2.1D-曲線積分ppt課件

1、第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 曲線積分曲線積分 曲線弧曲線弧曲面域曲面域 曲線積分曲線積分 曲面積分曲面積分 對弧長的曲線積分 對坐標的曲線積分 對面積的曲面積分 對坐標的曲面積分 曲面積分曲面積分定積分二重積分三重積分 區(qū) 間 平面域 空間域 積分學(xué) 積分域 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 第五節(jié) 一、一、 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 二、二、 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分 第九章 三、三、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系

2、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 曲 線 積 分 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） A B 1. 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占 弧段為AB , 其線密度為),(zyx “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkk s),( 可得 n k 1 0 lim M 為計算此構(gòu)件的質(zhì)量, k s 1k M k M ),( kkk 引例引例 采用 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 一、對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第

3、五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線, 是定義在 上的一個有界函數(shù), kkkk sf),( 記作 szyxfd),( 若通過對 的 和對局部的 定義定義),(zyxf 以下“乘積和式極限” n k 1 0 lim k s 1k M k M ),( kkk 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 szyxMd),( 都存在,),(zyxf 上對弧長的曲線積分, 則稱此極限為函數(shù)在曲線 或第一類曲線積分. ),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 . 任意分割 任意取點, 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高

4、等數(shù)學(xué)（下下） 假如 L 是閉曲線 , 則記為.d),( L syxf 考慮考慮 (1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls (2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中 dx 可能為負. 假如 L 是 xOy 面上的曲線弧, kk n k k sf ),(lim 1 0 L syxfd),( 則定義對弧長的曲線積 分為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） ),( yxfz L 則圖示曲邊梯形的面積元素 幾何意義幾何意義 ds syxfA

5、d),(d 得到曲邊梯形的面積為 L syxfAd),( x o y z 柱面上曲邊梯形的面積 如圖曲邊梯形是以 為頂邊，以L為底邊的柱面),( yxfz 假設(shè)函數(shù) 在光滑弧段L上連續(xù)，),( yxfz上的曲邊梯形 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 性質(zhì)性質(zhì) szyxfd),() 1 ( （, 為常數(shù)) szyxfd),()2( ( 由 組成) 21 , 則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf ( l 為曲線弧 的長度) ),(zyxg szyxfd),(szyxgd),( l 21 d),(d),( szy

6、xfszyxf szyxgszyxfd),(d),( sd)4( 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例1,d)( 22 L syx其中 L 是圓周, 222 ayx ).0( a 解法一解法一 LL sasyxdd)( 222 L sad 2 aa2 2 解法二解法二 L syxd)( 22 aa2 2 利用幾何性質(zhì) x o y z22 yxz 被積函數(shù)在圓周上取值 a 計算 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） .d)()()(,

7、)(d),( 22 tttttfsyxf L 2對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分的計算法 基本思路基本思路 計算定積分 轉(zhuǎn) 化 定理定理 ),(yxf設(shè) 且 )()(tty 上的連續(xù)函數(shù), 是定義在光滑曲線弧 則曲線積分 ),(:txL ,d),(存在 L syxf 求曲線積分 說明說明 , 0, 0) 1 ( kk ts因此積分限必須滿足! )2( 可運用奇偶對稱性簡化運算 . 02 222 ayx dsxy 例如 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） x y O xd yd sd (3) 注意到 22 )

8、(d)(ddyxs ,d)()( 22 ttt x 因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法”. 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有 L syxfd),( 如果方程為極坐標形式: ),()(: rrL那 么 syxf L d),( )sin)(,cos)(rrf .d)(1 2 xx .d)()( 22 rr b a xxf) )(,( 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例2,d L sy其中 L 是拋物線 2 xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解 )10(: 2 xxyL L syd 1 0

9、xxxd)2(1 2 xxxd41 1 0 2 1 0 2 3 2 )41 ( 12 1 x ).155( 12 1 上點 O (0,0) O1 L x y 2 xy ) 1 , 1 (B 計算 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 推廣推廣 )()(, )(),(:ttztytx 那 么 szyxfd),( ttttd)()()( 222 )(),(, )(tttf 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例3

