反對稱矩陣的性質(zhì)及應用畢業(yè)論文

1、本 科 畢 業(yè) 論 文論文題目： 反對稱矩陣的性質(zhì)及應用 學生姓名： 200800820244 學號： * 專業(yè)： 信息與計算科學 指導教師： 肖新玲 學 院： 數(shù)學科學學院 2012 年 5 月 20 日 畢業(yè)論文（設計）內(nèi)容介紹論文（設計）題 目 反對稱矩陣的性質(zhì)及應用選題時間2011.11完成時間2012.5論文（設計）字數(shù)6530關 鍵 詞 反對稱矩陣；性質(zhì)；秩；特征值論文（設計）題目的來源、理論和實踐意義：反對稱矩陣是矩陣論中經(jīng)常用到的特殊矩陣，在高等代數(shù)和線性代數(shù)中占有重要的地位。學習反對稱矩陣有助于更全面地掌握矩陣的相關知識，有助于對高等代數(shù)、線性代數(shù)和其它后繼課程的學習研究。論

2、文（設計）的主要內(nèi)容及創(chuàng)新點：本文主要描述反對稱矩陣的定義，研究反對稱矩陣的性質(zhì)及應用.包括反對稱矩陣的基本性質(zhì)，反對稱矩陣秩的性質(zhì)，特征值及特征向量的性質(zhì)以及反對稱矩陣在求矩陣特征值及秩，線性變換和歐式空間問題中的應用等。本文中例子的分析及歸納出的注意事項和小結即是本文的創(chuàng)新點附：論文（設計）本人簽名： 年 月 日 目 錄中文摘要：1英文摘要11.引言22反對稱矩陣的基本性質(zhì)22.1反對稱矩陣的定義22.2反對稱矩陣的基本性質(zhì)及證明32.3基本性質(zhì)的應用舉例63.反對稱矩陣秩的性質(zhì)83.1反對稱矩陣的秩的性質(zhì)及證明83.2秩的性質(zhì)的應用舉例94.反對稱矩陣特征值的性質(zhì)104.1 反對稱矩陣特

3、征值的性質(zhì)及證明104.2特征值性質(zhì)的應用舉例105.反對稱矩陣在歐式空間線性變換上的應用舉例116.總結11參考文獻12 反對稱矩陣的性質(zhì)及應用摘要：矩陣是高等數(shù)學中一個極其重要的概念并且有廣泛的應用，如線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程.這就使矩陣成為線性代數(shù)的一個主要研究對象.作為矩陣的一種特殊類型，反對稱矩陣有很多特殊性質(zhì)，是研究線性空間和線性變換問題的有利工具。本文主要描述反對稱矩陣的定義，研究反對稱矩陣的性質(zhì)及應用.包括反對稱矩陣的基本性質(zhì)，反對稱矩陣秩的性質(zhì)，特征值的性質(zhì)以及反對稱矩陣在求矩陣特征值及秩，線性

4、變換和歐式空間問題中的應用等.關鍵詞：反對稱矩陣；性質(zhì)；秩；特征值 abstract: matrix is a very important concepts in higher mathematics and its application is extensive, such as some important properties of linear equations is reflected in the nature of its coefficient matrix and augmented matrix, and the process of solution of equa

5、tions is to the process of transform these matrices,which makes the matrix become a main object of study of linear algebra. as a special type of matrix, antisymmetric matrix has a lot of the special nature which makes it become a powerful tool in study problem of the linear space and linear transfor

6、mation. the article mainly elaborates the definitions of antisymmetric matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of antisymmetric matrices, the properties of antisymmetric matrix rank, the properties of characteristic value,and the applications of antisym

7、metric matrix in the solution of matrix eigenvalue and rank of matrix, linear transformations and euclidean space problems etc.keywords: antisymmetric matrix; nature; rank; characteristic value1.引言 反對稱矩陣是矩陣論中經(jīng)常用到的特殊矩陣，在高等代數(shù)和線性代數(shù)中占有重要的地位。學習反對稱矩陣有助于更全面地掌握矩陣的相關知識，有助于對高等代數(shù)、線性代數(shù)和其它后繼課程的學習研究，也為讀者系統(tǒng)地學習矩陣論提

