《數(shù)字信號(hào)處理》課程設(shè)計(jì)說明書DFT對(duì)稱性的驗(yàn)證及以應(yīng)用

1、武漢理工大學(xué)數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)說明書課程設(shè)計(jì)任務(wù)書學(xué)生姓名： 專業(yè)班級(jí)： 電信0801 指導(dǎo)教師： 工作單位： 信息工程學(xué)院 題 目：dft對(duì)稱性的驗(yàn)證及以應(yīng)用初始條件： 具備數(shù)字信號(hào)處理的理論知識(shí)；具備matlab編程能力；了解dft的對(duì)稱原理及應(yīng)用；提供編程所需要的計(jì)算機(jī)一臺(tái)要求完成的主要任務(wù)：（包括課程設(shè)計(jì)工作量及其技術(shù)要求，以及說明書撰寫等具體要求）1、獨(dú)立編寫程序驗(yàn)證dft的對(duì)稱性2、用dft的對(duì)稱性用一次fft實(shí)現(xiàn)兩個(gè)序列的fft變換3、完成符合學(xué)校要求的設(shè)計(jì)說明書時(shí)間安排：一周，其中3天程序設(shè)計(jì)，2天程序調(diào)試指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日系主任（或責(zé)任教師）簽名： 年 月 日目 錄

2、摘要i1 dft基礎(chǔ)知識(shí)11.1離散傅立葉變換（dft）定義1 1.2復(fù)共軛序列的dft 11.3 dft的共軛對(duì)稱性21.3.1有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列21.3.2共軛對(duì)稱性分析32程序設(shè)計(jì)與分析62.1 n點(diǎn)dft對(duì)稱性的驗(yàn)證6 2.1.1程序流程圖62.1.2程序編寫與結(jié)果分析72.2用一次fft實(shí)現(xiàn)兩個(gè)序列的dft 132.2.1程序流程圖.132.2.2程序編寫與結(jié)果分析133 課程設(shè)計(jì)心得體會(huì)16參考文獻(xiàn)17摘 要有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理是很重要的一種序列，反映它的有限長特點(diǎn)的一種有用工具是離散傅里葉變換(dft)。離散傅里葉變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示法在理論

3、上相當(dāng)重要之外，而且由于存在著計(jì)算離散傅里葉變換的有效快速算法，因而離散傅里葉變換在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。而離散傅立葉變換的對(duì)稱性，在求實(shí)序列的離散傅立葉變換中有重要作用?？梢詫?shí)現(xiàn)一次dft的計(jì)算得到兩個(gè)序列dft的高效算法，而dft可以通過一次快速fft變換來實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：dft 共軛對(duì)稱性 matlab 1 dft基礎(chǔ)知識(shí)1.1離散傅立葉變換（dft）定義有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理是很重要的一種序列，當(dāng)然可以用z變換和傅里葉變換來研究它，但是，可以導(dǎo)出反映它的有限長特點(diǎn)的一種有用工具是離散傅里葉變換(dft)。離散傅里葉變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示法在理論上相當(dāng)重

4、要之外，而且由于存在著計(jì)算離散傅里葉變換的有效快速算法，因而離散傅里葉變換在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。設(shè)x(n)是一個(gè)長度為m的有限長序列，則定義x(n)的n點(diǎn)離散傅里葉變換為：正變換：=dft = = 反變換：=idft= 或rn(k)rn(k)x(n)= rn(n) =rn(n)式中，n稱為dft變換區(qū)間長度，nm。dft隱含有周期性。1.2復(fù)共軛序列的dft設(shè)是的復(fù)共軛序列，長度為n，則（1）已知dft則 dft= 且（2）已知dft則 dft= 1.3 dft的共軛對(duì)稱性dft有對(duì)稱性，但由于dft中討論的序列及其離散傅立葉變換均為有限長序列，且定義區(qū)間為0到n-1，所以

5、這里的對(duì)稱性是指關(guān)于n/2點(diǎn)的對(duì)稱性。下面討論dft的共軛對(duì)稱性質(zhì)。1.3.1 有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列長度為的有限長序列,若滿足 , （1.1） 稱序列為共軛對(duì)稱序列，一般用來表示。若滿足 , （1.2）稱序列為共軛反對(duì)稱序列，一般用來表示即=, 0nn-1=, 0nn-1當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，把 代入式（1.1）與式（1.2），得 , （1.3）, （1.4） 式（1.3）與式（1.4）說明共軛對(duì)稱序列與其共軛序列以成偶對(duì)稱，共軛反對(duì)稱序列與其共軛序列以成奇對(duì)稱。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，把 代入式（1.1）與式（1.2），得 , （1.6） , （1.6） 式（1.5）與式（1.6）說明共軛對(duì)稱

