圓錐曲線的綜合問(wèn)題突破策略

1、圓錐曲線綜合問(wèn)題之重點(diǎn)突破類型1:關(guān)于弦的中點(diǎn)以及弦的垂直平分線問(wèn)題的策略這種問(wèn)題主要是需要用到弦 ab的垂直平分線l的方程，往往是利用點(diǎn)差法或者韋達(dá) 走理產(chǎn)生弦ab的中點(diǎn)坐標(biāo) m,結(jié)合弦ab與它的垂直平分線 l的斜率互為負(fù)倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線 l的方程，然后解決相關(guān)問(wèn)題。有時(shí)候題目的條件比較隱蔽，要分析后才能判定是有關(guān)弦 ab的中點(diǎn)問(wèn)題，比如：弦與某定點(diǎn)d構(gòu)成以d為頂點(diǎn)的等腰三角形(即|da|=|db| )、曲線上存在兩點(diǎn) ab關(guān)于直線m對(duì)稱等等.2【題1】橢圓c：二2 a2二 1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為r、f2,點(diǎn)p在橢圓c上，且 b2pf1 f1f2,pf1pf214萬(wàn)(1)求橢圓

2、c的方程; 2(2)若直線l過(guò)圓x4x2y0的圓心m ,交橢圓c于a、b兩點(diǎn)，且a、b關(guān)于點(diǎn)m對(duì)稱，求直線l的方程.【題1】解：(1) 2apfipf2又 f1f2f1f2pf2pf1202c.5故 b2 a2，橢圓c的方程為(2)圓的方程可化為:(x 2)2(y 1)25,故圓心 m ( 2,1)7分9分所求直線方程為y k(x 2) 1聯(lián)立橢圓方程，消去 y ,得2222_(4 9k )x (36k18k)x 36k36k 27 0 a、b關(guān)于m對(duì)稱2,xi x218k 9k0八一 丁 2 12 分24 9k8 k - l :8x 9y 25 0 14分9,請(qǐng)同學(xué)們嘗試點(diǎn)評(píng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)

3、題，實(shí)質(zhì)是“中點(diǎn)弦”問(wèn)題，還可以用“點(diǎn)差法” 體會(huì)，并且比較兩種解法的特點(diǎn)2【題2】知橢圓y2 1的左焦點(diǎn)為f,。為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)f且不與坐標(biāo)軸垂直的直 2求點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍.線交橢圓于a、b兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)g【題2】解：設(shè)直線 ab的方程為y k(x 1)(k 0),代入y2 i,整理得(1 2k2)x22_ 2_4kx 2k 2 0.q直線ab過(guò)橢圓的左焦點(diǎn) f,方程有兩個(gè)不等實(shí)根.記 a(xi, yi), b(x2, y2), ab 中點(diǎn) n(%, y0),則 xx24k22p-ab的垂直平分線ng的方程為y1 .y0-(xx0).令y0,得xgxokyo2k

4、22k2 1k22k2 1k22 k2 112 z4k2 2xg0,點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍為1(2,0).ab的垂直平分線”點(diǎn)評(píng)注意ab中點(diǎn)m以及兩直線的垂直關(guān)系求出“線段x2y2【題3】設(shè)f1、f2分別是橢圓 一+工=1的左、右焦點(diǎn). 54(1)若p是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求pf1 pf2的最大值和最小值；(2)是否存在過(guò)點(diǎn) a (5, 0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)c、d,使得|f2c|=|f2d|?若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .【題 3】解：(1)易知 a v5, b2,c1,fi( 1,0)才2(1,0),設(shè)p (x,y),一ooo 4 o1 o則 pf1 pf2 (1

5、 x, y) (1 x,y)x2y21 = x2 4 x21- x2355x v5,國(guó)，當(dāng)x 0,即點(diǎn)p為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，pf1 pf2有最小值3;x ,5, .5.當(dāng)xj5,即點(diǎn)p為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，pf1 pf2有最大值4點(diǎn)評(píng)本小題體現(xiàn)“消元”的思想和“函數(shù)”的思想，注意定義域(2)假設(shè)存在滿足條件的直線 1 ,易知點(diǎn)a (5, 0)在橢圓的外部,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線 l斜率存在，設(shè)為k,直線l的方程為yk(x5)22x y由方程組 54y k(x15)得(5k24)x250k2x 125k2 20 0依題意一 一 一 220(16 80k ) 0,設(shè)交點(diǎn)c(

