彈性力學(xué)與有限元分析試題及參考答案

1、彈性力學(xué)與有限元分析試題及參考答案四、分析計(jì)算題1、試寫出無(wú)體力情況下平面問(wèn)題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，a，b，c，d，e，f為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程；（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件；（4）對(duì)于多連體的位移單值條件。（1）此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須a=-f，d=-e。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足a+b=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足a=b=-c/2。上兩式是矛盾的，

2、因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量，體力不計(jì)，q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)c1，c2，c3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應(yīng)力分量，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量，代入平衡微分方程可知，已知應(yīng)力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程：將已知應(yīng)力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問(wèn)題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在。（1），；

3、（2），；（3），；其中，a，b，c，d為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：b=0，2a=c。（3）0=c；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：c=0，則，（1分）。5、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxo解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為，對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；

4、下邊，；左邊，；右邊，?？梢?jiàn)，上下兩邊沒(méi)有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布?jí)毫Γ╞0）的問(wèn)題。6、證明應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)，）。l/2l/2h/2h/2yxo解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為，對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?jiàn)，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力

5、a。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題。7、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。oxybqrg 解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)。由此可知 將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得2.3 直角三角形固定在剛性基礎(chǔ)上，受齊頂?shù)乃畨毫妥灾刈饔茫鐖D2.14所示。若按一個(gè)單元計(jì)算，水的容重，三角形平面構(gòu)件容重,取泊松比=1/6，試求頂點(diǎn)位移和固定面上的反力。解：按逆時(shí)針編碼，局部編碼與整體編碼相同：1-2-3建立坐標(biāo)（1） 求形函數(shù)矩陣： 圖（2.14）形函數(shù): 所以： 形函數(shù)的

6、矩陣為：（2） 剛度矩陣 可得： （3）位移列向量和右端項(xiàng) 由邊界條件可確定： 水壓力和構(gòu)件厚分別為： 自重為w與支座反力： 所以：由得到下列矩陣方程組：化簡(jiǎn)得：可得：將代入下式：固定面上的反力：從而可得支座反力為：這是y的線性方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即， 這兩個(gè)方程要求， 代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，沿y方向無(wú)面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，所以有上邊，沒(méi)有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達(dá)

7、式代入，并考慮到c=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒(méi)有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達(dá)式代入，則有由此可得，應(yīng)力分量為, , 雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為，其中v是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量，應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程（1分）還應(yīng)滿足相容方程（對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題）（對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界

8、條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)a（x，y），使得，同樣，將第二個(gè)方程改寫為（1分）可見(jiàn)也一定存在某一函數(shù)b（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數(shù)，使得，代入以上各式，得應(yīng)力分量，為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程，得簡(jiǎn)寫為將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程，得簡(jiǎn)寫為9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。oxyarg解：純?nèi)?/p>

9、次的應(yīng)力函數(shù)為相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為, , 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)在來(lái)考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，沒(méi)有水平面力，所以有對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為，斜面，沒(méi)有面力，所以有由第一個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由第二個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應(yīng)力分量為, , 設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為l，高為h，則。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為。因此，所求在這部分邊界上合

10、成的主矢應(yīng)為零，應(yīng)當(dāng)合成為反力?？梢?jiàn)，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。r2gr1gayxo解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來(lái)假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比。此外，每一部分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是l-1mt-2，和的量綱是l-2mt-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是l，因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)

11、式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是，四項(xiàng)的組合，而其中的a，b，c，d是量綱一的量，只與有關(guān)。這就是說(shuō)，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為, , 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來(lái)考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。左面，作用有水平面力，所以有對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見(jiàn)同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見(jiàn)因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為，斜面，沒(méi)有面力，所以有由第一個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意y值都應(yīng)成立，

12、這就要求由第二個(gè)方程，得對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求由此解得，從而應(yīng)力分量為 , , 位移邊界條件 對(duì)稱、固定邊和簡(jiǎn)支邊上支點(diǎn)的已知位移條件如下： 對(duì)稱軸: 法線轉(zhuǎn)角=0 固定邊: 撓度=0 (或已知值) 邊線轉(zhuǎn)角=0 (或已知值) 法線轉(zhuǎn)角=0 (或已知值) 簡(jiǎn)支邊: 撓度=0 (或已知值) 邊線轉(zhuǎn)角=0 (或已知值) 計(jì)算圖示四邊固定方板 方板的邊長(zhǎng)為l，厚度為t，彈性模型量為e，波松比=0.3，全板承受均布法向荷載，求薄板中的撓度和內(nèi)力。 單元?jiǎng)澐郑?為了說(shuō)明解題方法，采用最簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)22，即把方板分成四個(gè)矩形單元。由于對(duì)稱性，只需計(jì)算一個(gè)單元，例如，計(jì)算圖中有陰影的單元，單元的節(jié)

