第二章運(yùn)算方法和運(yùn)算器3

1、2.2 定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算 2.2.1 補(bǔ)碼加法補(bǔ)碼加法 x+y補(bǔ) 補(bǔ)=x補(bǔ)補(bǔ)+ y補(bǔ)補(bǔ) (1) x0, y0 (2) x0, y0 (3) x0 (4) x0, yx0 x補(bǔ) 補(bǔ)= (mod 2) 2+x=2-|x| 0 x -1 x補(bǔ) 補(bǔ)= 2+x x補(bǔ) 補(bǔ)+ y補(bǔ)補(bǔ)= x+ y補(bǔ)補(bǔ) 注意：注意： 補(bǔ)碼表示與補(bǔ)碼表示與求補(bǔ)求補(bǔ)是兩個(gè)不同的概念！是兩個(gè)不同的概念！ 反碼表示與反碼表示與取反取反同樣是兩個(gè)不同的概念！同樣是兩個(gè)不同的概念！ 證明：證明：-x補(bǔ) 補(bǔ)= x補(bǔ)補(bǔ)求補(bǔ)求補(bǔ)習(xí)題 習(xí)題P8-4 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)：時(shí)： x補(bǔ) 補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)=2+(2+x)=x (mod 2) 而而-x

2、補(bǔ) 補(bǔ)=2+(-x)=2-|-x|=2-x (mod 2) x補(bǔ) 補(bǔ)求補(bǔ)求補(bǔ)= 2+x(mod 2)求補(bǔ)求補(bǔ)=x求補(bǔ)求補(bǔ) =x+1未位未位 而而 -x補(bǔ) 補(bǔ)=2+(-x)=2-x =x+1未位未位 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)：時(shí)： -x補(bǔ) 補(bǔ)=2+(-x)=|x| (mod 2) x補(bǔ) 補(bǔ)求補(bǔ)求補(bǔ)=2+x求補(bǔ)求補(bǔ)=x (mod 2) =2-|x|求補(bǔ) 求補(bǔ) =2-(2-|x|) =2-2+|x| =|x| 證明：證明：-y補(bǔ) 補(bǔ)= -y補(bǔ)補(bǔ) x-y補(bǔ) 補(bǔ)= x+(-y)補(bǔ)補(bǔ)= x補(bǔ)補(bǔ)+ -y補(bǔ)補(bǔ) = x補(bǔ) 補(bǔ) -y補(bǔ)補(bǔ) x+y補(bǔ) 補(bǔ)= x補(bǔ)補(bǔ)+ y補(bǔ)補(bǔ) x-y補(bǔ) 補(bǔ)+ x+y補(bǔ)補(bǔ)= x補(bǔ)補(bǔ)+ x補(bǔ)補(bǔ)+ y補(bǔ)

3、補(bǔ)+-y補(bǔ)補(bǔ) x-y+ x+y補(bǔ) 補(bǔ)= x補(bǔ)補(bǔ)+ x補(bǔ)補(bǔ)+ y補(bǔ)補(bǔ)+-y補(bǔ)補(bǔ) y補(bǔ) 補(bǔ)+-y補(bǔ)補(bǔ)=0 -y補(bǔ) 補(bǔ)= -y補(bǔ)補(bǔ) 例例15與例與例16 0.1011 1.0011 + 0.1001 + 1.0101 1.0100 0.1000 上溢與下溢上溢與下溢 溢出：溢出： 1、兩正數(shù)相加結(jié)果為負(fù)、兩正數(shù)相加結(jié)果為負(fù) 2、兩負(fù)數(shù)相加結(jié)果為正、兩負(fù)數(shù)相加結(jié)果為正 “變形補(bǔ)碼變形補(bǔ)碼”或或“模模4補(bǔ)碼補(bǔ)碼” 20 補(bǔ)補(bǔ) 4 02 補(bǔ)補(bǔ) 4 (mod 4) 請(qǐng)注意請(qǐng)注意“變形補(bǔ)碼變形補(bǔ)碼”的取值范圍：的取值范圍： 20 10 02 01 變形補(bǔ)碼的意義是增加了一位變形補(bǔ)碼的意義是增加了一位 符號(hào)位，