10、,d)( 222 szyx其中 為螺旋 的一段弧. 解解 szyxd)( 222 2 0 222 )()sin()cos(t ktata ttkakad 2 0 22222 0 2 3 2 222 3 t k taka ).43( 3 2 22222 kaka tktatad)cos()sin( 222 )20(,sin,costtkztaytax線 計算曲線積分 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 設(shè) C 是由極坐標系下曲線, ar 0及 4 所圍區(qū)域的邊界, 求 .de 22 sI C yx 2e)2 4 (

11、a a 解解 xI a x de 0 de 4 0 a a x a x d2e 2 0 2 x y Oa 4 xy 0y ar ddas 例例4 );, 0(, 0: 1 axyC )., 0(,:);, 0(,: 2 2 342 axxyCarC 分段積分 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例5,d 2 sx 其中 為球面 2222 azyx 被平面 所截的圓周. 0zyx 解解 sx d 2 szyxsxd)( 3 1 d 2222 sa d 3 1 2 aa2 3 1 2 3 3 2 a sy d 2 s

12、z d 2 計算 由輪換對稱性可知 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例6,dsxI L 其中L為雙紐線 )0()()( 222222 ayxayx 解解 它在第一象限部分為 ) 4 0(2cos: 1 arL 利用對稱性 , 得 sxI L d4 1 4 0 22 d)()(cos4rrr 4 0 2 dcos4a 2 22a ,2cos: 22 arL O y x 4 4 計算 在極坐標系下 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下）

13、d d s 例例7,d)( 222 szyxI 其中 為球 面 解解 , 1 1)( : 2 4 1 2 2 1 2 1 zx yx :20 2 )sin2( 2 )cos2( 2 )sin2( 18d2 2 9 2 0 I d2 cos2 2 1 z . 1的交線與平面 zx 2 9 222 zyx 化為參數(shù)方程 2 1 cos2x sin2y 那么 計算計算 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 3. 對弧長的曲線積分的物理意義對弧長的曲線積分的物理意義 質(zhì)量. 1;d),( szyxM 慣量曲線弧對坐標軸的轉(zhuǎn)動

14、. 2 .d)(,d)(,d) 222222 L z L yx syxIszxIszyI（ 曲線弧的重心坐標. 3 . d dd , d d s sz z ds sy y s sx x ， 可表示在空間沿位于光滑曲線的螺旋彈簧、細棒和 電線的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量及重心等. .量類似可得平面曲線弧段的各物理 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 考慮考慮 0 )1()1( 2222 zyx azyx 計算?d 2 sx 解解 1 1 zZ yY xX 0 : 2222 ZYX aZYX , 那 么 sx d 2 sXd) 1

15、( 2 sXd 2 3 3 2 a ).1 3 1 (2 2 aa sX d2 sd a2 圓 的形心 在原點, 故 0X aX22 , 如何 利用形心公式 例5中 改為 令 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例8 2的圓弧 L 對于它的對 稱軸的轉(zhuǎn)動慣量 I (設(shè)線密度 = 1). 解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖, R x y O L syI L d 2 d)cos()sin(sin 2222 RRR dsin 23 R 0 3 4 2sin 2 2 R )cossin( 3 R 那么 )( sin co

16、s : Ry Rx L sydIxd 2 計算半徑為 R ,中心角為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例9 cosRx ),0( 其線密度 ,2 解解 cos d d 2 R s kFxdcos 2 R k sin d d 2 R s kFydsin 2 R k ORRx y 0 dcos 2 R k Fx 0 dsin 2 R k Fy 0 cossin 2 R k R k4 0 sincos 2 R k R k 2 故所求引力為 ),(yx ,sinRy 求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. . 2 , 4

17、R k R k F 有一半圓弧 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 小結(jié)小結(jié) 1 定義定義 kkk n k k sf ),(lim 1 0 szyxfd),( 2 性質(zhì)性質(zhì) kk n k k sf ),(lim 1 0 L syxfd),( szyxgzyxfd),(),() 1 ( 21 d),(d),(),()2( szyxfszyxfszyxfd ),( 21 組成由 ls d)3( l 曲線弧 的長度) szyxfd),(),(為常數(shù)szyxgd),( 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其

18、應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 3 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxL L syxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyL L syxfd),( b a xxf) )(,( ),()(: rrL L syxfd),( )sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧 tttd)()( 22 xx d)(1 2 d)()( 22 rr )(),(ttf 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 11 34 : 22 yx L周長為a ,