8、供參考。反對稱矩陣在高等代數(shù)和線性代數(shù)中占有很重要的地位，因此，很多學者都對反對稱矩陣做了比較深入的研究。如張海山在反對稱矩陣的若干性質(zhì)一文中，詳細地介紹了反對稱矩陣的基本性質(zhì)、秩的性質(zhì)和特征值與特征向量的性質(zhì)；謝良金在反對稱矩陣行列式的性質(zhì)一文中對反對稱矩陣的行列式性質(zhì)提出了自己的獨到見解；賈周與上官靈喜合寫的關于反對稱矩陣，討論了反對稱矩陣的行列式、特征值、合同標準型一級秩等方面的性質(zhì)和一些重要結果；何承源關注對反對稱矩陣，發(fā)表了反對稱矩陣的性質(zhì)和證明。雖然前人對這方面的內(nèi)容都做了些研究，時至今日，進一步開展這方面的研究將大有可為。2反對稱矩陣的基本性質(zhì) 在我們的學習中發(fā)現(xiàn)，對稱矩陣中的特

9、殊類型反對稱矩陣經(jīng)常出現(xiàn)，以下首先介紹其基本概念。2.1反對稱矩陣的定義定義 設a,若at=-a,則稱a為反對稱矩陣（也稱斜對稱矩陣）。當a為實對稱矩陣時，反對稱矩陣就稱為實反對稱矩陣。顯然，反對稱矩陣a=（）的元素有如下特征:命題1.1 設n階矩陣a=（），如果，則a是一個反對稱矩陣。 下面就反對稱矩陣的一些基本性質(zhì)展開討論：2.2反對稱矩陣的基本性質(zhì)及證明性質(zhì)1： 任一nn矩陣都可表為一對稱矩陣與一反對稱矩陣之和。證明： 設a為nn矩陣，a=（a+at）+ (a-at),由于（a+at）t=（at+(at)t）=at+a,則a+at是對稱矩陣，即（a+at）是對稱矩陣，（a-at）t=（a

10、t-a）=- (a-at),則（a-at）是反對稱矩陣。性質(zhì)2： 若a是反對稱矩陣，則其主對角線上元素全為零。證明： 由定義1可知成立。性質(zhì)3： 設a,b為n階反對稱矩陣，k為常數(shù)，為正整數(shù)，則：（1） ，ka，ab-ba為反對稱矩陣。（2） ab為對稱矩陣的充要條件為ab=ba。（3） 當為奇數(shù)時，為反對稱矩陣；當為偶數(shù)時，為對稱矩陣。證明： 利用對稱矩陣與反對稱矩陣的定義直接驗證即可。性質(zhì)4： 設a是任一n階矩陣，則a-at必為反對稱矩陣。證明： 因為（a-at）t=at-a=- (a-at)，所以a-at為反對稱矩陣。性質(zhì)5： 設a是奇數(shù)階的反對稱矩陣，則|a|=0.證明: 因為|a|=

11、|at|=|-a|=-|a|， 所以|a|=0.性質(zhì)6: 設a 是n階反對稱矩陣，b是n階對稱矩陣，則ab+ba是n階反對稱矩陣。證明： 由定義直接驗證即可。性質(zhì)7： 設a是n階實矩陣，則a是反對稱矩陣的充要條件是對任意n維列向量x，均有xtax=0.證明： 充分性:令，取x=+，其中表示第i個分量是1，其余分量為0的n元列向量。則xtax=(+)a (+)=a+ a + a+a = a + a = + =0.所以， =- ，i，j=1，2，,n.從而a為反對稱矩陣。必要性:因為a是反對稱矩陣，所以xtax=xt（-a）x=-（xtax）t=-xtax，從而xtax=0。性質(zhì)8： 設a為n階反

12、對稱矩陣，a*為其伴隨矩陣，則n為偶數(shù)時，a*為反對稱矩陣；n為奇數(shù)時，a*為對稱矩陣。證明： 由伴隨矩陣定義可知（a*）t=(at)*,且對任意數(shù)k，有（ka）*=kn-1a*。又a為反對稱矩陣，所以（a*）t=(at)*=(-a)*=(-1)n-1a*,從而，當n為奇數(shù)時，（a*）t=a*，即a為對稱矩陣。從而，當a為偶數(shù)時，（a*）t=-a*，即a為反對稱矩陣。性質(zhì)9： 若a為反對稱矩陣，則a與如下形式的矩陣合同： (*)證明: 因為a是一個反對稱矩陣，可設 現(xiàn)在對n用數(shù)學歸納法來證明。（1） 當n=1時，結論顯然成立。當n=2時,若，結論顯然也成立。 若取，則，所以a與合同。（2） 假