13、點(diǎn)編號(hào)為，。 此時(shí)，單元的a, b是 計(jì)算節(jié)點(diǎn)荷載: 由前面的均布荷載計(jì)算公式得：邊界條件： 邊界23和34為固定邊，因此節(jié)點(diǎn)2, 3, 4的撓度、邊線和法線轉(zhuǎn)角均為零。邊界12和14為對(duì)稱軸，因此x1 =0、y1 =0。于是，在4個(gè)節(jié)點(diǎn)和12個(gè)位移分量中,只有一個(gè)待求的未知量 。結(jié)構(gòu)的代數(shù)方程組： 這是一個(gè)單元的計(jì)算題目，單元?jiǎng)偠染仃囋诖颂幖礊榭倓偠染仃?。引入支承條件后，在總剛度矩陣中只取第一行、列元素，在方程組右端項(xiàng)中只保留第一個(gè)元素。于是結(jié)構(gòu)的代數(shù)方程為：同此解出 。其中 內(nèi)力: 利用式(4-2-6)可求得方板中點(diǎn)力矩為： 由表看出，網(wǎng)格越密，計(jì)算結(jié)果越接近于精確答案。還可看出，位移的精

14、度一般比內(nèi)力的精度高，這是因?yàn)樵谖灰品ㄖ校灰剖怯苫痉匠讨苯忧蟪龅?，而?nèi)力則是根據(jù)位移間接求出的。第三章 平面問(wèn)題有限單元法習(xí)題答案3-2圖示等腰直角三角形單元，設(shè)=1/4，記楊氏彈性模量e，厚度為t，求形函數(shù)矩陣n、應(yīng)變矩陣b、應(yīng)力矩陣s與單元?jiǎng)偠染仃噆e。【解】： 3-3正方形薄板，受力與約束如圖所示，劃分為兩個(gè)三角形單元，=1/4，板厚為t，求各節(jié)點(diǎn)位移與應(yīng)力。【解】：載荷向量： 3-4三角形單元i,j,m的j，m邊作用有如圖所示線形分布面載荷，求結(jié)點(diǎn)載荷向量。【解】：面力移置公式： 其中： 所以: 載荷分布函數(shù)：積分函數(shù)：所以:3-5圖示懸臂深梁，右端作用均布剪力，合力為p，取=1/

15、3，厚度為t，如圖示劃分四個(gè)三角形單元，求整體剛度方程?！窘狻浚?算例2： 正方形薄板平面應(yīng)力問(wèn)題的求解已知圖示正方形薄板，沿其對(duì)角線承受壓力作用，載荷沿厚度為均勻分布，p=20kn/m。設(shè)泊松比u=0，板厚t=1m，求此薄板應(yīng)力。 課本第42頁(yè)3.7節(jié)計(jì)算結(jié)果如下：變形：應(yīng)力：； ； 1、如圖1所示等腰直角三角形單元，其厚度為，彈性模量為，泊松比；單元的邊長(zhǎng)及結(jié)點(diǎn)編號(hào)見(jiàn)圖中所示。求(1) 形函數(shù)矩陣(2) 應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣(3) 單元?jiǎng)偠染仃?、解：設(shè)圖1所示的各點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)1（a，0），點(diǎn)2（a，a），點(diǎn)3（0，0）于是，可得單元的面積為 ，及(1) 形函數(shù)矩陣為(7分) ； (2) 應(yīng)變

