高數(shù)B期末復(fù)習(xí)

1、少學(xué)時(shí)高等數(shù)學(xué)（下）總復(fù)習(xí) 要點(diǎn)及舉例 （復(fù)習(xí)舉例，僅供參考） 第六章：微分方程 可以分離變量的方程的解法 階、任意常數(shù)、通解、特解 一階線性微分方程的求解 初值問題 常系數(shù)微分方程的解法 例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的的通通解解xy dx dy 解解分離變量分離變量 ,2xdx y dy 兩端積分兩端積分 ,2 xdx y dy 1 2 lnCxy . 2 為所求通解為所求通解 x Cey 例2 求解微分方程的通解 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 )2( )2( 2 2 2 2 cxcdxexeex dxcexeexy cexeex cdxe

2、xeex cxdeex cdxxeex cdex cdxexy exy xxx xxx xxx xxx xx xx x x x 再積分 解：兩邊積分 1sin2 3: 22 2 ,. 4 2, 1sin 1sin ( ),( ) x yy xx xy xtx x yy xx x p xQ x xx 例求微分方程的通解 以及時(shí)的特解。 解：令仍記為 則方程變?yōu)?帶入一階微分方程解的公式 ( )( ) ( ) 1 (cos2) 2 1 (cos21 2 p x dxp x dx yeCQ x edx yxC x yx x 計(jì)算得到通解 特解：） 關(guān)于常系數(shù)齊次（非齊次）微分方程，書上 例題會(huì)做，即

3、可，P351，例1，2,3，P361， 例1,2 第七章：向量代數(shù)與空間幾何 1.數(shù)量積與向量積 垂直、平行的條件 2.直線與平面的關(guān)系:垂直、平行、相交 3.簡(jiǎn)單圖形的方程 20 6:210 103 ,. xyz Lxyz xz 例 ：求經(jīng)過直線且與平面形成角的 平面方程 并給出該平面的單位法向量 解： 過已知直線的平面束方程為 , 0) 1(2zxzyx , 0)1 (2)1 (zyx即 .1 , 2 ,1n 其法向量 .2, 1, 1n 又已知平面的法向量 由題設(shè)知由題設(shè)知 1 1 3 cos nn nn 222222 )1 (2)1 ()2() 1(1 )2()1 () 1(21)1

4、( 故 即3, 626 33 2 1 2 01224:zyx所求平面方程 第八章：偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算、幾何意義 連續(xù)、可導(dǎo)、微分之間的關(guān)系 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)、一般求二階導(dǎo)數(shù)的方法 幾何應(yīng)用，空中曲線的切線、空中曲面的切平面。 極值及其計(jì)算方法 解解 x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 證證 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立 解解 , xy

5、 ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z .2 22 dyedxedz 所求全微分所求全微分 解解 x z u z x u v z x v 1cossin veyve uu ),cossin(vvye u y z u z y u v z y v 1cossin vexve uu ).cossin(vvxe u 解解 x z , 2 z xy e ye y z . 2 z xy e xe 將方程兩邊分別對(duì)將方程兩邊分別對(duì)yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 04222 04222 yy xx zzzy zzzx 由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要

6、要條條件件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P, 將將上上方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), 解解 , 2 1 |, 0|, 2 1 | z zCzB z zA PyyPxyPxx 故故 )2(0 )2( 1 2 2 z z ACB,函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值. 將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 2 21 zz, 當(dāng)當(dāng)2 1 z時(shí)時(shí)，0 4 1 A, 所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值； 當(dāng)當(dāng)6 2 z時(shí)時(shí)，0 4 1 A, 所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值. 求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟： 第一步第一步 解方

7、程組解方程組, 0),( yxf x 0),( yxf y 求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn). 第第二二步步 對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),( 00 yx， 求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出 2 BAC 的的符符號(hào)號(hào)，再再判判定定是是否否是是極極值值. 關(guān)于最值的說明： 1 應(yīng)用題要先給出函數(shù)，函數(shù)形式正確與否決定一切 要建造一個(gè)容積為32(m3)的有蓋長(zhǎng)方體容器. 已知底面單位造價(jià)是其余各面單位造價(jià)p(常數(shù)) 的二倍.求使長(zhǎng)方體容器造價(jià)最省的尺寸. 設(shè)長(zhǎng)、寬、高為x、y、h，32=xyh, h=32/xy 造價(jià)為C(x,y)= x p y ppx