13、定對于階數(shù)小于n時的反對稱矩陣，結論成立。 現(xiàn)在證明對n（n3）的反對稱矩陣a結論也成立。10 若a的第一行全為零，即（0，, ）=（0,0，,0）時，則，此處b是n-1階反對稱矩陣。由歸納假定可知，存在一n-1階可逆矩陣q使： 令，則 再令，此處是n-1階單位矩陣，則 取，則 具有（*）的形式。20 若矩陣a的第一行不全為零，不妨設.這時我們可對a施行如下的初等變換：以乘以a的第一行，再以乘以a的第一列，把和-化為1和-1，然后以-（j=3，4，,n）乘以第二行分別加到第3,4，,n行，又以（j=3，4，,n）乘第二列分別加到第3,4，,n列，得到與a合同的矩陣 此處b是n-2階的反對稱矩陣

14、，即存在著可逆矩陣q1使 因b是n-2階的反對稱矩陣，按歸納假定，存在著n-2階可逆矩陣s1，使 令此處是2階單位矩陣，則令,于是具有矩陣（*）的形式。2.3基本性質(zhì)的應用舉例根據(jù)上面討論，下面舉例說明：例1. 設a為n階可逆反對稱矩陣，則n為偶數(shù)，且a-1也是反對稱矩陣。證明： 由性質(zhì)5可知，n為偶數(shù)。因為a-1=a*/|a|，由性質(zhì)8和性質(zhì)4可知a-1也是反對稱矩陣。注意：一個n階反對稱矩陣可逆的必要條件是n為偶數(shù)。n為偶數(shù)是n階反對稱矩陣可逆的必要條件而非充分條件，例如零矩陣是反對稱矩陣，其行列式為0，因而不可逆，特別地，當n為偶數(shù)時，是不可逆的。例2. 設a是n階可逆的反對稱矩陣，是n

15、維列向量，則是可逆矩陣的充要條件是k0.證明： 因a是n階反對稱矩陣，由題1知a-1也是反對稱矩陣。根據(jù)性質(zhì)7有=0.又a是可逆的，故=，所以=,因此可逆=0 k0.例3. 設a且a為反對稱矩陣，求證i+a可逆，且u=(a+i)-1(a-i)為正交陣。證法1： 若|i+a|=0，則齊次線性方程組（i+a）x=0必有非零解x，即（i+a）x=0。于是，xt(i+a)x=0 (1).由于a為實反對稱矩陣，故xt ax=0.所以由（1）可知xt x=0 矛盾。故i+a必可逆。uut=（a+i）-1(a-i)(a-i) t (a+i) -1 t =（a+i）-1(a-i)(-a-i)(a+i) -1

16、t =（a+i）-1(i-a)(i+a)(a+i) -1 t =（a+i）-1(i+a)(i-a)(at+i)-1 =(i-a)(i-a)-1=i.故u為正交陣。證法2： 因a是實反對稱矩陣，故a的特征根為0或純虛數(shù)，從而-1不是a的特征根，即|-i-a|0，從而，|i+a|0,即i+a可逆。 關于u為正交陣的證明同證法1.小結：（1）求一個a矩陣是否可逆有兩種方法，一種是ax=0只有零解，另一種是|a| 0。（2）在求反對稱矩陣的相關題目時，性質(zhì)7，即a為實反對稱矩陣，故xt ax=0經(jīng)常被用到.3.反對稱矩陣秩的性質(zhì)3.1反對稱矩陣的秩的性質(zhì)及證明引理12： 設a為n階矩陣（n2），那么秩

17、（a*）=性質(zhì)10： 設a是n階反對稱矩陣，且a中有一個r階主子式0，且含的r+2階主子式均為零，則r（a）=r.證明： 因反對稱矩陣的任一主子陣仍為反對稱矩陣，故當a有一個r階主子式0時，r必為偶數(shù)，從而a的任r+1階主子式全為0.不妨設位于a的左上角（否則可同時調(diào)換行與相應的列，使之位于左上角，這不影響行列式的值為0與否），記加a中第i行與第j列元素所成的加邊行列式為=.考慮r+2階主子式c=.|c|是含的一個r+2階主子式，據(jù)已知，|c|=0，進而知r（c*）1，故c*的2階主子式=0-=0，但與均是a的含的r+1階主子式，都為0；另一方面，=-；故|2=0=0.這樣，a的含的任一加邊子