6、序列與其共軛序列以成偶對(duì)稱，共軛反對(duì)稱序列與其共軛序列以成奇對(duì)稱。設(shè)一長度為的有限長序列，令則有 （1.7）這說明任一有限長序列，都表示成一個(gè)共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列的和，在頻域下同樣有類似結(jié)論 （1.8）式中 （1.9） （1.10）1.3.2 共軛對(duì)稱性分析（1）當(dāng)x(n)為長度n的復(fù)數(shù)序列時(shí),有 = = (1.11)同理可得 (1.12)即式（1.11）和（1.12）說明復(fù)數(shù)序列實(shí)數(shù)部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛對(duì)稱分量；復(fù)書序列虛數(shù)部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅里葉變換的共軛反對(duì)稱分量。另一方面，由式（1.7）知有限長序列可分解為共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分

7、量，即=+ 可得其離散傅立葉變換 = （1.13）同理可得 = （1.14）即上面兩式說明復(fù)序列共軛對(duì)稱分量序列的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分；復(fù)序列共軛對(duì)稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數(shù)部分。綜上可得到有限長復(fù)序列的dft 的共軛對(duì)稱性質(zhì)如下將有限長序列x(n)分成實(shí)部與虛部，即： 則：將有限長序列x(n)分成共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分，即=+，則：（2）當(dāng)x(n)為長度n的實(shí)數(shù)序列或純虛數(shù)序列時(shí),有當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，則 又據(jù))的對(duì)稱性：有當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí)，則 又據(jù))的對(duì)稱性：有 離散傅立葉變換的對(duì)稱性，在求實(shí)序列的離散傅立葉變換中有重要作

8、用。例如，有兩個(gè)實(shí)數(shù)序列和，為求其離散傅立葉變換，可以分別用和作為虛部和實(shí)部構(gòu)造一個(gè)復(fù)數(shù)序列x(n)，求出x(n)的離散傅立葉變換，然后根據(jù)式（1.9）和（1.10）得到的共軛對(duì)稱分量和，分別對(duì)應(yīng)和，從而實(shí)現(xiàn)一次dft的計(jì)算可得到兩個(gè)序列dft的高效算法。而dft可以通過一次快速fft變換來實(shí)現(xiàn)。2程序設(shè)計(jì)與分析本次課設(shè)計(jì)分兩個(gè)部分，一個(gè)是要驗(yàn)證n點(diǎn)的dft的對(duì)稱性，另一個(gè)是要用一次快速傅立葉變換fft實(shí)現(xiàn)兩個(gè)序列的dft2.1 n點(diǎn)dft對(duì)稱性的驗(yàn)證2.1.1程序流程圖由于函數(shù)ezplot只能畫出既存在symbolic math toolbox中又存在于總matlab工具箱中的函數(shù)，而ged

9、c（實(shí)信號(hào)分解為循環(huán)偶分量和循環(huán)奇分量）和dft(計(jì)算離散付利葉變換)僅存在symbolic math toolbox中，因此需要在自己的工作目錄work下創(chuàng)建。此后可以直接調(diào)用這些函數(shù)。n點(diǎn)的dft的對(duì)稱性驗(yàn)證流程圖如圖2-1所示開始求x序列的共軛對(duì)稱與反對(duì)稱分量畫出共軛對(duì)稱與反對(duì)稱分量圖形求出x(k)，xep，xop畫出real(x(k) ),imag(x(k) )，xep，xop的圖形xep結(jié)束圖2-1 驗(yàn)證對(duì)稱性流程圖輸入x序列n=0:n-12.1.2 程序編寫與結(jié)果分析首先在目錄work下創(chuàng)建gedc的m文件，gedc的m文件是用來生成共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量的，程序如下：fun

10、ction xec,xoc=gedc(x);n=length(x); n=0:(n-1); xec=0.5*(x + x(mod(-n,n)+1); xoc=0.5*(x - x(mod(-n,n)+1);再是在目錄work下創(chuàng)建dft的m文件，dft為離散傅立葉變換，程序如下：function xk=dft(xn,n);n=0:1:n-1;k=0:1:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=xn*wnnk;主程序：（1） n=12，序列為x=2.5 0 1.6 -3 -2 2 1.6 -3 -1 4 4.5 -2 的程序設(shè)計(jì)與結(jié)果分析程序：fig

11、ure(1)n=0:11;x=input(請(qǐng)輸入序列x=);xep,xop=gedc(x);subplot(2,1,1);stem(n,xep);title(共軛對(duì)稱分量)xlabel(n);ylabel(xep);axis(-0.5,12.5,-3,4);subplot(2,1,2);stem(n,xop);title(共軛反對(duì)稱分量);xlabel(n);ylabel(xop);axis(-0.5,12.5, -4,4);figure(2)x=dft(x,12) ;xep=dft(xep,12);xop=dft(xop,12);subplot(2,2,1);stem(n,real(x);a

12、xis(-0.5,12.5,-10,10);title( real(x);xlabel(k);subplot(2,2,2);stem(n,imag(x);axis(-0.5,12.5,-17,17);title( imag(x);xlabel(k);subplot(2,2,3);stem(n,xep);axis(-0.5,12.5, -10,10);title(dftxep(n);xlabel(k);subplot(2,2,4);stem(n,imag(xop);axis(-0.5,12.5,-17,17);title(dftxop(n);xlabel(k);結(jié)果：圖2-2 共軛對(duì)稱分量與共軛