19、求 syxxy L d)432( 22 提示提示 0d2 sxy L 原式 =s yx L d) 34 (12 22 s L d12a12 O22 y x 3 利用對稱性 sxy L d2 sxy L d2 上 sxy L d2 下 x2xyd1 2 2 2 )(2 x xyd1 2 2 2 分析分析 已知橢圓 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 2 ,sin,costaytax ),20(tt kz (1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量; z I (2) 求它的質(zhì)心 . 解解 syxI L z d)( 22 2 0

20、 2 atkad 22 222 2kaa (2) L的質(zhì)量sm L d 22 2ka 而sx L d 22 kaa 2 0 dcostt0 (1) 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為 設(shè)其密度為 (常數(shù)). 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） sy L d 22 kaa 2 0 dsintt0 sz L d 22 kak 2 0 dtt 222 2kak 故重心坐標為),0,0(k 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 3. 2222 Rzyx

21、標面的交線 , 求其形心坐標. 在第一卦限與三個坐 解解 O R z y x R R 1 L 3 L 2 L sl L d3 1 4 2 3 R 2 3 R 由對稱性 , 形心坐標為 321 d 1 LLL sx l xyz 321 ddd 1 LLL sxsxsx l 1 d 2 L sx l 2 0 dcos 2 RR l . 3 4R L為球面 如下圖 , 交線長度為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 1. 對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì) 引例引例: 設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用 在 x

22、Oy 平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, 求移 |cosWF AB “大化小” “常代變” “近似和” “取極限” 恒力沿直線所作的功 解決辦法:動過程中變力所作的功W. ABF A B F ),(, ),(),(yxQyxPyxF A B L x y O 變力沿曲線所作的功. 二、對坐標的曲線積分二、對坐標的曲線積分 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 1k M k M A B x y 1) L 把L分成 n 個小弧段, 有向小弧段 kk MM 1 ),( kk yx 近似代替, ),( kk 則有

23、 (,)(,) kkkkk PxQy k 所做的功為, k W F 沿 kk MM 1 1 (,) kkkkk WFMM ),( kk F n k k WW 1 那么 用有向線段 kk MM 1 kk MM 1 上任取一點在 k y k x O “大化小” 2) “常代變” 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 3) “近似和” 4) “取極限” n k W 1 kkkkkk yQxP),(),( n k W 1 0 lim (, kkkkkk P ) xQ( ) y (其中 為 n 個小弧段的 最大長度) 1k M

24、 k M A B x y L ),( kk F k y k x O 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 定義定義 設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條 弧弧, 和在局部弧段上任意取點, 都存在, 在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分坐標的曲線積分, L yyxQxyxPd),(d),( kkk xP),( kkk yQ),( n k 1 0 lim 則稱此極限為向量函數(shù) 或第二類曲線或第二類曲線 其中, ),(yxPL 稱為稱為 極限 記作 ),(yxF ),(yxQ 有向光滑有向光滑 函數(shù) 在 L 上有界

25、.( , ),( , )P x y Q x y若對 L 的任意分割 ( ( , ),( , )P x y Q x y 積分積分. 被積函數(shù)被積函數(shù) , 積分弧段積分弧段 或或 積分曲線積分曲線 . 假如 L 是有向閉曲線 , 則記為 .d),(d),( L yyxQxyxP 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） L xyxPd),(,),(lim 1 0 n k kkk xP L yyxQd),(,),(lim 1 0 n k kkk yQ 假設(shè) 為空間曲線弧 , 記 若記, 對坐標的曲線積分也可寫作)d,(ddyx

26、r ),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF )d,d,(ddzyxr 類似地, 稱為函數(shù) 在曲線L上對坐標 x 的曲線積分;( , )P x y 稱為函數(shù) 在曲線L上對坐標 y 的曲線積分.( , )Q x y L rF d L yyxQxyxPd),(d),( zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( rF d 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 性質(zhì)性質(zhì) (1) 假設(shè) L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLi L yyxQxyxPd),(d),( k i Li

27、yyxQxyxP 1 d),(d),( (2) 用L 表示 L 的反向弧 , 那 么 L yyxQxyxPd),(d),( L yyxQxyxPd),(d),( 那 么 說明：說明： 此類積分不適宜直接使用奇偶對稱性簡化運算! 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向 ! 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例. 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 2. 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 定理定理 ),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且 L 的參數(shù)方程為 )( )