18、式全為0，所以r（a）=r.性質(zhì)11: 設a是反對稱矩陣，若a的所有r+1階與r+2階主子式均為0，則r（a）r.證明: 對r用數(shù)學歸納法。 當r=0時，即已知a的對角元與2階主子式均為0，所以對任何的i，j，,但，所以時結論成立。假設r=k時，結論成立，即當a的所有k+1階與k+2階主子式均為0時，r（a）k.則當r=k+1時，已知a的所有k+2階與k+3階主子式均為0，此時若a的所有k+1階主子式也均為0，則由歸納法假設可得：r（a）kk+1;如果a有一個k+1階主子式0,則由已知條件知：所有含的k+2階與k+3階主子式均為0，于是r（a）=k+1，結論成立。由歸納法原理，結論對r0的整數(shù)

19、成立。性質(zhì)12： 設a是秩為r的反對稱矩陣，則a至少有一個r階主子式不為0.證明： 因為r（a）=r，所以a的所有r+1階子式全為0，當然a的所有r+1階主子式也全為0，此時若a的所有r階主子式全為0，則可知：r（a）r-1，矛盾，因此a至少有一個r階主子式不為0.3.2秩的性質(zhì)的應用舉例例4 f上兩個n階反對稱矩陣合同的充要條件是它們有相同的秩。證明： 設a,b是數(shù)域f上兩個n階反對稱矩陣。 充分性： 若秩a=秩b，根據(jù)性質(zhì)9，存在可逆矩陣p和q，使ptap=c,qtbq=c1.此處c和c1是具有形式(*)的矩陣。因秩(a)=秩(b)，所以c和c1主對角線上的分塊的塊數(shù)必相同，即c=c1。這

20、樣a與c合同，而c與b合同，根據(jù)合同的傳遞性，a與b合同。必要性: 若a,b合同，根據(jù)性質(zhì)9，a必與具有（*）形式的矩陣c合同，這樣，秩（a）=秩（c）=秩(b).注：合同矩陣有相同的秩。根據(jù)合同的定義可直接的出。例5 求證：若a為反對稱矩陣，則秩（a）為偶數(shù)。證明： 設秩（a）=r，由性質(zhì)12可知a必有一個r階主子式不為0，但a的任一主子式仍為反對稱矩陣，因此r為偶數(shù)。例6 設a為n階實可逆反對稱矩陣，b為n元實列向量，則秩=n.分析：本題涉及到反對稱矩陣、秩，應先考慮反對稱矩陣秩的相關性質(zhì)，由以上性質(zhì)可知應用性質(zhì)12。a為實可逆反對稱矩陣，故n為偶數(shù)且|a|0。要證秩=n，只需證=0即可。

21、證明：是n+1階反對稱矩陣，因為n+1為奇數(shù)，所以=0.又因為=+=0，又因為，根據(jù)性質(zhì)12，所以秩=n.4.反對稱矩陣特征值的性質(zhì)4.1 反對稱矩陣特征值的性質(zhì)及證明性質(zhì)13： 實的反對稱矩陣的特征值為純虛數(shù)或零。證明： 設a是實反對稱矩陣，為特征向量，則，即：得：,.所以，為純虛數(shù)或零。性質(zhì)14： 設是反對稱矩陣a的特征值，則也是a的特征值。證明： 由于是反對稱矩陣a的特征值，所以.,從而，其中n是a的階，所以也是a的特征值。性質(zhì)15: 若實矩陣a為反對稱矩陣，則可逆。證明： 由性質(zhì)13可知不是a的特征值，所以，所以可逆。4.2特征值性質(zhì)的應用舉例例7. 設a是n階實反對稱矩陣，b是n階可

