用MATLAB計(jì)算矩陣與行列式

1、矩陣與行列式矩陣與行列式 用用MATLABMATLAB計(jì)算計(jì)算 矩陣與行列式矩陣與行列式 用用MATLAB計(jì)算矩陣與行列式計(jì)算矩陣與行列式 行列式的求值行列式的求值 在在MATLAB中我們只需借助函數(shù)中我們只需借助函數(shù)det就可就可 以求出行列式的值，其格式為以求出行列式的值，其格式為 det (A) 其中其中A為為n階方陣階方陣 練習(xí)練習(xí)1 1 求矩陣求矩陣 的行列式的值的行列式的值 1021 1223 2331 0121 A 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear A=1 0 2 1;-1 2 2 3; 2 3 3 1;0 1 2 1; det (A) 程序說明：程序說明： 1ClearClea

2、r的作用是清除內(nèi)存中的變量的作用是清除內(nèi)存中的變量 2矩陣的輸入可以有兩種格式，除程序中的輸入方矩陣的輸入可以有兩種格式，除程序中的輸入方 式外，還可以如下輸入：式外，還可以如下輸入： A=1,0,2,1;-1,2,2,3;2,3,3,1;0,1,2,1 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： ans= 14 練習(xí)練習(xí)2 2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 100 110 011 001 a b c d 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear syms a b c d A=a 1 0 0;-1 b 1 0;0 1 c 1;0 0 1 d; DA=det (A) 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： DA=* * *1a b c da ba d

3、c d 程序說明：程序說明：函數(shù)函數(shù)detdet也可以用于計(jì)算含有變量的行列也可以用于計(jì)算含有變量的行列 式式 生成符號(hào)矩陣生成符號(hào)矩陣 聲明變量聲明變量 矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算 矩陣的加、減矩陣的加、減 (1) (1) 維數(shù)相同，即行數(shù)和列數(shù)都分別相等維數(shù)相同，即行數(shù)和列數(shù)都分別相等 練習(xí)練習(xí)3 3 求矩陣求矩陣 與矩陣與矩陣 的和與的和與 差差 123 212 331 A 324 253 231 B 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3;2 3 1; 解解 (2) (2) 矩陣相應(yīng)位置的元素相加、減矩陣相應(yīng)位置的元素相

4、加、減 C=A+B D=A-B C,D 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： C= 4 4 7 4 6 5 5 6 2 例題分析：例題分析： 2 2在進(jìn)行矩陣相加的運(yùn)算時(shí)，在進(jìn)行矩陣相加的運(yùn)算時(shí)，A+BA+B和和B+AB+A的值相的值相 同，滿足加法交換律同，滿足加法交換律 1 1進(jìn)行加、減運(yùn)算的矩陣必須是同型的進(jìn)行加、減運(yùn)算的矩陣必須是同型的 D= -2 0 -1 0 -4 -1 1 0 0 數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘 數(shù)與矩陣相乘，是數(shù)與矩陣中的每個(gè)元素相乘數(shù)與矩陣相乘，是數(shù)與矩陣中的每個(gè)元素相乘 練習(xí)練習(xí)4 4 求矩陣求矩陣 與與5的乘積的乘積 101 211 121 A 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear

5、 A=1 0 1;2 1 1;1 2 1; B=5*A C=A*5 程序說明：程序說明：5*A與與A*5的值相同的值相同 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： B= 5 0 5 10 5 5 5 10 5 C= 5 0 5 10 5 5 5 10 5 矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘 兩矩陣相乘時(shí)，第一個(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)必須兩矩陣相乘時(shí)，第一個(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)必須 等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù) 練習(xí)練習(xí)1求求 與與 的乘積的乘積 123 212 331 A 324 253 231 B 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4

6、;2 5 3;2 3 1; C=A*B , D=B*A 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： C= 13 21 13 12 15 13 17 24 22 D= 19 20 17 21 18 19 11 10 13 例題分析：例題分析： 比較比較C和和D，可以看出，可以看出A*B和和B*A的結(jié)果完全不同的結(jié)果完全不同 求矩陣的逆求矩陣的逆 如果矩陣如果矩陣A A是方陣且是非奇異的（可逆），可以用是方陣且是非奇異的（可逆），可以用 函數(shù)函數(shù)inv (A)inv (A)求得求得A A的逆矩陣的逆矩陣 練習(xí)練習(xí)2 2 求矩陣求矩陣 的逆矩陣的逆矩陣 112 011 210 A 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear A=1

7、 1 2;0 1 1;2 1 0; C= inv (A) 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： C= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1 程序說明：程序說明： 如果矩陣不可逆，則運(yùn)行結(jié)果會(huì)給出警告信息如果矩陣不可逆，則運(yùn)行結(jié)果會(huì)給出警告信息 練習(xí)練習(xí)3 3 利用矩陣的初等行變換求上例矩陣的逆利用矩陣的初等行變換求上例矩陣的逆 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear B=1 1 2 1 0 0;0 1 1 0 1 0;2 1 0 0 0 1; format rat C=rref (B) 矩陣矩陣A A的增廣矩陣的增廣矩陣 給出矩陣給出矩陣B B的行最簡形的行最簡形 以有理格式輸出以有理格式輸出 C= 1 0

