2.1定積分求面積ppt課件

1、4 4 定積分的應用定積分的應用 一一. .微元法微元法 二二. .幾何應用幾何應用 The Application of Definite Integrals l 用定積分解決實際問題，應先明確 l 兩個問題： 第一，定積分能解決哪類問題？第一，定積分能解決哪類問題？(共性共性) 第二，用定積分解決這類問題方法的關第二，用定積分解決這類問題方法的關 鍵是什么？鍵是什么？ 一、微元法一、微元法 第一個問題：用定積分所解決問題的共性：第一個問題：用定積分所解決問題的共性： 2. 這個在這個在a,b上分布的整體量等于其所有上分布的整體量等于其所有 1. 都是求在都是求在a,b非均勻分布的一個整體量

2、，非均勻分布的一個整體量， 如：面積、體積、曲線弧長；作功、引如：面積、體積、曲線弧長；作功、引 力、總成本、總利潤等等；力、總成本、總利潤等等； 子區(qū)間局部量的總和子區(qū)間局部量的總和(可和可和)，具體地講：，具體地講： )()()(aFbFdxxf b a )( 1 , 1 xF n k xx kk )()()( kkk xoxxFxF 因因 )()(xFddxxf b a b a xdFdxxf)()(亦即亦即 )( 1 xF n k k 記作記作 設設F(x)可微可微 第二個問題：用定積分解決問題的關鍵第二個問題：用定積分解決問題的關鍵 在找出整體量的微元：在找出整體量的微元：).(xF

3、d 微元法解決問題的步驟微元法解決問題的步驟 1. 寫出實際問題整體改變量的微元表達式：寫出實際問題整體改變量的微元表達式： )()()()(xFxfdxxfxFd 通通常常 2. 用定積分求出整體改變量：用定積分求出整體改變量： .)()()()( b a b a dxxfxdFaFbF 二、定積分的幾何應用二、定積分的幾何應用 1. 1. 平面圖形的面積平面圖形的面積AreaArea） l用微元法求面積用微元法求面積 dxxgxfAd)()( b a AdA b a dxxgxf)()( 例例 1 求由求由 和和xy 2 1 xy 8 2 所圍圖形的所圍圖形的 面積面積.(如圖如圖) 考慮

4、考慮:求面積前需要做那些準備工作求面積前需要做那些準備工作? 84 1 dA 2 dA 解解 從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部 , 21 RR 和和 兩塊面積的微元分別為：兩塊面積的微元分別為：分分: dxxgxfdA)()( 1 dxxgxfdA)()( 2 dxxx)8( 2 1 dxxx)8(8 8 4 82dxx 8 4 2 3 2 )8( 3 2 4 1 xx 3 128 16 3 16 4 dxxxA8 2 1 4 8 4 8 2 3 )8( 3 2 2x 80 3 4 36 l 用微元法求面積 dyygyfAd)()( d c AdA d c

5、dyygyf)()( dA 求面積前需要做的準備工作有求面積前需要做的準備工作有: (1) 最好能作出草圖最好能作出草圖,弄清邊界曲線的方程弄清邊界曲線的方程; (2) 根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元; (3) 確定積分區(qū)間確定積分區(qū)間,為此常需要求出邊界曲線為此常需要求出邊界曲線 交點的坐標交點的坐標. (如圖如圖) 例例 2 再求由再求由 和和xy 2 1 xy 8 2 所圍圖形的所圍圖形的 面積面積.(如圖如圖) 4 2 )0, 8( 解解 dx ygyfdA)()( dyyyA28 2 4 2 4 2 23 3 1 8 yyy 16 3 64 32

6、4 3 8 16 dyyy2)8( 2 36 那種方法好那種方法好 ？ -1-0.50.51 -1 -0.5 0.5 1 y dx ty tx 3 3 sin cos 例例3 求星形線所圍面積，求星形線所圍面積， 它的參數(shù)方程為：它的參數(shù)方程為： )20( sin cos 3 3 t ty tx )1( 3 2 3 2 yx 直角坐標方程直角坐標方程 解解 由對稱性只需求出由對稱性只需求出(1/4 )面積即可。面積即可。 ydxdA )cos(sin 33 tdt 1 0 4ydxA 0 2 33 cossin4 tdt 0 2 23 )sin(cos3sin4 tdttt 2 0 24 )s

7、in1 (sin12 tdtt 2246 135 24 13 12 8 3 例例4 用微元法推導由極坐標給出的曲線用微元法推導由極坐標給出的曲線C： )()( rr )0(),cos1( aar 線線 l用微元法先推導用微元法先推導 l 極坐標系下求面積極坐標系下求面積 l 的表達式的表達式 o r d )( r dA )( rr d 所圍的面積所圍的面積,并求心臟并求心臟 所圍圖形的面積所圍圖形的面積. )()( 2 1 半半徑徑弧弧長長 dA)()( 2 1 rdr drdAA)( 2 1 2 解解 心臟線的對稱心臟線的對稱 性是明顯的，因性是明顯的，因 此此 1234 -2 -1 1 2

8、 )cos1(2 y drA)( 2 1 2 0 2 da 0 22 )cos1( da 0 222 ) 2 cos2( tdta 2/ 0 42 cos24 2/ t令令 22 2 3 224 13 8aa 例例5 求雙紐線：求雙紐線： 2sin4 2 所圍封閉所圍封閉 圖形的面積。圖形的面積。 解解(當你不會作封閉曲線的圖形時，如何通過當你不會作封閉曲線的圖形時，如何通過 分析求出面積？分析求出面積？) drdAA)( 2 1 2 分析分析 使用公式：使用公式： 解這個問題的難點在確定積分限。解這個問題的難點在確定積分限。 , 02sin4 2 ,2 X對對于于,又又是是周周期期函函數(shù)數(shù) 注意到注意到 每兩個零點曲線封閉一次每兩個零點曲線封閉一次. 變化過程中，變化過程中， ，或或 32220 ，或或 2 3 2 0 由于周期性的變化由于周期性的變化,你會發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重你會發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重 對對稱稱，因因為為即即又又關關于于) 4 ( xy 復出現(xiàn)在第一、三象限復出現(xiàn)在第一、三象限,且圖形關于原點對且圖形關于原點對 稱，稱， 故有故有 進而得進而得 面面積積，就就得得到到上上積積分分至至因因此此只只要要在在 4 1 , 4 0 dA 2 4 0 2 1 4 全全面面積積 4 0 2sin42