22、逆實對稱矩陣，且ab=ba，則a+b是可逆矩陣。分析： 要求a+b可逆，就需求證|a+b|0，又a+b=b(e+b-1a),則只需求證|e+b-1a|0，即-1不是b-1a的特征值，由反對稱矩陣特征值相關性質(zhì)即可求證。證明： 由ab=ba及b可逆知：ab-1=b-1a，又a反對稱，b對稱，故（ab-1）t=（b-1）tat=-b-1a=-ab-1,所以ab-1=b-1a是實反對稱矩陣，從而知b-1a的特征值是0或純虛數(shù)，當然-1不是b-1a的特征值，故|e+b-1a|0.于是|a+b|=|b+a|=|b(e+b-1a)|=|b|e+b-1a|0,因此a+b是可逆矩陣。由例3和例7可知，應注意：

23、有關特征值方面的問題，-1不是a的特征值，則|e+a|0經(jīng)常用到。5.反對稱矩陣在歐式空間線性變換上的應用舉例用反對稱矩陣研究線性變換:例8. 歐式空間中的線性變換a:稱為反對稱變換，若.證明：反對稱當且僅當在一組標準正交基的矩陣是反對稱矩陣.證 充分性：設a=是線性變換在標準正交基，,下的矩陣，且反對稱，即，任給,v，記=(，,)x,=( ，,)y，則有a=(，,)ax, a=( ，,)ay，那么，所以為反對稱變換.必要性：設是反對稱變換，且，其中矩陣a=， ( ，,)為的標準正交基，那么，.因此(a,)=,(,a)=，所以=(,a)=-(a,)=-.即知為反對稱矩陣.小結：有本例題可知，若

24、求證一線性變換是反對稱變換，只需要求出其在（1，0，,0）,(0,1,0,0),(0,0,1)下的矩陣是反對稱矩陣即可。6.總結本文從基礎理論和實際應用方面討論了反對稱矩陣的基本性質(zhì)，給出反對稱矩陣有關秩及特征值方面的性質(zhì)，并引入了相關應用，對此我們要仔細琢磨和思考，努力掌握好反對稱矩陣的相關問題.參考文獻1北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1998.180-185，215-236，296-319.2劉玉森，蘇仲陽.高等代數(shù)應試訓練m.北京：地質(zhì)出版社，1995.205-255，401-431.3白迷偉.高等代數(shù)選進m.哈爾濱：黑龍江教育出版社,2000.123-182.262

25、-269.4樊惲，錢吉林，岑嘉評等。代數(shù)學詞典m.武漢：華中師范大學出版社，1994.21-116.5張海山.反對稱矩陣的若干性質(zhì).甘肅教育學院學報（自然科學版），2003，17（3），14-17.6賈周，上官靈喜.關于反對稱矩陣.南陽師范學院學報.2007，6（12），18-22.7曾瑞海.反對稱矩陣的秩.山西師范大學學報（自然科學版），2007，21（2），44-46. 13 山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）選題審批表學院：數(shù)學科學學院(章)系別/教研室：應用數(shù)學教研室時間：2011年10月25日課題情況題目名稱反對稱矩陣的性質(zhì)及應用課題性質(zhì)a基礎研究 b基礎應用研究 c應用研究教師姓名肖

26、新玲職稱講師學位碩士課題來源a.科研 b.生產(chǎn) c.教學 d.其它 e.學生自擬成果類別a.論文 b.設計主要研究內(nèi)容與研究目標矩陣是高等數(shù)學中一個極其重要的概念，是線性代數(shù)的一個主要研究對象。作為矩陣的一種特殊類型，反對稱矩陣有很多特殊性質(zhì)并且有廣泛的應用。本文主要描述反對稱矩陣的定義，研究反對稱矩陣的性質(zhì)及應用.包括反對稱矩陣的基本性質(zhì)，反對稱矩陣秩的性質(zhì)，特征值的性質(zhì)以及反對稱矩陣在求矩陣特征值及秩，線性變換和歐式空間問題中的應用等. 指導教師簽字： 年 月 日 選題學生簽字： 年 月 日系所或教研室審題意見負責人簽字: 年 月 日學院審批意見學院學位分委員會主任簽字: 年 月 日山東師

