萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的12種典型案例

1、萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的12種典型案例萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的12種典型案例萬(wàn)有引力定律不僅是高考的一個(gè)大重點(diǎn)，而且是自然科學(xué)的一個(gè)重大課題，也是同學(xué)們最感興趣的科學(xué)論題之一。 特別是我國(guó)“神州五號(hào)”載人飛船的發(fā)射成功，更激發(fā)了同學(xué)們研究衛(wèi)星，探索宇宙的信心。下面我們就來(lái)探討一下萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上應(yīng)用的12個(gè)典型案例：【案例1】天體的質(zhì)量與密度的估算下列哪一組數(shù)據(jù)能夠估算出地球的質(zhì)量A.月球繞地球運(yùn)行的周期與月地之間的距離B.地球表面的重力加速度與地球的半徑C.繞地球運(yùn)行衛(wèi)星的周期與線速度D.地球表面衛(wèi)星的周期與地球的密度解析：人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。月球也是地球的一顆衛(wèi)星。 設(shè)地球的質(zhì)量

2、為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)，軌道半徑為r根據(jù)萬(wàn)有引力定律：得：可見(jiàn)A正確而由知C正確對(duì)地球表面的衛(wèi)星，軌道半徑等于地球的半徑，r=R由于結(jié)合得： 可見(jiàn)D錯(cuò)誤地球表面的物體，其重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力由得：可見(jiàn)B正確【探討評(píng)價(jià)】根據(jù)牛頓定律，只能求出中心天體的質(zhì)量，不能解決環(huán)繞天體的質(zhì)量；能夠根據(jù)已知條件和已知的常量，運(yùn)用物理規(guī)律估算物理量，這也是高考對(duì)學(xué)生的要求?？傊?，牛頓萬(wàn)有引力定律是解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵?！景咐?】普通衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題我國(guó)自行研制發(fā)射的“風(fēng)云一號(hào)”“風(fēng)云二號(hào)”氣象衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是不同的?！帮L(fēng)云一號(hào)”是極地圓形軌道衛(wèi)星，其軌道平面與赤道平面垂直，周期為12

3、h，“風(fēng)云二號(hào)”是同步軌道衛(wèi)星，其運(yùn)行軌道就是赤道平面,周期為24 h。問(wèn)：哪顆衛(wèi)星的向心加速度大？哪顆衛(wèi)星的線速度大？若某天上午8點(diǎn)，“風(fēng)云一號(hào)”正好通過(guò)赤道附近太平洋上一個(gè)小島的上空，那么“風(fēng)云一號(hào)”下次通過(guò)該島上空的時(shí)間應(yīng)該是多少？解析：本題主要考察普通衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及其規(guī)律由開(kāi)普勒第三定律T2r3知：“風(fēng)云二號(hào)”衛(wèi)星的軌道半徑較大又根據(jù)牛頓萬(wàn)有引力定律得：，可見(jiàn)“風(fēng)云一號(hào)”衛(wèi)星的向心加速度大，可見(jiàn)“風(fēng)云一號(hào)”衛(wèi)星的線速度大，“風(fēng)云一號(hào)”下次通過(guò)該島上空，地球正好自轉(zhuǎn)一周，故需要時(shí)間24h，即第二天上午8點(diǎn)鐘。【探討評(píng)價(jià)】由萬(wàn)有引力定律得：，得：所有運(yùn)動(dòng)學(xué)量量都是r的函數(shù)。我們應(yīng)該建立函