8、y yhpxhppxypxy 1 64 1 643 222 實(shí)際問題都有最優(yōu)值，所以可直接求駐點(diǎn)，駐點(diǎn) 就是最優(yōu)值點(diǎn)。上述題目的最優(yōu)值點(diǎn)為： 可以不用充分條件驗(yàn)證。但是最好驗(yàn)證一下。 3 3 92, 3 4 0 0 hyx y C x C 32 022 023 023 32 0 0 0 )32(),(),( 32 )223( 222),( xyh xyypxp xhhpxp yhhpyp xyh L L L xyhhyxChyxL syh yhxhxyp yhpxhppxypxyhyxC h y x 3 3 92, 3 4 hyx得到駐點(diǎn)： 第九章：重積分 重積分的定義、性質(zhì) 直角坐標(biāo)系、極坐

9、標(biāo)系的計(jì)算 交換次序（二次積分也叫累次積分） 曲頂柱體體積、曲面面積的計(jì)算（注意 所求量的定義域） 在在D上上 222 0ayx , ,1 222 0ayx eee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知, 222 )(a D yx ede 解解 de D yx)( 22 ab. 2 a eab 區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 , ab 交換次序的方式 畫出積分區(qū)域 區(qū)分區(qū)域的形態(tài)，X-型， Y-型 上下線的曲線方程要正確給出 極坐標(biāo)的形式要重視 二重積分的計(jì)算依賴于二次積分的劃分 交換積分次序在證明題中也有應(yīng)用 xy 1 原原式式 y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 xy

10、2 2 2xxy 原原式式 1 0 2 11 2 ),( y y dxyxfdy. 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 交換下列積分次序： .),( , 1 0 1 0 2 x x y y dyyxfdxdxyxfdy 2 00 2 ),( x dyyxfdx 4 0 2 ),( y dxyxfdy 設(shè)區(qū)域D由： 及x = 2圍成,求 , 2 x yx y d x x D sin 2 1 ) 2 ( sin sinsin sin 2 0 2 0 2 dx x x x x dy x x dxdxdy x x d x x x x D D 解： 思考題 解解 曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖. , 1

11、0 yx,xyyx 所求體積所求體積 D dxyyxV )( 1 0 1 0 )( x dyxyyxdx 1 0 3 )1( 2 1 )1(dxxxx. 24 7 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是 dxdyA xy D y z x z 22 )()(1 曲面面積的計(jì)算公式 ;1 22 dydzA yz D z x y x .1 22 dzdxA zx D x y z y 解解解方程組解方程組, 2 22 22 yxaz azyx 得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周, 222 az ayx 在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队坝驗(yàn)閤y,: 222 ayxDxy 得得由由)(

12、 1 22 yx a z , 2 a x zx , 2 a y z y azaz azaz azazaazz azyxza zayx 不合題意，故 或 4 ,4 0)(4( , 045 )2( ,2 2 222 22 22 1 yx zz 22 22 1 a y a x ,44 1 222 yxa a 知知由由 22 2yxaz 22 1 yx zz, 2 dxdyyxa a S xy D 222 44 1 故故dxdy xy D 2 rdrra a d a 0 22 2 0 4 1 2 2 a ).15526( 6 2 a 第十一章無窮級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂與條件收斂 級(jí)數(shù)的一般方法。把一個(gè)函數(shù)展開成泰勒 來計(jì)算和函數(shù)的方法。特別是用它的分析性質(zhì) 般求法，求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的一 括交錯(cuò)級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別包 判別。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性及其 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 0 0 (ln3) 12. 2 ln3 2 ln3(ln3) 1, 22 12 ln3 2ln3 1 2 n n n n n n 例求級(jí)數(shù)的和。 解：其實(shí)是公比為的等比級(jí)數(shù)， 且所以 P220 參考題目：判斷收斂性 教材：綜合練習(xí) 1 1 1 1 2 0