28、( ty tx ,:t 則曲線積分 L yyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ 連續(xù), 存在, 且有 特別是, 假如 L 的方程為,:),(baxxy那 么 xxxQxxP b a d )(,)(, )(x L yyxQxyxPd),(d),( 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 對空間光滑曲線弧 :類似有 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( )(t )(t )(t )(, )(),(tttQ )(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP

29、 ,: )( )( )( t tz ty tx 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例10,d L xyx其中L 為xy 2 解法解法1OBAOL: 01:,:xxyAO 10:,:xxyOB OBAOL xyxxyxxyxddd xxxd)( 0 1 5 4 d2 1 0 2 3 xx yyyyxyx L d)(d 2 1 1 2 xy xy 解法解法211:,: 2 yyxL 5 4 d2 1 1 4 yy 從點 xxxd 1 0 的一段； ) 1, 1 ()1, 1(BA到 O y x )1 , 1(B )

30、1, 1( A 計算 取 x 為參數(shù), 那么 取 y 為參數(shù), 那么 (1)沿拋物線 (2)沿直線段AB (1) 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例11,d L xyx其中L 為xy 2 解解 . 11:, 1:yxAB 0d L xyx . 0dx 從點 的一段； ) 1, 1 ()1, 1(BA到 計算 取 x 為參數(shù), 那么 (1)沿拋物線 (2)沿直線段AB (2) O y x )1 , 1(B )1, 1( A 顯然 此被積函數(shù)沿不同路徑得到的曲線積分不同！此被積函數(shù)沿不同路徑得到的曲線積分不同！

31、第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） y xO 例例12其中 L 為 ,:, 0aaxy BA aa (1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向; (2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解 ,d 2 xy L 0:,sin,costtaytax xy L d 2 ttadsin2 2 0 33 3 2a (2) 取 L 的方程為 xy L d 2 ta 2 0 2 sin ttad)sin( 1 3 2 3 3 4 a a a xd00 那 么 那么 計算

32、 (1) 取L的參數(shù)方程為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例13 ,dd2 2 yxxyx L 其中L為 (1) 拋物線 ; 10:,: 2 xxyL (2) 拋物線 ;10:,: 2 yyxL (3) 有向折線 .:ABOAL 解解 2 2xx xx d4 1 0 3 (2) 原式y(tǒng)yy22 2 yy d5 1 0 4 (3) 原式 yxxyx OA dd2 2 01 )0, 1(A )1 , 1(B 2 yx 2 xy 1 0 ( xxxd)2 2 1 0 (yyd) 4 yxxyx AB dd2 2

33、1 0 dy 1 1 y x O 計算 (1) 原式 此被積函數(shù)沿不同路徑得到的曲線積分相同！此被積函數(shù)沿不同路徑得到的曲線積分相同！ 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 3. 對坐標的曲線積分的物理意義對坐標的曲線積分的物理意義 1空間中力沿曲線所做的功空間中力沿曲線所做的功 設(shè)向量場),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPF 代表空間 某一區(qū)域上分部的力重力或某種電磁力等）， 又 :),(),(),()(ttztytxtr 為該區(qū)域內(nèi)一光滑曲線 則該力沿曲線做功的微元 zzyxRyzyxQxzyxPd

34、),(d),(d),(rFdWd : zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( rF dW 該力沿曲線做功 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 2流量與環(huán)流量流量與環(huán)流量 設(shè)向量場),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPV 代表通過 某一區(qū)域流體的速度場，:),(),(),()(ttztytxtr 為連續(xù)速度場定義域內(nèi)的一光滑曲線 則流體沿曲線通過 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(rVddC : zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( rV dC 流體沿

35、曲線的 的流量C的微元 流體沿有向閉合曲線的流量稱為環(huán)流量環(huán)流量 流量流量 rV dC 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） B A y x z O 例例14作用下, 質(zhì)點由 沿 移動到),2,0,(kRB )0, 0,(RA .)2(AB 解解 zzyxxyddd ttkR 2 0 22 d)( (2) 的參數(shù)方程為kttzyRx20:,0, AB zzyxxyddd k tt 2 0 d 試求力場對質(zhì)點所作的功. ;,sin,cos) 1(tkztRytRx )(2 22 Rk 22 2k 其中 為 ),(zxy