4、數(shù)的思想。運(yùn)動(dòng)學(xué)量v、a、f隨著r的增加而減小，只有T隨著r的增加而增加。任何衛(wèi)星的環(huán)繞速度不大于7.9km/s，運(yùn)動(dòng)周期不小于85min。學(xué)會(huì)總結(jié)規(guī)律，靈活運(yùn)用規(guī)律解題也是一種重要的學(xué)習(xí)方法。【案例3】同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)下列關(guān)于地球同步衛(wèi)星的說(shuō)法中正確的是：A、為避免通訊衛(wèi)星在軌道上相撞，應(yīng)使它們運(yùn)行在不同的軌道上B、通訊衛(wèi)星定點(diǎn)在地球赤道上空某處，所有通訊衛(wèi)星的周期都是24hC、不同國(guó)家發(fā)射通訊衛(wèi)星的地點(diǎn)不同，這些衛(wèi)星的軌道不一定在同一平面上D、不同通訊衛(wèi)星運(yùn)行的線速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。解析：本題考察地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)及其規(guī)律。同步衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，T=24

5、h，角速度一定根據(jù)萬(wàn)有引力定律得知通訊衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是一定的，離開(kāi)地面的高度也是一定的。地球?qū)πl(wèi)星的引力提供了衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，因此同步衛(wèi)星只能以地心為為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，它只能與赤道同平面且定點(diǎn)在赤道平面的正上方。故B正確，C錯(cuò)誤。不同通訊衛(wèi)星因軌道半徑相同，速度大小相等，故無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)相撞，A錯(cuò)誤。由知：通訊衛(wèi)星運(yùn)行的線速度、向心加速度大小一定。故正確答案是：B、D【探討評(píng)價(jià)】通訊衛(wèi)星即地球同步通訊衛(wèi)星，它的特點(diǎn)是：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同；與地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；線速度、向心加速度大小相同。 三顆同步衛(wèi)星就能覆蓋地球。【案例4】“雙

6、星”問(wèn)題Om2m1r1r2天文學(xué)中把兩顆距離比較近，又與其它星體距離比較遠(yuǎn)的星體叫做雙星，雙星的間距是一定的。設(shè)雙星的質(zhì)量分別是m1、m2，星球球心間距為L(zhǎng)。問(wèn)：兩星體各做什么運(yùn)動(dòng)？?jī)尚堑能壍腊霃礁鞫啻?？?jī)尚堑乃俣雀鞫啻螅拷馕觯罕绢}主要考察雙星的特點(diǎn)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律由于雙星之間只存在相互作用的引力，質(zhì)量不變，距離一定，則引力大小一定，根據(jù)牛頓第二定律知道，每個(gè)星體的加速度大小不變。因此它們只能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 由牛頓定律得： 又 解得： 由得： 【探討評(píng)價(jià)】雙星的特點(diǎn)就是距離一定，它們間只存在相互作用的引力，引力又一定，從而加速度大小就是一個(gè)定值，這樣的運(yùn)動(dòng)只能是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這個(gè)結(jié)論很重要。同時(shí)

7、利用對(duì)稱(chēng)性，巧妙解題，找到結(jié)論的規(guī)律，搞清結(jié)論的和諧美與對(duì)稱(chēng)美對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)也很有幫助?！景咐?】“兩星”問(wèn)題地球如圖是在同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星。設(shè)它們運(yùn)行的周期分別是T1、T2，(T1T2)，且某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近。問(wèn)：兩衛(wèi)星再次相距最近的時(shí)間是多少？?jī)尚l(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時(shí)間是多少？解析：本題考察同一平面不同軌道上運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星的位置特點(diǎn)及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律依題意，T1T2，周期大的軌道半徑大，故外層軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星運(yùn)行一周的時(shí)間長(zhǎng)。設(shè)經(jīng)過(guò)t兩星再次相距最近 則它們運(yùn)行的角度之差 解得： 兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，它們運(yùn)行的角度之差 k=0.1.2 解得：k=0.1.2【探討評(píng)價(jià)