8、0 -1 -2 1 0 1 0 2 4 -1 0 0 1 2 3 -1 例題說明：例題說明： 由線性代數(shù)的知識(shí)可知，矩陣由線性代數(shù)的知識(shí)可知，矩陣A A和其同型的單和其同型的單 位矩陣位矩陣E E組成增廣矩陣組成增廣矩陣B B，對，對B B進(jìn)行初等行變換，進(jìn)行初等行變換， 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A A變?yōu)閱挝魂嚂r(shí)，單位矩陣變?yōu)閱挝魂嚂r(shí)，單位矩陣E E變?yōu)榫仃囎優(yōu)榫仃嘇 A的的 逆逆 D=C(:,4:6) D= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1 取矩陣取矩陣C C的的4 4到到6 6列，列， D D即為矩陣即為矩陣A A的逆矩陣的逆矩陣 矩陣相除矩陣相除 在在MATLABMATLAB中，矩陣相除

9、可以利用運(yùn)算符中，矩陣相除可以利用運(yùn)算符“”（左除）（左除） 和和“/”/”（右除），而在線性代數(shù)中并沒有定義矩陣（右除），而在線性代數(shù)中并沒有定義矩陣 的除法的除法. . 練習(xí)練習(xí)4 求矩陣求矩陣 和和 相除相除 123 421 213 A 212 121 321 B 程序設(shè)計(jì)：程序設(shè)計(jì)： clear A=1 2 3;4 2 1;2 1 3; B=2 1 2;1 2 1;3 2 1; C=AB 矩陣左除，相當(dāng)于矩陣左除，相當(dāng)于inv(A)inv(A)* *B B，inv(A)inv(A)為矩陣為矩陣A A的逆的逆 D=A/B D= 1.3333 1.3333 -1.0000 0 -0.500

10、0 1.5000 1.6667 0.1667 -0.50000 說明：說明： 1 1矩陣的左除和右除概念完全不同，要注意區(qū)分矩陣的左除和右除概念完全不同，要注意區(qū)分 C= 0.3333 0.6000 -0.2000 -0.6667 -0.4000 0.8000 1.0000 0.40000 0.2000 3 3可以利用矩陣的右除求解線性方程組可以利用矩陣的右除求解線性方程組XA=bXA=b，其中，其中 X=b/AX=b/A 2 2可以利用矩陣的左除求解線性方程組可以利用矩陣的左除求解線性方程組AX=bAX=b，其中，其中 X=AbX=Ab 矩陣右除，相當(dāng)于矩陣右除，相當(dāng)于A A* *inv (

11、B)inv (B) 矩陣的秩矩陣的秩 練習(xí)練習(xí)5 5 求矩陣求矩陣 的秩的秩 2112 1221 1212 2211 A 解：解： clear; A=2 1 1 2;1 2 2 1;1 2 1 2;2 2 1 1; rank(A) ans= 4 rank(A)=4 矩陣矩陣A A的行向量的行向量 或列向量線性無關(guān)或列向量線性無關(guān) 求解線性方程組求解線性方程組 0AX A 齊次線性方程組齊次線性方程組 (1) (1) 如果系數(shù)矩陣的秩為如果系數(shù)矩陣的秩為n n（方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)（方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)) )， 則方程組只有零解則方程組只有零解 (2) (2) 如果系數(shù)矩陣的秩小于如果系數(shù)矩陣的

12、秩小于n n，則方程組有無窮多解，則方程組有無窮多解 通過求系數(shù)矩陣通過求系數(shù)矩陣 的秩來判斷解的情況：的秩來判斷解的情況： 2.2.非齊次線性方程組非齊次線性方程組AX=b (3) (3) 如果系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，則方程組如果系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，則方程組 無解無解 (2) (2) 如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩小于如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩小于n n，則，則 方程組有無窮多解方程組有無窮多解 (1) (1) 如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩等于如果系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩等于n n，則，則 方程組有唯一解方程組有唯一解 根據(jù)系數(shù)矩陣根據(jù)系數(shù)矩陣A A的秩和增廣

13、矩陣的秩和增廣矩陣B=A bB=A b的秩和未知數(shù)的秩和未知數(shù) 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)n n的關(guān)系，判斷方程組的關(guān)系，判斷方程組AX=bAX=b的解的情況：的解的情況： 練習(xí)練習(xí)1 1 求解方程組求解方程組 123 123 123 240 20 0 xxx xxx xxx clear A=-1 2 4;2 1 1;1 1 1; rank(A) ans= 2 rref(A) ans = 1 0 2 0 1 3 0 0 0 說明方程有無窮多解，并且解為說明方程有無窮多解，并且解為 23 T kk k 解：解： 練習(xí)練習(xí)2 2 求解方程組求解方程組 , , AXb 212 214 321 A 3 1 7 b cl

14、ear A=2 1 2；2 1 4；3 2 1； b=3 1 7； X=Ab 解解 X= 2 1 -1 練習(xí)練習(xí)3 3 求解方程組求解方程組 1234 1234 1234 1 1 221 xxxx xxxx xxxx clear A=1 1 1 1;-1 1 1 1;2 2 1 1; b=1 1 1; C=rank(A) rank(A b) C= 2 2 解解 表示秩表示秩(a)=2,(a)=2,秩秩(a b)=2(a b)=2 小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)4 4 rref(A b) ans= 11000 00111 0000 0 1234 ,1xxxx 24 ,xx ( ( 為自由未知數(shù)為自由未知數(shù)) ) 由表示行最簡形矩陣，得通解由表示行最簡形矩陣，得通解 再輸入再輸入 12 0 xx 34 1xx 習(xí)習(xí) 題題 習(xí)題習(xí)題1 1 已知已知 求：求： 213 201 312 A 301 421 120 B 2AB 2AB (1) ABBA (2) (3) AI (4) ,A B的秩 的秩 2BI 123 123 123 63 227 325 xxx xxx x