二項(xiàng)式定理的應(yīng)用_第1頁(yè)
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用_第2頁(yè)
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用_第3頁(yè)
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用_第4頁(yè)
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1、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用二項(xiàng)式定理是中學(xué)代數(shù)中的一個(gè)重要定理，它的應(yīng)用課本上談得不多。本文舉例說(shuō)明，它在近似計(jì)算、整除求余、求和、證明等式、不等式以及其他相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用。1近似計(jì)算例1：計(jì)算(0.998)4的近似值(精確到0.001)解 (0.998)4=(10.002)4=140.00260.000220.0024，根據(jù)精確度的要求，從第三項(xiàng)起以后各項(xiàng)都可刪去。(0.998)4140.002=0.992。2證明組合恒等式例2：求證：。證 。而左邊的展開式中含x2n項(xiàng)的系數(shù)為=，右邊含項(xiàng)的系數(shù)為，故。例3：求證。證 3求解整數(shù)部分問(wèn)題例4：證明的整數(shù)部分為奇數(shù)。證 設(shè)的整數(shù)部分為I，小數(shù)部分為R，則

2、IR=， (1)032n1(n3，nN)證 例9：已知、b0，則(nN)證 =其中例10：設(shè) (1)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。這就是著名的平均值不等式，課本上沒(méi)有給出其證明，而用數(shù)學(xué)歸納法證明一般要采用所謂“逆向歸納法”，但這已超出中學(xué)教材的范圍?，F(xiàn)在我們應(yīng)用二項(xiàng)式定理給出不等式(1)的一個(gè)普通歸納法證明。證 當(dāng)n=1時(shí)，(1)顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(1)成立，則當(dāng)n=k1時(shí)，不妨設(shè)012kk1，記=R，令k1=Rt(t0)，則由歸納假設(shè)有R，即Rk12k。 (2)現(xiàn)只須證，即證，亦證， (3)注意到k1=Rt及(2)式有。(3)式成立故(1)式成立。6其他問(wèn)題例11：設(shè)=。(1)求證，其中(2)若，試求n的最小值。解 設(shè)f(x)= ，則由題設(shè)及二項(xiàng)式定理有 (1)f(1)=3nn=f(1)=1n=(2)易知f(0)=ao=2nn，由f(x)=(1x)nn，知

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