8、】曲線運(yùn)動(dòng)求解時(shí)間，常用公式=t；通過(guò)作圖，搞清它們轉(zhuǎn)動(dòng)的角度關(guān)系，以及終邊相同的角，是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。【案例6】同步衛(wèi)星的發(fā)射問(wèn)題地球PQv2v1v2/v3123發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓形軌道1運(yùn)行，然后點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓形軌道3運(yùn)行。設(shè)軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，則衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，比較衛(wèi)星經(jīng)過(guò)軌道1、2上的Q點(diǎn)的加速度的大小；以及衛(wèi)星經(jīng)過(guò)軌道2、3上的P點(diǎn)的加速度的大小設(shè)衛(wèi)星在軌道1、3上的速度大小為v1、v3 ，在橢圓軌道上Q、P點(diǎn)的速度大小分別是v2、v2/，比較四個(gè)速度的大小解析：同步衛(wèi)

9、星的發(fā)射有兩種方法，本題提供了同步衛(wèi)星的一種發(fā)射方法，并考察了衛(wèi)星在不同軌道上運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星的加速度是由于地球吸引衛(wèi)星的引力產(chǎn)生的。即：可見(jiàn)衛(wèi)星在軌道2、3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的加速度大小相等；衛(wèi)星在軌道1、2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的加速度大小也相等；但P點(diǎn)的加速度小于Q點(diǎn)的加速度。1、3軌道為衛(wèi)星運(yùn)行的圓軌道，衛(wèi)星只受地球引力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由得：可見(jiàn)：v1v3由開(kāi)普勒第二定律知，衛(wèi)星在橢圓軌道上的運(yùn)動(dòng)速度大小不同，近地點(diǎn)Q速度大，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度小，即：v2v2/衛(wèi)星由近地軌道向橢圓軌道運(yùn)動(dòng)以及由橢圓軌道向同步軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，引力小于向心力， ，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)，因此隨著軌道半徑r增大，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)速度

10、增大，它做加速運(yùn)動(dòng)，可見(jiàn)：v2v1，v3v2/因此：v2v1v3v2/【探討評(píng)價(jià)】衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的加速度是由地球?qū)πl(wèi)星的引力提供的，所以研究加速度首先應(yīng)考慮牛頓第二定律；衛(wèi)星向外軌道運(yùn)行時(shí)，做離心運(yùn)動(dòng)，半徑增大，速度必須增大，只能做加速運(yùn)動(dòng)。同步衛(wèi)星是怎樣發(fā)射的呢？通過(guò)上面的例題及教材學(xué)習(xí)，我們知道：同步衛(wèi)星的發(fā)射有兩種方法，一是直接發(fā)射到同步軌道；二是先發(fā)射到近地軌道，然后再加速進(jìn)入橢圓軌道，再加速進(jìn)入地球的同步軌道?！景咐?】 “連續(xù)群”與“衛(wèi)星群”土星的外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷它是土星的一部分，即土星的“連續(xù)群”，還是土星的“衛(wèi)星群”，可以通過(guò)測(cè)量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的

11、關(guān)系來(lái)判斷：A、 若vR，則該層是土星的連續(xù)群B、 若v2R，則該層是土星的衛(wèi)星群C、 若，則該層是土星的連續(xù)群D、 若，則該層是土星的衛(wèi)星群解析：本題考察連續(xù)物與分離物的特點(diǎn)與規(guī)律該環(huán)若是土星的連續(xù)群，則它與土星有共同的自轉(zhuǎn)角速度， ，因此vR該環(huán)若是土星的衛(wèi)星群，由萬(wàn)有引力定律得： 故A、D正確【探討評(píng)價(jià)】土星也在自轉(zhuǎn)，能分清環(huán)是土星上的連帶物，還是土星的衛(wèi)星，搞清運(yùn)用的物理規(guī)律，是解題的關(guān)鍵。同時(shí)也要注意，衛(wèi)星不一定都是同步衛(wèi)星?！景咐?】宇宙空間站上的“完全失重”問(wèn)題假定宇宙空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在空間站上，下列實(shí)驗(yàn)不能做成的是：A、天平稱(chēng)物體的質(zhì)量B、用彈簧秤測(cè)物體的重量C、