16、矩陣和應(yīng)力矩陣分別為(7分)，； ，；(3) 單元?jiǎng)偠染仃?6分)圖12、圖2（a）所示為正方形薄板，其板厚度為，四邊受到均勻荷載的作用，荷載集度為，同時(shí)在方向相應(yīng)的兩頂點(diǎn)處分別承受大小為且沿板厚度方向均勻分布的荷載作用。設(shè)薄板材料的彈性模量為，泊松比。試求(1) 利用對(duì)稱性，取圖（b）所示結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象，并將其劃分為4個(gè)面積大小相等、形狀相同的直角三角形單元。給出可供有限元分析的計(jì)算模型（即根據(jù)對(duì)稱性條件，在圖（b）中添加適當(dāng)?shù)募s束和荷載，并進(jìn)行單元編號(hào)和結(jié)點(diǎn)編號(hào)）。(2) 設(shè)單元結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)分別為、，為使每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?，試在圖（b）中正確標(biāo)出每個(gè)單元的合理局部編號(hào)；并求單元?jiǎng)偠染?/p>

17、陣。(3) 計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載。(4) 應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。（a）（b）圖22、解：(1) 對(duì)稱性及計(jì)算模型正確(5分)(2) 正確標(biāo)出每個(gè)單元的合理局部編號(hào)(3分)(3) 求單元?jiǎng)偠染仃?4分)(4) 計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載(3分)(5) 應(yīng)用適當(dāng)?shù)奈灰萍s束之后，給出可供求解的整體平衡方程（不需要求解）。(5分)對(duì)稱對(duì)稱 如圖3.11所示的平面三角形單元，厚度t=1cm，彈性模量e=2.0*105mpa，泊松比=0.3，試求插值函數(shù)矩陣n，應(yīng)變矩陣b，應(yīng)力矩陣s，單元?jiǎng)偠染仃噆e。解：此三角形單元可得：2=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8

18、u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0b=1/2* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 0 1 0.3 0d=e/(1-2)* 1 0 =e/0.

19、91* 0.3 1 0 0 0 (1-)/2 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0s=d*b=e/0.91* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0k=bt*d*b*t*=e/36.4* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35

20、0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7k=bt*d*b*t*=e/36.4* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下圖中所示的三角形的單元插值函數(shù)矩陣及應(yīng)變矩陣，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力，求出主應(yīng)力及方向。若在單元jm邊作用有線性分布面載荷（x軸），求結(jié)點(diǎn)的的載荷分量。解：如圖2=64/3，解得以下參數(shù)：a1=19 a2=-2 a3=6； b1

21、=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；n1=64/3*(19-3x-y) n2=64/3*(-2-3x-3y)n3=64/3*(6-x+4y)故n= ni 0 nj 0 nm 0 0 ni 0 nj 0 nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0b=1/2* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0=64/3* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 0d=e/(1-2)* 1 0 0 0 (1-)/2 1 0 -3 0 4 0 -1 0單元應(yīng)力矩陣

22、s=d*b= e/13(1-2)* 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-)/2 -1 -3 -3 4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4單元應(yīng)力=s*q= e/13(1-2)* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4 1.43.13 解：二維單元在x,y坐標(biāo)平面內(nèi)平移到不同位置，單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?，在平面矩?80時(shí)變化，單元作上述變化時(shí)，應(yīng)力矩陣不變化。（0,1）（2,1）3.14（2,0）（0,0）yx解：令，而，單元單元： 由和擴(kuò)充kz（總剛

23、度陣）而，其中，化簡(jiǎn)得：則，3.15如圖所示有限元網(wǎng)格，單元厚度，彈性模量，泊松比。回答下述問(wèn)題：（1）結(jié)點(diǎn)如何編號(hào)才能使結(jié)構(gòu)剛度矩陣帶寬最?。浚?）如何設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)？ （3）形成單元?jiǎng)偠染仃嚥⒓山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣。（4）如果施加一定載荷，擬定求解步驟。 (1) (2) （3）解：1、節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖(2)所示；2、如圖(3)設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)；3、如圖(2)所示各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(以m為單位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.