4、在正常情況下兩符號(hào)符號(hào)位，在正常情況下兩符號(hào) 位是相同的。位是相同的。 溢出的判別可通過(guò)溢出的判別可通過(guò) VSf1 Sf2 來(lái)實(shí)現(xiàn)。來(lái)實(shí)現(xiàn)。 采用單符號(hào)位，利用采用單符號(hào)位，利用VCf Co來(lái)檢測(cè)溢出；來(lái)檢測(cè)溢出； 當(dāng)兩操作數(shù)均大于當(dāng)兩操作數(shù)均大于0時(shí)，符號(hào)位一定沒(méi)有進(jìn)位，此時(shí)如時(shí)，符號(hào)位一定沒(méi)有進(jìn)位，此時(shí)如 最高數(shù)據(jù)位有進(jìn)位則一定溢出；最高數(shù)據(jù)位有進(jìn)位則一定溢出； 當(dāng)兩操作數(shù)均小于當(dāng)兩操作數(shù)均小于0時(shí)，符號(hào)位一定有進(jìn)位，此時(shí)如最時(shí)，符號(hào)位一定有進(jìn)位，此時(shí)如最 高數(shù)據(jù)位沒(méi)有進(jìn)位則一定溢出；高數(shù)據(jù)位沒(méi)有進(jìn)位則一定溢出； 當(dāng)兩操作數(shù)為一正一負(fù)時(shí)，最高數(shù)據(jù)位如有進(jìn)位則符號(hào)當(dāng)兩操作數(shù)為一正一負(fù)時(shí)，最高

5、數(shù)據(jù)位如有進(jìn)位則符號(hào) 位一定有進(jìn)位，最高數(shù)據(jù)位如沒(méi)有進(jìn)位則符號(hào)位一定位一定有進(jìn)位，最高數(shù)據(jù)位如沒(méi)有進(jìn)位則符號(hào)位一定 沒(méi)有進(jìn)位，不會(huì)產(chǎn)生溢出。沒(méi)有進(jìn)位，不會(huì)產(chǎn)生溢出。 注意：注意： 溢出并不一定是出錯(cuò)，在有些情況下溢出是正常的，比溢出并不一定是出錯(cuò)，在有些情況下溢出是正常的，比 如在進(jìn)行乘、除法運(yùn)算時(shí)經(jīng)常要進(jìn)行加、減法與移位如在進(jìn)行乘、除法運(yùn)算時(shí)經(jīng)常要進(jìn)行加、減法與移位 操作的交替實(shí)現(xiàn)；此時(shí)出現(xiàn)的溢出往往會(huì)在隨后的右操作的交替實(shí)現(xiàn)；此時(shí)出現(xiàn)的溢出往往會(huì)在隨后的右 移操作中消失，因此不影響運(yùn)算結(jié)果的正確性。移操作中消失，因此不影響運(yùn)算結(jié)果的正確性。 Si AiBiCiAiBiCi AiBiCiAi

6、BiCi (AiBi AiBi)Ci (AiBi AiBi)Ci (Ai Bi) Ci (Ai Bi) Ci Ai Bi Ci Ci 1 AiBiBiCiCiAi AiBi (Ai Bi) Ci AiBi (Ai Bi) Ci AiBi (Ai Bi Ai Bi Ai Bi Ai Bi ) Ci AiBi Ai Bi Ci (Ai Bi Ai Bi) Ci AiBi (Ai Bi) Ci AiBi (Ai Bi) Ci 表表2.2 一位全加器真值表一位全加器真值表 SiAi Bi Ci Ci 1 AiBiBiCiCiAi AiBi(Ai Bi) Ci AiBi(Ai Bi) Ci AiBi(A

