第九講 數(shù)據(jù)插值與擬合

1、第九講第九講 曲線擬合與插值曲線擬合與插值 在工程實踐和科學實驗中，常常需要從一組實驗觀測數(shù)據(jù) niyx ii , 1 , 0),(揭示自變量x與因變量y之間的關(guān)系， 一般可以用一個近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x）來表示 通?？梢圆捎脙煞N方法：曲線擬合和插值 擬合主要是考慮到觀測數(shù)據(jù)受隨機誤差的影響，尋求整體 誤差最小、較好反映觀測數(shù)據(jù)的近似函數(shù)，并不保證所得 到的函數(shù)一定滿足 )( ii xfy 曲線擬合的目的是根據(jù)實驗獲得的數(shù)據(jù)去建立因變量 與自變量之間有效的經(jīng)驗函數(shù)關(guān)系，為進一步的深入 研究提供線索 插值函數(shù)一般是已知函數(shù)的線性組合或者稱為加權(quán)平 均插值在工程實踐和科學實驗中有著非常廣泛而又十

2、 分重要的應(yīng)用，例如，信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放 大中為避免圖像的扭曲失真的插值補點、建筑工程的外 觀設(shè)計。化學工程實驗數(shù)據(jù)與模型的分析、天文觀測數(shù) 據(jù)、地理信息數(shù)據(jù)的處理如(天氣預(yù)報）以及社會經(jīng)濟 現(xiàn)象的統(tǒng)計分析等等 插值則要求函數(shù)在每個觀測點處一定要滿足 )( ii xfy 1、船在該海域會擱淺嗎船在該海域會擱淺嗎 在某海域測得一些點(x，y)處的水深z（單位：英尺）由 下表給出，水深數(shù)據(jù)是在低潮時測得的船的吃水深度 為5英尺，問在矩形區(qū)域(75,200)*(-50，150）里的哪些 地方船要避免進人 一、實例及其模型 分析分析 由于測量點是散亂分布的，先在平面上作出測量點的分 布圖，再

3、利用二維插值方法補充一些點的水深，然后作 出海底曲面圖和等高線圖，并求出水深小于5的海域范 圍 在化學反應(yīng)中，為研究某化合物的濃度隨時間的變化規(guī)律， 測得一組數(shù)據(jù)如表 2、濃度的變化規(guī)律、濃度的變化規(guī)律 表中的數(shù)據(jù)反映了濃度隨時間變化的函數(shù)關(guān)系，它是一 種離散關(guān)系若需要推斷20，40分鐘時的濃度值，能否用 一個顯函數(shù)y=f(t)來擬合表中的離散數(shù)據(jù)，然后再計算濃 度值f(20), f（40）? 問題分析問題分析 （1）首先將這些離散數(shù)據(jù)分布在直角坐標系下，由此可 發(fā)現(xiàn)濃度與時間之間呈現(xiàn)什么規(guī)律這種數(shù)據(jù)分布在 直角坐標系下的圖形被稱為散點圖； （2）根據(jù)散點圖，判段它接近于哪類函數(shù)曲線， 即確定

4、函數(shù)形式 （3）函數(shù)形式確定以后，關(guān)鍵是要確定函數(shù)中含有的 待定參數(shù)。 最常用的確定待定系數(shù)的方法是，曲線擬合的最小二乘法 二、二、 插值與擬合插值與擬合 1、插值方法、插值方法 （1）分段線性插值）分段線性插值 分段線性插值的提法如下： （2）分段三次埃爾米特插值分段三次埃爾米特插值 在插值問題中，如果除了插值節(jié)點的函數(shù)值給定外，還 要求在節(jié)點的導數(shù)值為給定值，即插值問題變?yōu)?相當于在每一小段上應(yīng)滿足四個條件（方程），可以確 定四個待定參數(shù)三次多項式正好有四個系數(shù)，所以可 以考慮用三次多項式函數(shù)作為插值函數(shù)，這就是分段三分段三 次埃爾米特插值次埃爾米特插值，它與分段線性插值一起都稱為分段多