12、用測(cè)力計(jì)測(cè)力D、用水銀氣壓計(jì)測(cè)飛船上密閉倉(cāng)內(nèi)的氣體壓強(qiáng)E、用單擺測(cè)定重力加速度F、用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律解析：本題考察了宇宙空間站上的“完全失重”現(xiàn)象。宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)︼w船的引力提供了向心加速，可見(jiàn) 對(duì)于飛船上的物體，設(shè)F為“視重”，根據(jù)牛頓第二定律得： 解得：F=0，這就是完全失重在完全失重狀態(tài)下，引力方向上物體受的彈力等于零，物體的重力等于引力，因此只有C、F實(shí)驗(yàn)可以進(jìn)行。其它的實(shí)驗(yàn)都不能進(jìn)行?！咎接懺u(píng)價(jià)】當(dāng)物體的加速度等于重力加速度時(shí)，引力方向上物體受的彈力等于零，但物體的重力并不等于零；在衛(wèi)星上或宇宙空間站上人可以做機(jī)械運(yùn)動(dòng)，但不能測(cè)定物體的重力?！景咐?

13、】黑洞問(wèn)題“黑洞”問(wèn)題是愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論中預(yù)言的一種特殊的天體。它的密度很大，對(duì)周?chē)奈镔|(zhì)（包括光子）有極強(qiáng)的吸引力。根據(jù)愛(ài)因斯坦理論，光子是有質(zhì)量的，光子到達(dá)黑洞表面時(shí)，也將被吸入，最多恰能繞黑洞表面做圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)天文觀察，銀河系中心可能有一個(gè)黑洞，距離可能黑洞為6.01012m遠(yuǎn)的星體正以2.0106m/s的速度繞它旋轉(zhuǎn)，據(jù)此估算該可能黑洞的最大半徑是多少？（保留一位有效數(shù)字）解析：本題考察“黑洞”的基本知識(shí)，這是一道信息題。黑洞做為一種特殊的天體，一直受到人們廣泛的關(guān)注,種種跡象表明,它確實(shí)存在于人的視野之外。黑洞之黑，就在于光子也逃不出它的引力約束。光子繞黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的

14、軌道半徑就是黑洞的最大可能半徑。設(shè)光子的質(zhì)量為m，黑洞的質(zhì)量為M，黑洞的最大可能半徑為R，光子的速度為c 根據(jù)牛頓定律得： 對(duì)銀河系中的星體,設(shè)它的質(zhì)量為m/,它也在繞黑洞旋轉(zhuǎn),因此由解得：【探討評(píng)價(jià)】通過(guò)上面的數(shù)據(jù)分析我們知道，黑洞是一種特殊的天體，它的質(zhì)量、半徑都很大，因此它對(duì)周?chē)求w的引力特別大，任何物質(zhì)（包括光子）都將被它吸入，這就是“黑洞”命名的緣由。黑洞是否真正存在，其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律到底怎么樣，同學(xué)們可以上網(wǎng)查資料，充分考查研究。希望同學(xué)們將來(lái)成為真正的宇宙探秘科學(xué)家。我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)課本的閱讀材料，能用中學(xué)物理知識(shí)分析解決科技中的問(wèn)題?！景咐?0】宇宙膨脹問(wèn)題在研究宇宙發(fā)展演變的理

15、論中，有一種學(xué)說(shuō)叫做“宇宙膨脹說(shuō)”，這種學(xué)說(shuō)認(rèn)為萬(wàn)有引力常量G在緩慢地減小，根據(jù)這一理論，在很久很久以前，太陽(yáng)系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比較，公轉(zhuǎn)半徑如何變化？公轉(zhuǎn)周期如何變化？公轉(zhuǎn)線速度如何變化？要求寫(xiě)出必要的推理依據(jù)和推理過(guò)程。 解析：這也是一道信息題，主要考察同學(xué)們運(yùn)用萬(wàn)有引力定律推理分析的能力。所提供的信息就是“引力常量在緩慢地減小”。在漫長(zhǎng)的宇宙演變過(guò)程中，由于“G”在減小，地球所受的引力在變化，故地球公轉(zhuǎn)的半徑、周期速度都在發(fā)生變化。即地球不再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。但由于G減小的非常緩慢，故在較短的時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為地球仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)引力提供向心力。 設(shè)M為太陽(yáng)的質(zhì)量，m為地球的質(zhì)量，r