6、xi, yj、dm，y2),cd的中點(diǎn)為r(x0,y),yox2k(x0又 |f2c|=|f2d|50k2xi2 , x0 一5k 4_25) ksf2rl kx225)kf2r25k25k2 420k5k2 4220k2,214 20 k20k )k kf2rk5k2 425k25k2 4 -20k2=20k2-4,而 20k2=20k24 不成立, 綜上所述，不存在直線1,使得|f2c|=|f2d|點(diǎn)評(píng)要注意從判別式得到k的范圍，對(duì)于條件 |2c|=|f2d不要輕易將點(diǎn) f2和c、d的坐標(biāo)用兩點(diǎn)間距離公式表示，否則陷入計(jì)算繁雜的圈套類型2:關(guān)于定點(diǎn)和定值問(wèn)題策略【題4】已知點(diǎn)p與點(diǎn)f (2

7、, 0)的距離比它到直線 x+4 = 0的距離小2,若記點(diǎn)p的軌跡 為曲線c.直線l與曲線c相交于 a b兩點(diǎn)，且 oal ob.(1)求曲線c的方程。(2)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【題4】(1)解法1:點(diǎn)p與點(diǎn)f (2, 0)的距離比它到直線 x+4=0的距離小2,所以點(diǎn)p與點(diǎn)f (2, 0)的距離與它到直線 x+2 = 0的距離相等.由拋物線定義得：點(diǎn) p在以f為焦點(diǎn)直線x +2=0為準(zhǔn)線的拋物線上,拋物線方程為y2 8x.解法2：設(shè)動(dòng)點(diǎn) p(x, y),則，(x 2)2 y2 |x4| 24時(shí)，(x 2)2 y2 ( x 6)2,化簡(jiǎn)得:8(x 2),顯然x 2,而x 4,

8、此時(shí)曲線不存在.4時(shí)，(x 2)2 y2 (x 2)2,化簡(jiǎn)得:8x.點(diǎn)評(píng)解法1巧妙地利用圓錐曲線的定義判斷曲線軌跡,解法2直接利用題目的條件建立等量關(guān)系，體現(xiàn)了 “分類討論”的思想方法(2)設(shè)直線l： y=kx+b與拋物線交于點(diǎn)(x1, y1 )、(x2, y2),若直線的斜率存在設(shè)為廣, y=kx b 2則【2 8x，ky2 8y8b0,6432kb 02 所以小:又；28x1_ ，行 x1x28x222yv264b2 i?由oa ob,得“七x1 x28k,直線為y k(x 8),所以l過(guò)定點(diǎn)(8,0)若直線l的斜率不存在，則直線 oa(或ob的斜率為1 y x得x 8,直線l過(guò)定點(diǎn)(8

9、、0)y 8x綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn)(8,0).點(diǎn)評(píng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，要將直線方程求出來(lái)利用直線方程的點(diǎn)斜式或者直線系方程判斷是 否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)22【題5】已知fi、f2分別為橢圓ci:5，且|mfj -.當(dāng) 與 1(a b o)的上、下焦點(diǎn)，其中f1也是拋物 a b線c2：x2 4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)m是c1與c2在第二象限的交點(diǎn)(1)求橢圓c1的方程.已知點(diǎn)p(1,3)和圓o：x2 y2uuu在線段ab上取一點(diǎn)q ,滿足：apb2,過(guò)點(diǎn)p的動(dòng)直線l與圓o相交于不同的兩點(diǎn) a, b ,uur uuupb,aquurqb,(1).24分33求證：點(diǎn)q總在某定直線上.【題5】(1)方法一：由c2 ： x24y

10、 知 fi(0,1)，設(shè) m(%,yo)(xo因m在拋物線一 -2，_c2上,故xo4yo5，由解得xo32.63,yo方法二：由c22：x 4y 知 f1(o,1),設(shè) m(xo,yo)(xo o),因m在拋物線2c2上，故xo4yo5又 |mfj 3,則 yo 122，6由解得xo2-6, yo(2)2 呼)248而點(diǎn) m 橢圓上，故有衛(wèi)一 一32一 1即一亍 一亍1, a b9a2 3b2又c 1,則b2 a2 1由可解得2. . 2a 4,b 3,，橢圓ci的方程為2y41.4分(2)設(shè) a(xi, yi), b(x2,y2),q(x,y),uur 由apuuupb可得：(1 xi,3

11、 yi)d i,y2 3),即yix iy2 3(iio分)uuur由aqulutqb 可得：(x xi, yyi)xi(x2 x, y2 y),即 yix2 (i)xy2 (i)y故得：xi22x22 (i 2)x22 22、yiy23y(i )兩式相加得(xi2y；)2(x22y22) (i 2)(x 3y)又點(diǎn)a, b在圓x2y2 3上，且i,所以 xi2yi23,x220 3即x 3y 3, 點(diǎn)q總在定直線xuuuuuu uuur點(diǎn)評(píng)關(guān)鍵是向量appb , aq3 (舍去)43y 3 uuuqb的條件“坐標(biāo)化”，要證點(diǎn)q總在某定直線上,則點(diǎn)q的坐標(biāo)q(x,y)滿足一個(gè)固定的二元一次方程

