第七章 灰色預(yù)測法

1、1 第七章 灰色預(yù)測法 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 2 第一節(jié) 灰色預(yù)測的概念 n一、灰色系統(tǒng)的概念 n二、灰色預(yù)測的基本思路 n三、灰色預(yù)測的種類 3 一、灰色系統(tǒng)的概念 n灰色系統(tǒng)：部分信息已知部分信息未知的系統(tǒng)。 n白色系統(tǒng)：系統(tǒng)的信息完全充分。 n黑色系統(tǒng)：外界對系統(tǒng)內(nèi)部信息一無所知。 n灰色系統(tǒng)是絕對的，白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)是相對的。 n華中理工大學(xué)鄧聚龍教授于1982年首次提出灰色系 統(tǒng)的概念，此后建立了灰色系統(tǒng)理論，并將灰色理 論用于預(yù)測分析取得了令人滿意的成果，引起了國 內(nèi)外的重視。 4 二、灰色預(yù)測的基本思路 n將已知的的數(shù)據(jù)按某種規(guī)則構(gòu)成動(dòng)態(tài)的 或非動(dòng)態(tài)的白色模塊，再按某種變換

2、、 解法來求解未來的灰色模型。在灰色模 塊中，再按某種準(zhǔn)則，逐步提高白度， 直到未來發(fā)展變化的規(guī)律基本明確為止。 5 三、灰色預(yù)測的種類 n1.灰色時(shí)間序列預(yù)測：對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)觀 測值所形成的序列進(jìn)行的灰色預(yù)測。如國民生 產(chǎn)總值預(yù)測，糧食產(chǎn)量預(yù)測，商品銷售量發(fā)展 變化的預(yù)測等。 n2.災(zāi)變預(yù)測：對超出某一界限的異常值出現(xiàn)時(shí) 間的預(yù)測。此時(shí)建模的數(shù)據(jù)的序列是按序號給 出的時(shí)間間隔。如預(yù)測旱災(zāi)出現(xiàn)的年份，預(yù)測 澇災(zāi)。（是否旱災(zāi)或澇災(zāi)可以由年平均降雨量 確定） 6 n3.系統(tǒng)綜合預(yù)測：是對系統(tǒng)行為特征指 標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型， 在預(yù)測系統(tǒng)整體變化的同時(shí)，預(yù)測系統(tǒng) 各個(gè)環(huán)節(jié)變化的方法，

3、屬于對系統(tǒng)的綜 合研究。 n4.拓?fù)漕A(yù)測：即圖形的預(yù)測，它是從現(xiàn) 有波形來預(yù)測未來變化的圖形，一般在 原始數(shù)擺動(dòng)幅度大且頻繁的情況下應(yīng)用。 7 n灰色理論的微分方程模型稱為GM模型 (Grey Model)，GM（1，N）表示一階的 N個(gè)變量的微分方程模型，而GM(1,1)表 示一階的單個(gè)變量的微分方程模型。 8 第二節(jié) 灰關(guān)聯(lián)分析 n一、關(guān)聯(lián)度的概念 n關(guān)聯(lián)度是事物之間、因素之間關(guān)聯(lián)性大 小的度量，若事物之間變化態(tài)勢基本一 致，則關(guān)聯(lián)度較大，反之則關(guān)聯(lián)度較小 n灰色關(guān)聯(lián)分析所需數(shù)據(jù)較少，對數(shù)據(jù)要 求較低，與相關(guān)分析、回歸分析等要求 大樣本的方法相比，有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。 9 n二、灰關(guān)聯(lián)分析的步

4、驟 n1. 確定比較數(shù)列和參考數(shù)列 n2.求關(guān)聯(lián)系數(shù) n3. 求關(guān)聯(lián)度 n4. 關(guān)聯(lián)度按大小排序 10 n三、關(guān)聯(lián)度的計(jì)算 n1.原始數(shù)據(jù)的處理 n在對單位不同，或初值不同的數(shù)作關(guān)聯(lián)度分析時(shí)，一般要 作處理，使之無量綱化，規(guī)一化。 n方法一：初值化 n用同一數(shù)列的第一個(gè)數(shù)據(jù)去除后面的所有數(shù)據(jù)，得到初值 化的序列，這種變化適用于有穩(wěn)定增長趨勢的序列。 ) 1 ( )( )( : )(,),2(),1 ( X kX kX nXXXX 則初值化處理 設(shè)有一序列 11 n方法二：均值化 n先分別求各個(gè)原始數(shù)列的平均數(shù)，再用 平均數(shù)去除所有數(shù)據(jù)，得到均值化數(shù)列。 X kX kX kX n X n k )