7、i Bi) Ci 輸入輸入輸出輸出 AiBiCiSiCi 1 00000 00110 01010 01101 10010 10101 11001 11111 一位全加器一位全加器(FA)單元單元 n位的行波進(jìn)位加法器的時(shí)間延遲位的行波進(jìn)位加法器的時(shí)間延遲 tan2T9T(2n9)T ta(n-1)2T9T 十進(jìn)制加法器可十進(jìn)制加法器可 由由BCD碼碼(二二 十進(jìn)制碼十進(jìn)制碼)來(lái)設(shè)來(lái)設(shè) 計(jì)計(jì),它可以在二它可以在二 進(jìn)制加法器的基進(jìn)制加法器的基 礎(chǔ)上加上適當(dāng)?shù)牡A(chǔ)上加上適當(dāng)?shù)?“校正校正”邏輯來(lái)邏輯來(lái) 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn),該校正邏該校正邏 輯可將二進(jìn)制的輯可將二進(jìn)制的 “和和”改變成所改變成所 要求的十進(jìn)制格

8、要求的十進(jìn)制格 式。式。 1010 A 1 0000 1011 B 1 0001 1100 C 1 0010 1101 D 1 0011 1110 E 1 0100 1111 F 1 0101 1010 A 1 0000 1011 B 1 0001 1100 C 1 0010 1101 D 1 0011 1110 E 1 0100 1111 F 1 0101 S3S2+S3S1 S1S0 S3S2 00011110 000000 010000 111111 100011 2.3 定點(diǎn)乘法運(yùn)算定點(diǎn)乘法運(yùn)算 2.3.1 原碼并行乘法原碼并行乘法 原 原 (f f)(0.n 1 10)(0.n 1

9、10) 設(shè)0.1101,0.1011.讓我們先用習(xí)慣方法求 其乘積,其過(guò)程如下: 不帶符號(hào)的陣列乘法器不帶符號(hào)的陣列乘法器 5位位5位不帶符號(hào)的陣列乘法器邏輯電路圖位不帶符號(hào)的陣列乘法器邏輯電路圖 帶符號(hào)的陣列乘法器帶符號(hào)的陣列乘法器 帶符號(hào)的陣列乘法器帶符號(hào)的陣列乘法器 2.3 定點(diǎn)乘法運(yùn)算定點(diǎn)乘法運(yùn)算 2.3.2 直接補(bǔ)碼并行乘法直接補(bǔ)碼并行乘法 定點(diǎn)補(bǔ)碼整數(shù)定點(diǎn)補(bǔ)碼整數(shù)N補(bǔ) 補(bǔ) anan 1a1a0,這里 這里an是符號(hào)位。根是符號(hào)位。根 據(jù)據(jù)N補(bǔ) 補(bǔ)的符號(hào) 的符號(hào),補(bǔ)碼數(shù)補(bǔ)碼數(shù)N補(bǔ) 補(bǔ)和真值 和真值N的關(guān)系可以表示成：的關(guān)系可以表示成： n1 ai2i 當(dāng)當(dāng)an 0(N補(bǔ) 補(bǔ)為正 為正

10、)時(shí)時(shí) i0 N n-1 1(1ai)2i 當(dāng)當(dāng)an 1(N補(bǔ) 補(bǔ)為負(fù) 為負(fù))時(shí)時(shí) i 0 n1 ai2i 當(dāng)當(dāng)an 0(N補(bǔ) 補(bǔ)為正 為正)時(shí)時(shí) i0 N n-1 1(1ai)2i 當(dāng)當(dāng)an 1(N補(bǔ) 補(bǔ)為負(fù) 為負(fù))時(shí)時(shí) i 0 n-1 n-1 n-1 (1ai)2i = 2i ai2i i0 i0 i0 n-1 = 2n 1 ai2i i0 n-1 N 2n an2n 2n 1 ai2i 1 i 0 n-1 N (1 an)2n (1ai)2i 1 i 0 表表2.3 四類一般化全加器的名稱和邏輯符號(hào)四類一般化全加器的名稱和邏輯符號(hào) 類型類型邏輯符號(hào)邏輯符號(hào)操作操作 0類類 加法器加法器

11、X Y ) Z CS 1類類 加法器加法器 X Y )Z C(S) 2類類 加法器加法器 X Y ) Z (C)S 3類類 加法器加法器 X Y )Z (C)(S) 描述四類一般化全加器的真值表描述四類一般化全加器的真值表 全加器全加器帶權(quán)輸入帶權(quán)輸入帶權(quán)輸出帶權(quán)輸出 0類類 3類類 X Y Z -X -Y -Z C S -C -S 真真 值值 表表 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1類類 2類類 -X -Y Z X Y -Z -C S C -S 真真 值值 表表 0