24、12)解：?jiǎn)卧?hào)123456相鄰結(jié)點(diǎn)134557225466343678對(duì)于單元號(hào)1：；對(duì)于單元號(hào)2：；對(duì)于單元號(hào)3：；對(duì)于單元號(hào)4：；對(duì)于單元號(hào)5：；對(duì)于單元號(hào)6：；平面三角形單元的面積均為 彈性矩陣均為 應(yīng)變矩陣 應(yīng)力矩陣 單元?jiǎng)偠染仃?結(jié)構(gòu)剛度矩陣為： 若施加一定載荷，求解步驟為：1、對(duì)單元編號(hào)，并列出各單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號(hào)；2、計(jì)算外載荷的等效結(jié)點(diǎn)力，列出結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)載荷列陣；3、計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚕M集結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣4、引入邊界條件，即根據(jù)約束情況修正結(jié)構(gòu)有限元方程，特別是消除整體剛度矩陣的奇異性，得到考慮約束條件的可解的有限元方程。5、利用線性方程組的數(shù)值解法，對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元方程進(jìn)行求

25、解，得到所有各結(jié)點(diǎn)的位移向量。最后根據(jù)需要求解單元應(yīng)力。3.16一長(zhǎng)方形薄板如圖所示。其兩端受均勻拉伸。板長(zhǎng)12cm,寬4cm，厚1cm。材料，泊松比。均勻拉力。使用有限元法求解板的內(nèi)應(yīng)力，并和精確解比較（提示：可利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，并用2個(gè)三角形單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散）。解：解：結(jié)點(diǎn)編號(hào) 12 34單元號(hào)12x坐標(biāo) 012 012相鄰結(jié)點(diǎn)13y坐標(biāo) 00 442234平面三角形單元的面積均為 應(yīng)力矩陣為：?jiǎn)卧?的應(yīng)變距陣為：?jiǎn)卧?的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋簡(jiǎn)卧?的應(yīng)變距陣為：?jiǎn)卧?的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋嚎倓偠染仃嚍椋何灰品至繛椋狠d荷列陣為：因?yàn)?可以得單元1的單元應(yīng)力： 單元2的單元應(yīng)力： 長(zhǎng)方形薄板內(nèi)應(yīng)力的精

26、確解為：拉應(yīng)力，用有限元法求解出的結(jié)果與精確解大致相等。3.17 驗(yàn)證三角形單元的位移差值函數(shù)滿足及。解：平面三角形形函數(shù)為：，其中，分別是行列式2a中的第一行，第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。行列式中，任一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行的元素與其它行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，故有：當(dāng)，同時(shí)有，同理也有：，即。3.18 推導(dǎo)如圖所示的9節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)。解:三維桿單元的形狀函數(shù)， 在局部坐標(biāo)系中令節(jié)點(diǎn)1,5,2所對(duì)應(yīng)的帶入式得到節(jié)點(diǎn)1,5,2僅在x方向上的形函數(shù)： 同理可得： 由，即節(jié)點(diǎn)2,6,3，可得到沿著全局坐標(biāo)系y軸的形狀函數(shù)(通過(guò)變量輪換)

27、，節(jié)點(diǎn)1的形函數(shù)即x，y方向的乘積：由此可得：同理可整理得：，3.19 如圖所示為一個(gè)桁架單元，端點(diǎn)力為u1，u2，端點(diǎn)位移為u1，u2，設(shè)內(nèi)部任一點(diǎn)的軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)：推導(dǎo)其形函數(shù)矩陣n。解：軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)，寫成向量形式為，設(shè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入向量形式的位移函數(shù)解得：則由位移函數(shù)可得形函數(shù)為：4.1 答：軸對(duì)稱三角形環(huán)單元不是常應(yīng)變單元，如果彈性體的幾何形狀、約束條件及載荷都對(duì)稱于某一軸，則所有的位移應(yīng)變及應(yīng)力也是對(duì)稱于此軸，這樣問(wèn)題稱為軸對(duì)稱。軸對(duì)稱三角形環(huán)單元與平面常應(yīng)變單元是不同的，軸對(duì)稱三角形環(huán)單元的應(yīng)變不是常數(shù)矩陣，其應(yīng)變矩陣b=b b b,其中b=，

28、（i,j,m）。應(yīng)變分量，都是常量，但環(huán)向應(yīng)變不是常量，它與，中的r和z有關(guān)。4.2 答：軸對(duì)稱問(wèn)題中，剛度自由度：環(huán)向位移，徑向位移，軸向位移。以三角環(huán)單元平均半徑、平均高度進(jìn)行計(jì)算的單元?jiǎng)偠染仃?，配合以精確積分所得的等效結(jié)點(diǎn)載荷矩陣，計(jì)算的結(jié)果還是不錯(cuò)的！4.3 軸對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)單元a和b，設(shè)材料的彈性模量為e，泊松比為 = 0.15，試手算這兩個(gè)單元的剛度矩陣。 解：對(duì)于單元，由題可知：?jiǎn)卧猘的截面面積為單元a的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以的剛度矩陣為對(duì)于單元，由題可知單元的截面面積為單元的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以單元的剛度矩陣為5.1 答