5、( )(: )( 1 : 1 則 均值化處理 12 例我國19952001年，GDP和GDP1,GDP2,GDP3之間 的關(guān)聯(lián)度分析. 1.原始數(shù)據(jù)： 13 2.對原始數(shù)據(jù)處理，使其無量綱化： 方法一：初值化處理： GDPGDP1GDP2GDP3 19951111 1996 1.160855 1.154357 1.1778341.1382 1997 1.273342 1.184958 1.304325 1.283136 1998 1.339736 1.213408 1.353264 1.402642 1999 1.403388 1.206701 1.421191 1.506513 2000 1

6、.529499 1.219728 1.574583 1.664811 20011.6405 1.218202 1.719436 1.797177 14 方法二：均值化處理： GDPGDP1GDP2GDP3 平均值78087.614044.438936.425106.8 GDPGDP1GDP2GDP3 1995 0.748878 0.853934 0.732936 0.714834 1996 0.869339 0.985745 0.863276 0.813624 1997 0.953577 1.011876 0.9559860.91723 1998 1.0032981.03617 0.99185

7、5 1.002657 1999 1.050966 1.030443 1.041642 1.076907 2000 1.145408 1.041568 1.154068 1.190064 2001 1.228534 1.040265 1.260236 1.284684 15 n2.計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù) n設(shè)經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的參考數(shù)列為X0(t)， 與參考數(shù)列作關(guān)聯(lián)程度比較的數(shù)列記為： Xk(t),k=1,2,p。 n計(jì)算參考數(shù)列與比較數(shù)列差的絕對值： n0k(t)=| X0(t)- Xk(t)| 16 例3.以GDP為參考數(shù)列，以GDP1，GDP2，GDP3為比較數(shù)列， 計(jì)算差的絕對值（本例以作了均值化后

8、的序列計(jì)算）： 123 1 0.105056 0.015942 0.034044 2 0.116406 0.006062 0.055714 3 0.058299 0.002409 0.036348 4 0.032872 0.011443 0.000642 5 0.020523 0.009324 0.025941 60.103840.00866 0.044656 7 0.188269 0.0317020.05615 min 0.020523 0.002409 0.000642 max 0.188269 0.0317020.05615 (min)=0.000642 (max)=0.188269 1

9、7 n記p個(gè)差的絕對值序列最小者為min，最大者為 max，則第k個(gè)比較數(shù)列在 t時(shí)與參考數(shù)列的關(guān)聯(lián) 系數(shù)為: n其中:為分辨系數(shù)， 01， 越小，分辨力越 大，一般取 =0.5。 n的變化雖然改變關(guān)聯(lián)度的大小，但不改變關(guān)聯(lián)度 的大小排序。 (max)( (max)(min) )( 0 0 t t k k 18 例4.3個(gè)差的絕對值序列最小者為：0.000642， 最大者為：0.188269，取=0.5，計(jì)算 關(guān)聯(lián)系數(shù)如下： 1 2 3 1 0.475806 0.861002 0.739411 2 0.450157 0.945901 0.632479 3 0.621756 0.981693 0

10、.726354 4 0.746231 0.8976911 5 0.826601 0.916076 0.789305 6 0.478729 0.921993 0.682872 7 0.335606 0.753167 0.630645 19 n3.求關(guān)聯(lián)度 n t kk t n r 1 00 )( 1 例見Excel操作： 20 例5:求聯(lián)度： 1 2 3 1 0.475806 0.861002 0.739411 2 0.450157 0.945901 0.632479 3 0.621756 0.981693 0.726354 4 0.746231 0.8976911 5 0.826601 0.9

11、16076 0.789305 6 0.478729 0.921993 0.682872 7 0.335606 0.753167 0.630645 關(guān)聯(lián)度0.562126 0.896789 0.743009 結(jié)果說明，GDP2與GDP之間關(guān)聯(lián)度最高，或 第二產(chǎn)業(yè)對國民經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)最大。 21 附，根據(jù)初值化處理后的數(shù)據(jù)計(jì)算的關(guān)聯(lián)度： 1 2 3 1111 2 0.970189 0.925684 0.903241 3 0.705259 0.872216 0.955737 4 0.6260420.93988 0.770742 5 0.518127 0.922355 0.672213 6 0.405