12、 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 00 11 1 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2.4 定點(diǎn)除法運(yùn)算定點(diǎn)除法運(yùn)算 2.4.1 原碼除法運(yùn)算原理原碼

13、除法運(yùn)算原理 設(shè)有設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)位定點(diǎn)小數(shù)(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)： 被除數(shù)被除數(shù),其原碼為其原碼為原 原 f .n 1 10 除數(shù)除數(shù),其原碼為其原碼為原 原 f .n 1 10 則有商則有商q/,其原碼為其原碼為 q原 原 (ff f)+)+(0.n 1 10/0.n 1 10) 商的符號(hào)運(yùn)算商的符號(hào)運(yùn)算qfff與原碼乘法一樣與原碼乘法一樣,用模用模2 求和得到。商的數(shù)值部分的運(yùn)算求和得到。商的數(shù)值部分的運(yùn)算,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上 是兩個(gè)正數(shù)求商的運(yùn)算。是兩個(gè)正數(shù)求商的運(yùn)算。 以手算方法求以手算方法求的過(guò)程如下的過(guò)程如下: 0.1 1 0 1商商q 0.1 0 1 1 0.1 0

14、 0 1 0(r0)被除數(shù)小于除數(shù)，商被除數(shù)小于除數(shù)，商0 0.0 1 0 1 12 1 除數(shù)右移除數(shù)右移1位位,減除數(shù)，商減除數(shù)，商1 0.0 0 1 1 1 0r1得余數(shù)得余數(shù)r1 0.0 0 1 0 1 12 2 除數(shù)右移除數(shù)右移1位位,減除數(shù)，商減除數(shù)，商1 0.0 0 0 0 1 1 0r2得余數(shù)得余數(shù)r2 0.0 0 0 1 0 1 12 3 除數(shù)右移除數(shù)右移1位位,不減除數(shù)，商不減除數(shù)，商0 0.0 0 0 0 1 1 0 0r3得余數(shù)得余數(shù)r3 0.0 0 0 0 1 0 1 12 4 除數(shù)右移除數(shù)右移1位位,減除數(shù)，商減除數(shù)，商1 0.0 0 0 0 0 0 0 1r4得余數(shù)

15、得余數(shù)r4 得得的商的商q0.1101,余數(shù)為余數(shù)為r0.00000001。 筆算特點(diǎn)：筆算特點(diǎn)： 每次都是由心算來(lái)比較余數(shù)和除數(shù)的大小，余每次都是由心算來(lái)比較余數(shù)和除數(shù)的大小，余 數(shù)大時(shí)，商數(shù)大時(shí)，商1；余數(shù)小時(shí)，商；余數(shù)小時(shí)，商0。第一次比較時(shí)，。第一次比較時(shí)， 余數(shù)就是除數(shù)。余數(shù)就是除數(shù)。 每做一次減法，總是保持余數(shù)不動(dòng)，而除數(shù)向每做一次減法，總是保持余數(shù)不動(dòng)，而除數(shù)向 右移一位。右移一位。 商的符號(hào)單獨(dú)處理商的符號(hào)單獨(dú)處理 為適應(yīng)機(jī)器運(yùn)算，需要進(jìn)行改進(jìn)：為適應(yīng)機(jī)器運(yùn)算，需要進(jìn)行改進(jìn)： l用補(bǔ)碼加代替直接減用補(bǔ)碼加代替直接減 l除數(shù)右移改為余數(shù)左移除數(shù)右移改為余數(shù)左移 “除數(shù)右移除數(shù)右移