29、：桿件受到縱向（平行于桿軸）載荷的作用，這樣桿件的拉壓?jiǎn)栴}；桿件受到橫向（垂直于桿軸）載荷的作用，這是梁的彎曲問(wèn)題。桿件受到力相似到薄板就有，薄板受到縱向載荷的作用，這是平面應(yīng)力問(wèn)題；薄板受到橫向載荷的作用，這是薄板的彎曲問(wèn)題。薄板的彎曲可以認(rèn)為是梁彎曲的推廣，是雙向的彎曲問(wèn)題，中面法線在變形后保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線，中面在變形后，其線段和面積的投影形狀保持不變（小撓度薄板）。已知中面的撓度，而縱向位移、，主要應(yīng)力分量，。某一點(diǎn)的位移：，。某一點(diǎn)的應(yīng)力：,彈性曲面微分方程,其中板的抗撓剛度。5.2 答：矩形薄板單元：薄板單元位移函數(shù)并不滿足連續(xù)性或相容性要求，采用這種位移函數(shù)的單元

30、是非協(xié)調(diào)單元，這種四節(jié)點(diǎn)矩形彎曲單元變形后，其撓度面在單元間雖然互相連續(xù)，但其法向?qū)?shù)并不連續(xù)，單元間在變形后是不連續(xù)光滑（有棱）的，當(dāng)單元逐漸取小的時(shí)候，還能夠收斂于精確解。三角形薄板單元：常使用面積坐標(biāo)，分析表明，只以撓度 及其一階導(dǎo)數(shù) 作為節(jié)點(diǎn)的位移函數(shù)用一般的形狀函數(shù)是不可能構(gòu)造滿足相容性的薄板單元，需再加上二階導(dǎo)數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)。在相鄰單元之間，撓度是連續(xù)的，但法向的斜率是不連續(xù)的，這種位移模式是非協(xié)調(diào)單云，收斂不如矩形單元，單元足夠小，節(jié)點(diǎn)增多，如六節(jié)點(diǎn)三角形，九節(jié)點(diǎn)三角形等。5.3談?wù)撛谄矫鎽?yīng)力和彎曲狀態(tài)組合的情況下，三角形剛度矩陣的特點(diǎn)（1） 平面內(nèi)的作用力產(chǎn)生的變形不影響彎曲變

31、形，反之亦然（2） 節(jié)點(diǎn)把轉(zhuǎn)向 在兩種應(yīng)力狀態(tài)下都不加入到變形中，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力也不存在，將平面應(yīng)力狀態(tài)和彎曲狀態(tài)加以組合后，單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量是 要指出的是，在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)位移不包括 ，但為了下一步將局部坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠汝嚀Q到總體坐標(biāo)系下進(jìn)行集成，由于平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)力和平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移 互不影響，彎曲應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移互不影響，所以組合應(yīng)力狀態(tài)下的平板、薄板單元的單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢海?其中矩陣和分別是平面應(yīng)力問(wèn)題和薄板彎曲問(wèn)題的相應(yīng)子矩陣，三角形單元的單元?jiǎng)偠染仃囀?818矩陣。6.1 結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性：結(jié)構(gòu)的固有頻率及其相應(yīng)的模型，

32、以及在隨著時(shí)間而變形的外加激振力的激勵(lì)下，機(jī)器或結(jié)構(gòu)被激起的位移，應(yīng)力或稱被激起的動(dòng)力響應(yīng)，機(jī)械產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)性能是其重要的性能指標(biāo)，尤其對(duì)現(xiàn)代復(fù)雜、高速、重載精密機(jī)械系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)性能是影響其工作性能及產(chǎn)品指標(biāo)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性問(wèn)題早在上個(gè)世紀(jì)30年代就引起人們的重視，動(dòng)態(tài)特性的發(fā)展為機(jī)械動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。6.2 結(jié)構(gòu)離散后，在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力平衡為：其中,分別以慣性力、阻尼力和動(dòng)力載荷均為矢量，為彈性力，彈性力矢量可用節(jié)點(diǎn)位移和剛度矩陣表示為：=式中剛度矩陣的元素為節(jié)點(diǎn)j的單位位移在節(jié)點(diǎn)i引起的彈性力，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可利用質(zhì)量矩陣和節(jié)點(diǎn)加速度表示慣性如下：=式中質(zhì)量