16、為地球公轉(zhuǎn)的半徑，T為地球公轉(zhuǎn)的周期，v為地球公轉(zhuǎn)的速率。根據(jù)得： G地球做離心運(yùn)動(dòng)軌道半徑r星球間距增大宇宙膨脹很久以前地球公轉(zhuǎn)半徑比現(xiàn)在要小。 根據(jù)得： G、rT很久以前地球公轉(zhuǎn)周期比現(xiàn)在要小 根據(jù)：知： G、rv很久以前地球公轉(zhuǎn)的速率比現(xiàn)在要大【探討評(píng)價(jià)】本題是根據(jù)信息推理論證題。既然要求寫(xiě)出推理依據(jù)以及推理過(guò)程，這就要求我們充分利用“引力提供向心加速度”的重要規(guī)律，了解信息，明確規(guī)律，搞清變量，嚴(yán)密推理。【案例11】月球開(kāi)發(fā)問(wèn)題科學(xué)探測(cè)表明，月球上至少存在氧、硅、鋁、鐵等豐富的礦產(chǎn)資源。設(shè)想人類(lèi)開(kāi)發(fā)月球，不斷地月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)采以后，月球和地球仍看做均勻球體，

17、月球仍然在開(kāi)采前的軌道運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)：地球與月球的引力怎么變化？月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期怎么變化？月球繞地球運(yùn)動(dòng)的速率怎么變化？解析：本題主要考察數(shù)學(xué)在天文學(xué)上的應(yīng)用。由萬(wàn)有引力定律結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)得：，當(dāng)m=M時(shí)，積Mm最大。可見(jiàn)M、m相差越大，積越小，而r一定，故F就越小由得：G、r一定，M增大，T減小由知：G、r一定，M增大，v增大 【探討評(píng)價(jià)】這也是一道信息題。了解題目信息，明確變量，充分利用數(shù)學(xué)上求極值的幾種方法去思考問(wèn)題，利用函數(shù)的思想去解決問(wèn)題，這種方法十分重要?！景咐?2】“宇宙飛船”及能量問(wèn)題地球宇宙飛船要與正在軌道上運(yùn)行的空間站對(duì)接。飛船為了追上軌道空間站，應(yīng)采取什么措施？飛船脫離原來(lái)

18、的軌道返回大氣層的過(guò)程中，重力勢(shì)能如何變化？動(dòng)能如何變化？機(jī)械能又如何變化？解析：本題主要考察飛船運(yùn)行過(guò)程中的能量問(wèn)題。根據(jù)知：在同一運(yùn)行軌道上，宇宙飛船與軌道空間站的運(yùn)行速率是相同的，它不可能追上軌道空間站。當(dāng)飛船在較小的軌道上運(yùn)行時(shí)滿(mǎn)足：當(dāng)飛船在較小的軌道上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)， 隨著速度增大，飛船將做離心運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道半徑增大，逐漸靠近外層軌道r2才能追上飛船。可見(jiàn)飛船為了追上軌道空間站，應(yīng)該從較低的軌道上加速運(yùn)行。飛船脫離原來(lái)的軌道返回大氣層的過(guò)程中，需要制動(dòng)減速，其運(yùn)動(dòng)的軌道半徑逐漸減小。由于軌道變化比較慢，制動(dòng)的阻力又在切線方向,阻力引起的速度的變化很小，所以仍然滿(mǎn)足，可見(jiàn)，飛船的動(dòng)能增加；由于飛船離地的高度逐漸降低，因此飛船的重