16、”和和“右移上商右移上商” 恢復(fù)余數(shù)法恢復(fù)余數(shù)法 但由于要恢復(fù)余數(shù)但由于要恢復(fù)余數(shù),使除法進(jìn)行過(guò)程的步數(shù)不固定使除法進(jìn)行過(guò)程的步數(shù)不固定, 因此控制比較復(fù)雜。因此控制比較復(fù)雜。 加減交替法加減交替法 其特點(diǎn)是運(yùn)算過(guò)程中如出現(xiàn)不夠減其特點(diǎn)是運(yùn)算過(guò)程中如出現(xiàn)不夠減,則不必恢復(fù)余數(shù)則不必恢復(fù)余數(shù), 根據(jù)余數(shù)符號(hào)根據(jù)余數(shù)符號(hào),可以繼續(xù)往下運(yùn)算可以繼續(xù)往下運(yùn)算,因此步數(shù)固定因此步數(shù)固定,控控 制簡(jiǎn)單。制簡(jiǎn)單。 原碼加減交替法的規(guī)則：當(dāng)余原碼加減交替法的規(guī)則：當(dāng)余 數(shù)為正時(shí)，商上數(shù)為正時(shí)，商上1，余數(shù)左移一，余數(shù)左移一 位，減除數(shù)絕對(duì)值得新余數(shù)；位，減除數(shù)絕對(duì)值得新余數(shù)； 當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，商上當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，

17、商上0，余數(shù)移，余數(shù)移 一位，加除數(shù)絕對(duì)值得新余數(shù)。一位，加除數(shù)絕對(duì)值得新余數(shù)。 若被除數(shù)為若被除數(shù)為X，除數(shù)為，除數(shù)為Y，當(dāng)上商操作進(jìn)行到第，當(dāng)上商操作進(jìn)行到第i位商數(shù)時(shí)設(shè)余位商數(shù)時(shí)設(shè)余 數(shù)為數(shù)為Ri，則有下式：，則有下式： Ri=2Ri-1+(-|Y|) 若若Ri0，則該位商上則該位商上“1”，下一步操作是：，下一步操作是： Ri+1=2Ri+(-|Y|) 若若Ri0，則該位商上，則該位商上“0”，下一步恢復(fù)余數(shù)：，下一步恢復(fù)余數(shù)： Rj=2Ri+|Y|，然后，然后 Ri+1=2Rj +(-|Y|) =2(Ri+|Y|)+(-|Y|) =2Ri+|Y| 2.4.2 并行除法器并行除法器 1

18、、可控加法、可控加法/減法減法(CAS)單元單元 不恢復(fù)余數(shù)陣列除法器邏輯結(jié)構(gòu)圖不恢復(fù)余數(shù)陣列除法器邏輯結(jié)構(gòu)圖 以手算方法求以手算方法求的過(guò)程如下的過(guò)程如下: 0.1 0 1 1 1 1 1 0 1.0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 余數(shù)為：余數(shù)為：0.000110 =0.101001, 補(bǔ) 補(bǔ)=0.111, 補(bǔ) 補(bǔ)=1.001。 。 加減交替法計(jì)算過(guò)程如下加減交替法計(jì)算過(guò)程如下: 0.1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 + 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 + 0 1 1 1 1

19、0 0 1 1 0 余數(shù)為：余數(shù)為：0.000110 符號(hào)位保持不變符號(hào)位保持不變 F 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)：時(shí)： x補(bǔ) 補(bǔ)=2 |x|= 補(bǔ) 補(bǔ)=2 | | =1+(1 | |) =1+ (2 |x|) =1+ x補(bǔ) 補(bǔ) 1 2 x 2 x 2 1 2 x 2 2.5 定點(diǎn)運(yùn)算器的組成定點(diǎn)運(yùn)算器的組成 由于是串行進(jìn)位，它的運(yùn)算由于是串行進(jìn)位，它的運(yùn)算 時(shí)間很長(zhǎng)時(shí)間很長(zhǎng) 它只能完成加法和減法兩種它只能完成加法和減法兩種 操作，而不能完成邏輯操作操作，而不能完成邏輯操作 Fi=Xi Yi Xn+i Cn+i+1=XiYi+YiCn+i+Cn+iXi 表表2.4 Xi,Yi與控制參數(shù)和輸入量的關(guān)系與控制參數(shù)和輸入量的關(guān)系 S0 S1 YiS2 S3Xi 00Ai001 01AiBi01AiBi 10AiBi10AiBi 11011Ai 邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 FiYi Xi Cn+i Cni1YiXiCni 邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 XiS2S3S2S3（AiBi）S2S3（AiBi）S2S3A YiS0S1AiS0S1AiBiS0S1AiBi 邏輯表達(dá)式