5、項式插值 （3）三次樣條插值）三次樣條插值 2、曲線擬合的最小二乘法、曲線擬合的最小二乘法 給定平面上的點, 2 , 1),(niyxi 進行曲線擬合有多種方法，最小二乘法是解決曲線擬 合最常用的一種方法 最小二乘法的原理是求f(x),使 n i ii n i i yxf 1 2 1 2 )( 達到最小 簡單地說，最小二乘法準則就是使所有散點到曲線的距 離平方和最小 線性最小二乘法線性最小二乘法 擬合函數(shù)可由一些簡單的“基函數(shù)”（例如冪函數(shù)，三 角 函數(shù)等等） )(,),(),( 10 xxx n 來線性表示 )()()()( 1100 xcxcxcxf mm 現(xiàn)在要確定系數(shù) , 10m cc

6、c 使達到極小為此 三、插值的matlab實現(xiàn) MATLAB中的插值函數(shù)為interp1，其調(diào)用格式為 ) ,( 1intmethodxiyxerpyi 其中x，y為插值點，yi為在被插值點xi處的插值結(jié)果， x, y為向量。 注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不 能夠超過x的范圍。 linear spline cubic nearest method ) ,( 1intmethodxiyxerpyi MATLAB提供的插值方法有幾種 表示采用的插值方法 ：分段線性插值 pchip：三次Hermite插值（立方插值） ：三次分段樣條插值 ：最近點等值方式 缺省時表示線性插值 例例1

7、 在一 天24小時內(nèi)，從零點開始每間隔2小時測得的環(huán) 境溫度數(shù)據(jù)分別為 12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13， 推測中午（即13點）時的溫度 x=0：2：24； y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13； x113 ； y1interp1（x，y，x1，spline） 若要得到一天24小時的溫度曲線 x=0：2：24； y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13 xi0：13600：24； yi=interp1(x,y,xi,spline ); plot(x, y, o, xi, yi

8、) 2、高維插值、高維插值 N維插值函數(shù)interpN（） 其中N可以為2，3，如N2為二維插值，調(diào)用格式為 ) ,(2intmethodyixizyxerpzi 其中 x，y，z為插值節(jié)點，zi為被插值點(xi，yi)處的插值結(jié)果 且， xi， yi為被插值節(jié)點構(gòu)成的新的網(wǎng)格數(shù)據(jù) methods代表的意思和可選擇的插值方法和前面一樣 注意：注意：所有的插值方法都要求x和y是單調(diào)的網(wǎng)格，x和 y可以 是等距的也可以是不等距的 (1) 網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值問題 例例2 氣旋變化情況的可視化 下表是氣象學家測量得到的氣象資料，它們分別表示在南 半球地時按不同緯度。不同月份的平均氣旋數(shù)字根據(jù)這 些數(shù)據(jù)，繪制

9、出氣旋分布曲面圖形 y=5:10:85;x=1:12; x,y=meshgrid(x,y); plot(x,y,*); pause z=2.4,1.6,2.4,3.2,1.0,0.5,0.4,0.2,0.5,0.8,2.4,3.6; 18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16; 20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5; 22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6; 37.3 28.8

10、27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4; 48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9; 25.6 24.2 25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3; 5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.6 6.3 6.6; 0.3,0,0,0.3,0,0,0.1,0.2,0.3,0,0.1,0.3; figure surf(x,y,z) pause xi,yi=meshgrid(1:12,5:

11、1:85); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,spline ); figure mesh(xi,yi,zi) xlabel(月份), ylabel(緯度), zlabel(氣旋), axis(0 12 0 90 0 50) title(南半球氣旋可視化圖形) （2）、一般二維分布的數(shù)據(jù)插值）、一般二維分布的數(shù)據(jù)插值 在實際應(yīng)用問題中，大部分的數(shù)據(jù)以實測的多組 （xi,yi,zi）給出，所以不能直接使用interp2（）函數(shù)。 Matlab中提供了另一個函數(shù)griddata( )，用來專 門解決這類問題。其調(diào)用格式如下 Z=griddata(x,y,z,x0,y0,method)