12、722 0.824281 0.609823 7 0.3336870.7282 0.574434 關(guān)聯(lián)度0.651289 0.887516 0.783741 22 第三節(jié) GM(1,1)模型的建立 23 一、GM(1,1)模型的建立 )1( )1( :) 1 , 1 ( aX dt dX GM模型的微分方程形式 稱為發(fā)展灰數(shù),稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。 24 )(),3(),2(),1 ( . 1 )0()0()0()0()0( )0( NXXXXX X 選擇原始時(shí)間序列數(shù)據(jù) ) 1 () 1 ( )() 1()()(: )(,),2(),1 ( . 2 )0()1( )0()1( 1 )0()1( )

13、1()1()1()1( )1( XX kXkXiXkX nXXXX X k i 其中 生成對原始序列作一次累加 25 26 T nXXXXYn nXnX XX XX B YnB )(,),4(),3(),2( 1)() 1( 2 1 1)3()2( 2 1 1)2() 1 ( 2 1 . 3 )0()0()0()0( )1()1( )1()1( )1()1( 和常數(shù)向量構(gòu)造累加矩陣 27 n TT YBBBa 1 )( ,. 4 模型中兩個(gè)參數(shù)用普通最小二乘法求出 t eXtX) 1 () 1( : . 5 )0()1( 列的預(yù)測模型可得如下對一次累加序 方程并求解將求出的參數(shù)代入微分 28

14、)( ) 1( ) 1( . 6 )1()1()0( tXtXtX 序列的預(yù)測值進(jìn)行還原得對原始時(shí)間 例見Excel操作 29 例:設(shè)有數(shù)列X(0)如下: 1 2 3 4 5 X(0) 2.874 3.278 3.337 3.39 3.679 試建立GM(1,1)模型并進(jìn)行預(yù)測. 30 第一步:作一次累加生成(AGO): 558.16 5 879.12 4 489. 9 3 152. 6 2 874. 2 1 : ) 1 () 1 ( )() 1()()(: )5(),4(),3(),2(),1 ( )1( )0()1( )0()1( 1 )0()1( )1()1()1()1()1()1( )

15、1( X XX kXkXiXkX XXXXXX X k i 計(jì)算得 其中 設(shè)一次累加生成序列 31 T T XXXXYn XX XX XX XX B YnB )679. 339. 3,337. 3,278. 3( )5(),4(),3(),2( 17185.14 1184.11 18205. 7 1513. 4 1)5()4( 2 1 1)4() 3( 2 1 1)3()2( 2 1 1)2() 1 ( 2 1 . )0()0()0()0( )1()1( )1()1( 1)1( )1()1( 和常數(shù)向量構(gòu)造累加矩陣第二步 32 832364. 1165537. 0 165537. 001731

16、7. 0 4236.38 236.382435.423 17185.14 1184.11 18205. 7 1513. 4 1111 7185.14184.118205. 7513. 4 )( )(: 1 1 1 1 BB BB T T 計(jì)算第三步 33 065363. 3 03720. 0 679. 3 39. 3 337. 3 278. 3 1111 7185.14184.118205. 7513. 4 832364. 1165537. 0 165537. 0017317. 0 )( : 1 N TT yBBB a a 求參數(shù)列第四步 34 39254.822665.85) 1( 3925

17、4.82 03720. 0 065363. 3 874. 2) 1 ( ) 1 () 1( 065363. 303720. 0 : 0372. 0)1( )0( )0()1( )1( )1( k ak ekX a X a e a XkX X dt dX 確定模型第五步 35 二、GM(1,1)模型的檢驗(yàn) %100 )( )( )( )( )()( )( )0( tX te tq tXtXte 相對誤差 絕對誤差 殘差檢驗(yàn)一 36 )( )()( :. 1 )( )0()0( tXtXt 計(jì)算離差的絕對值 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)二 )(: )(: )(. 2 tMax tMin t 最大差 最小差 大差序列