27、范大學本科畢業(yè)論文（設計）開題報告 論文題目：反對稱矩陣的性質(zhì)及應用 學院名稱：數(shù)學科學學院 專 業(yè)：信息與計算科學 學生姓名：石汝靜 學 號： 200800820244 指導教師： 肖新玲 2011年 11 月 16 日一、選題的性質(zhì) 研究型 二、選題的目的和意義矩陣是高等數(shù)學中一個極其重要的概念，是線性代數(shù)的一個主要研究對象。作為矩陣的一種特殊類型，反對稱矩陣有很多特殊性質(zhì)并且有廣泛的應用。學習反對稱矩陣有助于更全面地掌握矩陣的相關知識，有助于對高等代數(shù)、線性代數(shù)和其它后繼課程的學習研究，本文打算從基本的常用的性質(zhì)以及有關秩、特征值方面的性質(zhì)來研究反對稱矩陣，并用一些典型例子加以說明，為讀

28、者系統(tǒng)地學習矩陣論提供參考。三、與本課題相關的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預計可能有所創(chuàng)新的方面反對稱矩陣在高等代數(shù)和線性代數(shù)中占有很重要的地位，因此，很多學者都對反對稱矩陣做了比較深入的研究。如張海山在反對稱矩陣的若干性質(zhì)一文中，詳細地介紹了反對稱矩陣的基本性質(zhì)、秩的性質(zhì)和特征值與特征向量的性質(zhì)；謝良金在反對稱矩陣行列式的性質(zhì)一文中對反對稱矩陣的行列式性質(zhì)提出了自己的獨到見解；賈周與上官靈喜合寫的關于反對稱矩陣，討論了反對稱矩陣的行列式、特征值、合同標準型一級秩等方面的性質(zhì)和一些重要結果；何承源關注對反對稱矩陣，發(fā)表了反對稱矩陣的性質(zhì)和證明。以往的有關反對稱矩陣的文章都是理論行的文章，本文的創(chuàng)新點在于在

29、介紹反對稱矩陣性質(zhì)的基礎上預加上一些典型例題及注意事項和總結，使讀者在學習的基礎上學會如何正確適當?shù)睦谩Ｋ?、課題研究的可行性分析1.大學期間，我們學習了高等代數(shù)這門課程，矩陣式極其重要的內(nèi)容。反對稱矩陣作為矩陣的一種類型，研究起來有一定的基礎。2.指導教師非常熱情的指導。3課題研究前期準備工作充分。4.小組成員團結一致，互相學習，互相幫組。5.該課題有廣泛的應用，貼近學生實際，有實用效果，可供同學參考。五、課題研究的策略、方法和步驟本文綜合運用了數(shù)學方法，探索性研究法等多種方法對該論文進行了分析。本文首先給出反對稱矩陣的概念，然后對反對稱矩陣的性質(zhì)從基本常用的、秩、特征值方面對反對稱矩陣的性

30、質(zhì)進行分析，通過分析舉例說明性質(zhì)的應用。六、預期成果形式描述預期形成6000字左右的論文七、指導教師意見指導教師簽字：年 月 日八、學院學位分委員會意見 學院學位分委員會主任簽字： 年 月 日山東師范大學本科畢業(yè)論文（設計）教師指導記錄表學院：_數(shù)學科學學院_ 系別： _信息與計算科學_ 專業(yè)：_信息與計算科學論文（設計）題目：反對稱矩陣的性質(zhì)及應用學生姓名石汝靜學號200800820244指導教師肖新玲職稱講師計劃完成時間：2012-5-18指導情況紀錄（含指導時間、指導內(nèi)容）1、2011年11月15日，對論文的選題，選題的角度，選題的高度，所選課題應該涵蓋的范圍及研究內(nèi)容等注意問題作了一個

31、詳盡的解釋，并對論文的結構框架也有了大體的安排；2、2012年3月2日，寫出論文草稿；3、2012年3月22日，打印出初稿，對文章中層次不分明，結構內(nèi)容有交叉的地方提出修改意見；4、2012年4月22日，對論文二稿進行指導，按照意見繼續(xù)修改；5、2012年5月3日，對論文三稿進行指導，包括：論文格式，對論文補充引言部分，參考文獻的引用等；6、2012年5月12日，對論文四稿進行指導，對論文的格式提出進一步要求，包括格式、 中英文摘要、標點符號的使用等；7、2012年5月18日，對論文定稿前做認真審核工作，強調(diào)表格填寫中的注意事項。 指導教師簽字： 學生簽字：學院學位分委員會主任簽字： 年 月 日注：本科論文（設計）的指導應不少于5次，如表格空間不足可另附頁。指導教師意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒灧椒?、?shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒炇欠窈侠?，主要觀點或結果是否