江西省師范大學(xué)附屬中學(xué)九江第一中學(xué)高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、2016屆江西師大附中、九江一中第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題命題人：劉建華本試卷分為第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第i卷（選擇題 共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意.）1.設(shè)，則 ( )abcd2正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值是a2 b3 c4 d53.函數(shù)滿足，則的值為（ ）a. b. c. d. 4曲線在點(diǎn)處的切線為若直線與，軸的交點(diǎn)分別為，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為（ ）a bc2d5設(shè)命題甲：關(guān)于的不等式有解，命題乙：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間上恒為正值，那么甲是乙的（ ）

2、a充分不必要條件b必要不充分條件 c充要條件d既不充分也不必要條件6已知三點(diǎn)不在同一條直線上，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，是內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若，則直線一定過的（ ）a重心b垂心c外心d內(nèi)心7已知函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)為，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）abc d8由的圖象向左平移個(gè)單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到的圖象，則為（ ）abcd9已知實(shí)數(shù)變量滿足且目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則實(shí)數(shù) 的值為( )a.b.c.2d.110.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）abc2d11已知橢圓和雙曲線焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)，它們的公共焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，

3、則橢圓的離心率為（ ）a.b.c.d.12設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，有，在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）abcd 第ii卷（非選擇題 共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13. 已知雙曲線（，）的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為 14. dabc中，|cosacb=|coscab=，且=0，則ab長為 15. 正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 16. 四棱錐底面是一個(gè)棱長為2的菱形，且dab=60，各側(cè)面和底面所成角均為60，則此棱錐內(nèi)切球體積為 三、解答題（本大題共8小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列,且.（）求數(shù)列的

4、通項(xiàng)公式;（）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.某校在2 015年11月份的高三期中考試后,隨機(jī)地抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績并進(jìn)行了分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間.現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組80，90），第二組,.第六組,得到如右圖所示的頻率分布直方圖.（）試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（）這50名學(xué)生中成績在120分（含120分）以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在130分（含130分）以上的人數(shù)記為，求的分布列和期望19.如圖, 已知四邊形和均為直角梯形，且，平面平面,（）證明：ag平面bde;（）求平面和平面所成銳二面角的余弦值

5、.20.如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于兩點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與的斜率分別為.試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由21.已知函數(shù)(其中,且為常數(shù))（）若對于任意的,都有成立,求的取值范圍;（）在（）的條件下,若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.abcdeo請考生在第（22），（23），（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時(shí)用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖所示，ac為o的直徑，d為的中點(diǎn)，e為bc的中點(diǎn)（）求證：deab；

6、（）求證：acbc2adcd （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且滿足.（）求曲線的普通方程；（）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線、分別交于、兩點(diǎn)，求.（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)不等式的解集為,.（）證明：；（）比較與的大小.評分參考1.b 2.a 3.c 4.c 5.b 6.a 7.c 8.b 9.d 10.d 11.a 12.b 13. 14. 15.9 16.解析:11. a 在橢圓中 ，在雙曲線中所以，即，則所以，由題知，則橢圓離心率12.

7、 b 令，函數(shù)為奇函數(shù)，時(shí)，函數(shù)在為減函數(shù)，又由題可知，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以 則，.即17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列,且. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為由,因?yàn)?所以.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（）(方法一)依題意得,則由-得所以數(shù)列的前項(xiàng)和(方法二)因?yàn)?所以18.某校在2 015年11月份的高三期中考試后,隨機(jī)地抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績并進(jìn)行了分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間.現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組80，90），第二組,.第六組,得到如右圖所示的頻率分布直方圖.（）試估

8、計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（）這50名學(xué)生中成績在120分（含120分）以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在130分（含130分）以上的人數(shù)記為，求的分布列和期望【解析】（）根據(jù)頻率分布直方圖，得:成績在120，130）的頻率為1（0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810）=10.88=0.12； 2分所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?50.1+950.24+1050.3+1150.16+1250.12+1350.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以該校的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?07； 4分（）

9、根據(jù)頻率分布直方圖得，這50人中成績在130分以上（包括130分）的有0.0850=4人，而在的學(xué)生共有 5分所以的可能取值為0、1、2、3， 6分所以p（=0）=， p（=1）=， p（=2）=， p（=3）=； 10分所以x的分布列為 數(shù)學(xué)期望值為=0+1+2+3=1.2 12分19.如圖, 已知四邊形和均為直角梯形，且，平面平面,（）證明：ag平面bde;（）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.【解析】由平面，平面, 平面bceg, .2分 根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得.3分（）設(shè)平面bde的法向量為，則 即 ， ，平面bde的一個(gè)法向量為.5分 ， ，ag平面bde. .7

10、分（）設(shè)平面的法向量為，平面和平面所成銳二面角為.8分因?yàn)?由得，.10分平面的一個(gè)法向量為，.故平面和平面所成銳二面角的余弦值為.12分20. 如圖，已知橢圓的離心率為，其左、右頂點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于兩點(diǎn) （）求橢圓的方程； （）設(shè)直線與的斜率分別為.試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【解析】（）依題意可知. 所以橢圓的方程為: 4分 （）(方法一)設(shè)直線的方程為,直線的方程為. 5分聯(lián)立方程組 7分解得點(diǎn)的坐標(biāo)為同理,可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為 9分由三點(diǎn)共線,得化簡有. 11分已知同號,所以.故存在,使得成立. 12分(方法二)當(dāng)直線垂直于軸時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)分

11、別為所以此時(shí)直線與的斜率分別為有. 6分由此猜想:存在滿足條件.下面證明猜想正確.當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的方程為,又設(shè).聯(lián)立方程組 8分 11分由此可得猜想正確.故存在,使得成立. 12分21. 已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)) （）若對于任意的,都有成立,求的取值范圍; （）在（）的條件下若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.【解析】（）由知 1分 當(dāng)時(shí),對于恒成立,在上單調(diào)遞增 ,此時(shí)命題成立; 3分 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),有.這與題設(shè)矛盾,不合. 故的取值范圍是 5分 （）依題意,設(shè),原題即為若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.顯然函數(shù)與的單調(diào)性是一致的. 當(dāng)時(shí),

12、因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞減,上遞增,所以在上的最小值為,由于,要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),需滿足或,解得或; 7分 當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,且,所以此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn); 9分 當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),總有,所以在上必有零點(diǎn),又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,從而當(dāng)時(shí),在上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 11分 綜上所述,當(dāng)或或時(shí),方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根. 12分 請考生在第（22），（23），（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時(shí)用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑abcdeo（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖

13、所示，ac為o的直徑，d為的中點(diǎn)，e為bc的中點(diǎn)（）求證：deab； （）求證：acbc2adcd 【證明】： （）連接oe，因?yàn)閐為的中點(diǎn)，e為bc的中點(diǎn)，所以oed三點(diǎn)共線 2分因?yàn)閑為bc的中點(diǎn)且o為ac的中點(diǎn)，所以oeab，故deab. 5分（）因?yàn)閐為的中點(diǎn)，所以baddac，又baddcbdacdcb又因?yàn)閍ddc，decedacecd 8分adcdacce 2adcdac2ce 2adcdacbc10分（23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且滿足. （）求曲線的普通方程； （）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與