36、F rFWd rFWd 設(shè)在力場 (1) 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例15 ,d)(d)(d)( zyxyzxxyzC 的流體經(jīng)過曲線 2 1 : 22 zyx yx （從 z 軸正向看為順時針方向)的環(huán)流量. 解解 ,sin,cos:tytx )02:(sincos2tttz 0 2 Ctttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos tt d)cos41 ( 2 2 0 )sin)(cos2(tt 2 z y x O 求流速為 ),(yxzxyzV )d,(),(zd

37、ydxyxzxyzrdVd C 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 設(shè)有向光滑弧 L 的參數(shù)方程為 .:)(, )(ttyytxx L在任一點的切向量為 )()( )( cos, )()( )( cos 2222 tytx ty tytx tx 則對坐標的曲線積分 L yyxQxyxPd),(d),( .d)( )(),()( )(),(ttytytxQtxtytxP ),( , )( (tytx 其方向余弦為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)

38、及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） L syxQyxPdcos),(cos),( 另一方面，對弧長的曲線積分 )()( )( )(),( 22 tytx tx tytxP .d)()( )()( )( )(),( 22 22 ttytx tytx ty tytxQ .d)( )(),()( )(),(ttytytxQtxtytxP 由此，兩類曲線積分的關(guān)系是 L yQxPdd,d)coscos( L sQP 其中、為有向弧L在點x，y處切向量的方向角 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下）

39、 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是 zRyQxPddd sRQPdcoscoscos 令 A sA d , ),(RQPA)d,d,(ddzyxr )cos,cos,(cos rA d rA d sAd 記 A 在上的投影為 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 二者夾角為 例例16,max 22 QPM 曲線段 L 的長度為s, 證明 ),(, ),(yxQyxP 續(xù), sMyQxP L dd 證證 L yQxPdd sQP L dcoscos 設(shè) sM sQP L dcoscos 說明說明: 在L上

40、連 )cos,(cos, ),(QPA sA L d sA L dcos 設(shè) 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分. 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 例例17 17 將積分yyxQxyxP L d),(d),( 化為對弧長的積 分, 02 22 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從 解解 O y xB ,2 2 xxyx xx x yd 2 1 d 2 sdxyd1 2 x xx d 2 1 2 s x d d cos,2 2 xx s y d d cosx1 yyxQxyxP L d),(d),( s

41、yxQyxP L d),(),( 2 2xx )1(x 其中L 沿上半圓周 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 1. 定義定義 kkkk n k yQxP ),(),(lim kk 1 0 L yyxQxyxPd),(d),( 2. 性質(zhì)性質(zhì) (1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLi L yyxQxyxPd),(d),( i L k i yyxQxyxPd),(d),( 1 (2) L 表示 L 的反向弧 L yyxQxyxPd),(d),( L yyxQxyxPd),(d),( 對坐標的曲線積分必

42、須注意積分弧段的方向?qū)ψ鴺说那€積分必須注意積分弧段的方向! 小結(jié)小結(jié) 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） 3. 計算計算 , )( )( : ty tx L : t L yyxQxyxPd),(d),( tttQttPd )(),( )(),( )(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(: xxxQxxP b a d )(,)(, )(x L yyxQxyxPd),(d),( 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） z

43、zyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( :, )( )( )( t tz ty tx )(, )(),(tttP)(t )(t )(t 4. 兩類曲線積分的聯(lián)系兩類曲線積分的聯(lián)系 L yQxPddsQP L dcoscos zRyQxPddd sRQPd coscoscos )(, )(),(tttQ )(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 : 第九章第九章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 曲線積分曲線積分 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下下） F 的距離成正比, 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. ),(yxM處受 恒指向原點, )0,(aA沿橢圓 此質(zhì)點由點1 2 2 2 2 b y a x 沿逆時針移動到 , ),0(bB O ),(yxM x y )0 ,(aA ), 0(bB 提示提示: yykxxkWdd AB :AB taxcos tbysin 2 0:t (解見 P198 例5) , ),(yxOM F 的大小與M 到原點 O F 的方向 力F 的