13、反對(duì)稱分量圖2-3 對(duì)稱性的驗(yàn)證圖形分析：從圖2-3可以看出復(fù)數(shù)序列實(shí)數(shù)部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛對(duì)稱分量；復(fù)數(shù)序列虛數(shù)部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛反對(duì)稱分量。復(fù)序列共軛對(duì)稱分量序列的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分；復(fù)序列共軛反對(duì)稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數(shù)部分。從而驗(yàn)證了dft的對(duì)稱性。（2）n=14，序列為 x=(1.2).n 的程序設(shè)計(jì)與結(jié)果分析程序：figure(1)n=0:13;x=input(請(qǐng)輸入序列x=);xep,xop=circevod(x);subplot(2,1,1);stem(n,x

14、ep);title(共軛對(duì)稱分量)xlabel(n);ylabel(xep);axis(-0.5,14.5,0,7);subplot(2,1,2);stem(n,xop);title(共軛反對(duì)稱分量);xlabel(n);ylabel(xop);axis(-0.5,14.5,-6,6);figure(2)x=dft(x,14) ;xep=dft(xep,14);xop=dft(xop,14);subplot(2,2,1);stem(n,real(x);axis(-0.5,14.5,-13,6);title( real(x);xlabel(k);subplot(2,2,2);stem(n,ima

15、g(x);axis(-0.5,14.5,-25,25);title(imag(x);xlabel(k);subplot(2,2,3);stem(n,xep);axis(-0.5,14.5,-13,6);title(dftxep(n);xlabel(k);subplot(2,2,4);stem(n,imag(xop);axis(-0.5,14.5,-25,25);title(dftxop(n);xlabel(k);結(jié)果：圖2-4 共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量圖2-5 對(duì)稱性的驗(yàn)證圖形分析：從圖2-5可以看出復(fù)數(shù)序列實(shí)數(shù)部分的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛對(duì)稱分量；復(fù)數(shù)序列虛數(shù)部分的

16、離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的共軛反對(duì)稱分量。復(fù)序列共軛對(duì)稱分量序列的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分；復(fù)序列共軛反對(duì)稱分量的離散傅立葉變換是原來序列離散傅立葉變換的虛數(shù)部分。從而驗(yàn)證了dft的對(duì)稱性。2.2 用一次fft實(shí)現(xiàn)兩個(gè)序列的dft2.2.1 程序流程圖一次快速傅立葉變換fft實(shí)現(xiàn)兩個(gè)序列的dft流程圖如圖2-5所示。開始輸入x=+j調(diào)用fft函數(shù)得到和結(jié)束圖2-6 一次fft變換實(shí)現(xiàn)兩序列的dft2.2.2 程序編寫與結(jié)果分析程序： x1=input(請(qǐng)輸入序列x1=);x2=input(請(qǐng)輸入序列x2=);n=input(請(qǐng)輸入n=);x=x1+j*x2

17、;x=fft(x,n);k=0:n-1;c=conj(x);xep=0.5*(x+ c(mod(-k,n)+1);xop=-j*0.5*(x- c(mod(-k,n)+1);x1=xepx2=xopsubplot(2,1,1);stem(k,x1);xlabel(k);ylabel(x1);axis(-0.5,7.5,-10,40);subplot(2,1,2);stem(k,x2);xlabel(k);ylabel(x2);axis(-0.5,7.5,-10,40);結(jié)果：當(dāng)運(yùn)行程序時(shí)，會(huì)出現(xiàn)提示，按提示輸入x1=1 3 5 2 4 6 3 5 2 6，x2=1 2 3 4 5 -5 -4

18、-3 -2 -1，n=10,程序運(yùn)行結(jié)果如下：x1和x2分別為x1,x2的離散傅立葉變換，x1和x2的圖形如圖2-7所示圖2-7 x1和x2的離散傅立葉變換當(dāng)直接調(diào)用dft時(shí)，程序運(yùn)行結(jié)果和上面的是相同的，從而實(shí)現(xiàn)了用一次fft實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)序列的dft。 3 課程設(shè)計(jì)心得體會(huì)本次課程設(shè)計(jì)主要是運(yùn)用本學(xué)期所學(xué)到的數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)知識(shí)來設(shè)計(jì)一個(gè)符合要求的matlab程序來進(jìn)行dft對(duì)稱性的驗(yàn)證以及應(yīng)用，本次設(shè)計(jì)不僅要求我們要掌握數(shù)字信號(hào)處理課程的基礎(chǔ)知識(shí)，還要求我們對(duì)matlab編程有深刻的理解和掌握。用新的語言去解決工程問題根本不需要先掌握某一門語言，有效的方法是先了解那門語言的一些基本函數(shù)，然后熟悉界面，就可以開始編了。拿到一個(gè)課題，不要急于坐在電腦前開始編程，因?yàn)楫?dāng)你坐在電腦前都不知道該干什么時(shí)，你就是對(duì)課題了解得不夠。你首先需要的是透徹分析課題，把你要解決的問題寫下來和列出各種可能情況。接下來，就考慮看用什么樣的算法去解決，等到這一切都定下來后就可以開始著手編程了，如果你