18、中找出最小差與最在 37 5 . 0), 2 , 1( )()( )()( )( )(. 3 一般取 系數(shù)計(jì)算序列各時(shí)期的關(guān)聯(lián) nt tMaxt tMaxtMin t t .6 . 0,5 . 0 )( 1 ) 1 , 1 (. 4 1 比較高就可認(rèn)為模型預(yù)測精度若時(shí)取 模型的關(guān)聯(lián)度計(jì)算 r t n r rGM n t 38 n tX X n XtX S S n t n t 1 )0( )0( 1 2)0()0( 1 1 )( 1 )( :. 1 )( 計(jì)算原始序列的均方差 后驗(yàn)差檢驗(yàn)三 39 n t n t S St n t n t 1 1 2 2 2 )( 1 )( )(. 2的均方差計(jì)算

19、殘差絕對值序列 40 值越小越好 計(jì)算均方差比 c S S c c 1 2 . 3 越大越好 計(jì)算小誤差概率 P StPP)6745. 0)( . 4 1 41 判斷模型精度等級. 5 CP預(yù)測精度 等級 0.95好 0.80合格 0.70勉強(qiáng)合格 0.650.70不合格 當(dāng)模型精度達(dá)到合格以上時(shí)才可以用于預(yù)測. 42 6137. 3)5( 4817. 3)4( 3545. 3)2( ) 3( ) 3( 232. 3) 1 ( )2( )2( 784. 2) 1 ( ) 1 ( 55597.16)5( , 4 94229.12)4( , 3 46059. 9) 3( , 2 10603. 6)

20、2( , 1 784. 2) 1 ( , 0 : )0( )0( )1()1()0( )1()1()0( )1()0( )1( )1( )1( )1( )1( X X XXX XXX XX Xk Xk Xk Xk Xk 還原數(shù)據(jù) 殘差檢驗(yàn)精度檢驗(yàn)之一第六步 %7755. 1)5( %705. 2)4( %5259. 0)3( %402. 1)2( 0) 1 ( 0653. 0)5( 0917. 0)4( 0175. 0)3( 042. 0)2( 0) 1 ( : q q q q q e e e e e 相對誤差 計(jì)算絕對誤差 43 第七步：精度檢驗(yàn)之二關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn) 44 第八步：精度檢驗(yàn)之三后驗(yàn)

21、差檢驗(yàn) 45 三、殘差修正的GM(1,1)模型 n1.根據(jù)原來建立的GM(1,1)模型，求出原 始數(shù)據(jù)的殘差序列e(0) n2.對殘差序列e(0)進(jìn)行一次累加生成e(1) n3.建立殘差的GM (1,1)模型 n4.將殘差的GM(1,1)模型添加到原來建立 的GM(1,1)模型上，得到殘差修正的 GM(1,1)模型。 n5.作逆累加生成處理，進(jìn)行預(yù)測。 46 ) 1()( ) 1( ) 1(X :,5. . GM(1,1)GM(1,1). 4 ) ) 1 () 1( ) 1 , 1 (. 3 )(,),2(),1 ( :,. 2 )(,),2(),1 ( ,) 1 , 1 (. 1 )0()1

22、()1(0) )0()1( )1()1()1()1( )0()0()0()0( )0( kekXkXk eeke GM neeee neeee e GM k 并進(jìn)行預(yù)測作逆累加生成 模型上 模型添加到原來建立的將殘差的 模型建立殘差的 得到新序列加生成對殘差序列進(jìn)行一次累 原始數(shù)據(jù)的殘差序列有 求出模型根據(jù)原序列建立的 47 四、灰色預(yù)測法的特點(diǎn) n1.需要的原始數(shù)據(jù)較少 n2.計(jì)算簡單 n3.不需要事先對序列變動(dòng)的趨勢類型作 出判斷。 n4.預(yù)測誤差較小 n5.適用于呈單調(diào)趨勢變化的時(shí)間序列 48 附:災(zāi)變預(yù)測步驟及例 預(yù)測 檢驗(yàn) 模型建立累加生成對災(zāi)變值序列進(jìn)行一次 變發(fā)生時(shí)間序列由災(zāi)變值序列轉(zhuǎn)化為災(zāi) 序號時(shí)間為災(zāi)變值在原序列中的中的其中 災(zāi)變值序列 原序列 值從原始序列中找出災(zāi)變 . 5 . 4 ) 1 , 1 (,. 3 ),2 ,1 ( . 2 )()( )(,),2(),1 (: )(,),2(),1 (: :. 1 )0( )0( )0()0()0()0( )0()0()0()0( GM nW iiX nXXXX NXXXX 49 例：某地區(qū)17年來的降雨量數(shù)據(jù)下： 293 17 587 16 582 15 308 14 407 13 540 12 630 11 300 10