f3(t) 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 34 0 01 1 1 1 2 2 is(t)is(t) tt 2 2 0 01 1 1 1 2 2 h(t)h(t) tt 2 2 例題例題：假定某個(gè)線性定常電路

30、在：假定某個(gè)線性定常電路在t=0t=0時(shí)刻接入如圖時(shí)刻接入如圖(a)(a) 所式的輸入波形所式的輸入波形isis（t t），電路的沖擊響應(yīng)），電路的沖擊響應(yīng)h(t)h(t)如圖如圖 (b)(b)所示，試求零狀態(tài)響應(yīng)所示，試求零狀態(tài)響應(yīng)v(t).v(t). 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 35 -1-1 1 1 0 0 h(-t)h(-t) tt 2 2 1 1 0 01 1 1 1 2 2 is(t)is(t) tt 2 2 -1-10 0 h(-t)h(-t) tt 2 2 1 1 2 2 0t10t1 t sO dttthtity 0 ) ()()( t dttt 0 2) (21 tt22 2 22) (tth 5.2 5.2 一階電路一階電路(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)) 36 -1-10 0 h(-t)h(-t) tt 2 2 1 1 2 2 -1-10 0 h(-t)h(-t) tt 2 2 1 1 2 2 t t dtttty 1 0 2)