12、x,y,z是已知樣本點的坐標，可以是任意分布的。 X0,y0是期望的插值位置，即被插值節(jié)點, 可以是單點， 向量或者網(wǎng)格型矩陣 插值方法，除了上面的 方法外，還有一個是4.0版本提供 的一個插值方法，選項為v4 四、曲線擬合的四、曲線擬合的matlab實現(xiàn)實現(xiàn) 1、已知函數(shù)原型的、已知函數(shù)原型的 （1）多項式擬合）多項式擬合 假設(shè)已知函數(shù)原型為 11 nn n axaxay Matlab提供的擬合函數(shù)為 a=polyfit(xdata,ydata,n) 其中n表示多項式的最高階數(shù)，xdata，ydata為將要擬合 的數(shù)據(jù)，它是用數(shù)組的方式輸入 輸出參數(shù)a為擬合多項式 的系數(shù), 11 nn aa

13、aa 注：注：多項式在x處的值y可用下面程序計算 y=polyval(a,x) T=19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0; R=76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10; PR=polyfit(T,R,1); t=10:60; r=polyval(PR,t); plot(T,R,*,t,r) 解：Matlab程序 （2）一般函數(shù)線性組合的曲線擬合）一般函數(shù)線性組合的曲線擬合 假設(shè)已知函數(shù)原型為 )()()()( 1100 xcxcxcxf mm 通過求解線性方程可得待定系數(shù)，一般方法： X= %已知數(shù)據(jù)x的列向量 Y=

14、%已知數(shù)據(jù)y的列向量 A=f1(X),f2(X),fm(X) %系數(shù)矩陣，fm（）為基函數(shù) c=Ay 解：matlab程序 X=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Y=2 2.20254 2.40715 2.61592 2.83096 3.05448 3.28876 A=ones(size(X),exp(X),exp(-X); c1=AY; C=c1 x=0:0.05:1; y=C(1)+C(2)*exp(x)+C(3)*exp(-x); plot(X,Y,*,x,y) （3）一般的曲線擬合）一般的曲線擬合 假設(shè)已知函數(shù)原型是一般的函數(shù)，可以是多項式，可以 是線性，也可以是非線

15、性的，一般情況下用這個來求解 非線性情況 Matlab在優(yōu)化工具箱中提供的求解一般的曲線擬合函 數(shù)lsqcurvefit(),其調(diào)用格式如下 其中Fun表示函數(shù)Fun(p,data)的M函數(shù)文件，p0表示 函數(shù)的初值.。 p=lsqcurvefit(Fun,p0,xdata,ydata) 注：若要求解點x處的函數(shù)值可用程序f=Fun(p,x)計算 (1)函數(shù)原型m文件 function y=fname(a,t) y=a(1)*exp(-a(2)*t); 注：注：因為后面可能要用到計算函數(shù)在一些點上的值， 因此寫函數(shù)原型表達式時，記得用點運算點運算 tk=0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

16、0.7 0.8; Ik=3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56; a=lsqcurvefit(fname,1,1,tk,Ik) x=0:0.05:1; y=fname(a,x); plot(tk,Ik,*,x,y) 運行結(jié)果：a = 5.6361 2.8906 (2)擬合程序 2、函數(shù)原型未知、函數(shù)原型未知 已知一組數(shù)據(jù)，用什么樣的曲線擬合最好呢？可以根據(jù) 散點圖進行直觀判斷，在此基礎(chǔ)上，選擇幾種曲線分別 擬合，然后觀察哪條曲線的最小二乘指標最小。 圖(a)，數(shù)據(jù)接近于直線，故宜采用線性函數(shù)y=a+bx擬合； 解解：先將表中的數(shù)據(jù)用曲線表示 X=1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255 2.4596 2.7183 3.6693; Y=0.6795 0.6006 0.5309 0.4693 0.4148 0.3666 0.3241 0.2865 0.2532 0.2238