33、矩陣為節(jié)點(diǎn)j的單位加速度在節(jié)點(diǎn)i引起的慣性力，設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼（滯粘），可用阻尼矩陣c和節(jié)點(diǎn)速度，表示阻尼如下：=，將各式帶入：+=，記=，=。則運(yùn)動(dòng)方程：+=6.3單元的質(zhì)量矩陣：= 質(zhì)量矩陣是對(duì)稱陣，各節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量互相耦合，即平動(dòng)慣性和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性之間耦合，如果把單元的一致質(zhì)量集中的分配在它們的節(jié)點(diǎn)上，則此質(zhì)量矩陣成為集中質(zhì)量矩陣質(zhì)量分配原則：按靜力學(xué)平行力的分配法則，將單元的一致質(zhì)量矩陣用集中于節(jié)點(diǎn)外的質(zhì)量來(lái)代替，形函數(shù)計(jì)算所得的m稱為一致質(zhì)量矩陣。6.5 結(jié)構(gòu)阻尼（只與結(jié)構(gòu)本身材料性質(zhì)有關(guān)）結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)過(guò)程中，如果沒(méi)有能量的耗散，振動(dòng)將永遠(yuǎn)保持由初始條件決定的振幅持續(xù)不停，但實(shí)際上，結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)

34、的振幅都會(huì)隨時(shí)間而衰減，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，這是因?yàn)橄到y(tǒng)的能量因某些原因而消耗，這種能量的耗散作用稱阻尼，由阻尼使振動(dòng)衰減的系統(tǒng)稱為阻尼系統(tǒng)。在結(jié)構(gòu)內(nèi)部阻尼是非粘線的，但它近似于線性的，彈性材料，特別是金屬材料表示一種結(jié)構(gòu)阻尼的性質(zhì)，這種阻尼是由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力和變形之間產(chǎn)生了相位滯后。產(chǎn)生能量耗散的原因有結(jié)構(gòu)的內(nèi)摩擦（或粘性）構(gòu)件接口處的摩擦、周圍介質(zhì)（如空氣、建筑物地基）的阻尼影響等，但有關(guān)阻尼的作用機(jī)理，目前尚未完全研究清楚。1.推導(dǎo)橫截面積為a的一維桁架架構(gòu)單元?jiǎng)偠染仃?。解：設(shè)桿件兩端點(diǎn)位i，j，為單元局部坐標(biāo)，表示單元任一截面的位置，則其發(fā)生的位移：u=a0+b1，v=b0

35、+b1+b22+b33，即： u 1 0 0 0 0 = *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）t v 1 0 0 2 2 h 記u=u,v=h* ，由i，j兩端的位移分量可得：=g* ,1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0其中g(shù)= 0 0 1 0 0 0 給上式左乘g-1,則有 1 0 0 l 0 0 0 1 l 0 l2 l3 0 0 1 0 2l 3l2u=h* g-1*,令n= h* g-1n1=1-/l 0 0 /l 0 0, n2=0 1-3/l2+2/l3 *（1-/l）2 0 3/l2+2/l3 *（/l-1）*/l， 應(yīng)用幾何物理方程可得：= n = *=b* n

36、 利用虛功原理推得：ke=e*= ea/l 0 12eiz/l3 對(duì) 0 6eiz/l2 4eiz/l 稱 -ea/l 0 0 -ea/l 0 -12eiz/l3 -6eiz/l2 0 -12eiz/l3 0 -6eiz/l2 2eiz/l 0 -6eiz/l2 -ea/l2.如圖2為一個(gè)平面超靜定桁架結(jié)構(gòu)，在載荷p的作用下，求各個(gè)桿的軸力。此結(jié)構(gòu)可以看成由14,24,34三個(gè)桿組成的，每個(gè)桿單元的兩端為桿單元的結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的水平，鉛直位移分別用u、v表示。解：由題意可得：各桿件在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?1 0 -1 0 0 0 0 0ke=ea/l -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0圖2 桁架超靜定結(jié)構(gòu)對(duì)于14桿轉(zhuǎn)角=/2+，cos=-co