12、【題6】已知橢圓c以過(guò)點(diǎn)a (i, 3),兩個(gè)焦點(diǎn)為(i, 0) (i, 0)。2(1) 求橢圓c的方程；(2) e,f是橢圓c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)， 證明直線ef的斜率為定值，并求出這個(gè)定值 .22【題6】解：(i)由題意，c= i,可設(shè)橢圓方程為 上丁 i b2 4b2因?yàn)閍在橢圓上，所以-92 i,解得b2 = 3, b2i b2 4b222所以橢圓方程為 -y-i.43(2)設(shè)直線a e方程：得y k(x 1) 3,代入 24(3+4k2) x2+4k(3322k)x 4(- k)2 12 02設(shè) e ( xe , ye),3-)在橢圓上，所以2k)2

13、 12xe3 4k2yekxe又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以yfkxf-k。24(2 k)2 12xf2，3 4k2所以直線ef的斜率kefyf yexfxek(xf xe) 2kxf xe即直線ef的斜率為定值,12分點(diǎn)評(píng)圓錐曲線中有關(guān)定值的問(wèn)題，關(guān)鍵要利用相關(guān)參數(shù)將式子的表達(dá)式求出，再利用“整體”的思想，消去參數(shù)得到定值.【題7】已知拋物線 c：y2 2px(p 0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為 5.設(shè)直線y kx b與拋物線c交于兩點(diǎn)a(x1,y1)，b(x2, y?),且| y1常數(shù)).過(guò)弦ab的中點(diǎn)m作平行于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)d,連結(jié)ad、bd得到 abd

14、.求證： a2k2 16(1 kb)； abd的面積為定值.【題7】依題意得：4 p 5,解得p 2.所以拋物線方程為y2 4x .y kx b,2由方程組 2 消去x得：ky2 4y 4b 0. (x) y 4x,依題意可知：k 0.由已知得 y2丫也當(dāng).kk由 y v2 a,得(y y2)2 4y1y2 a2,r - 1616b22 2即-a ,整理得 16 16kb a k .k2k所以 a2k2 16(1 kb).2 bk 212可以求出ab中點(diǎn)m (2-bk,2),所以點(diǎn)d(4，-), k2 kk2 k依題意知 sv abd 2 dm | yi y2 2 |k2| a .v 16 1

15、6kb 0,得 1 kb 0.a2k2a ，由(n)可知 1 bk a-, 163a.32又因?yàn)榉匠趟詓vabd所以svabd中判別式1 bkk22 a16又a為常數(shù)，故svabd的面積為定值.類型3:關(guān)于不等式證明、求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題題8已知點(diǎn)p到(0,j3), (0, b 的距離之和為4,設(shè)p的軌跡是c,并交直 線y kx 1于a、b兩點(diǎn).(1)求c的方程；(2)若以ab為直徑的圓過(guò) 。點(diǎn),求此時(shí)k的值；uuu |uuu(3)若a在第一象限，證明：k 0 oa ob ._2【題8】(1)得p的軌跡是橢圓，c 33, a 2,故b2 1,故方程為： 與 x2 14uuu uur(2)依題

16、意設(shè)a(x1,y1)，b(x2, y2) , 以ab為直徑的圓過(guò) 。點(diǎn)，則oa ob uur uuur1 oa ob 0x1x2 y1y2 0 4分y kx 1聯(lián)立：v2消元得(4+k2)x2 2kx 3 0x2幺1402kx1 x224 k_3_x1x2-j24 k742 (kx1 1)(kx2，2、,1) k x1x2 k(x1 x2) 1_2_223k 2k 4 kk24k2 44 k2xix2y1y2224k 4 3 1 4k4 k24 k210分k 1 11 分2uuu uuiir點(diǎn)評(píng)將“ab為直徑的圓過(guò)點(diǎn) o”巧妙地轉(zhuǎn)化為 oa ob 0 ,體現(xiàn) 以數(shù)論形”的思想.uuu 222u

17、uu222oa =x1y1 ,ob =x2 y12分uuu 2 uuu22222oa - ob=x1y1-(x2y2)=(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)13分(x1 x2)(x x2) k(x x2) 2k(x x?)(x1 x2)(1 k2)(x x2) 2 k/ 6k(x1 x2)24 k.a點(diǎn)在第一象限，x1 x2 0 又k 0uuu 2 uuu2uuuoa - ob =(oauuu uuuob)( oa槌)uuuoauuuobuuroauuuob14分2【題9】橢圓c:3 a點(diǎn)評(píng)圓錐曲線與不等式證明的綜合，注意作差比較法證明不等式的思路和步驟，利用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍討

18、論y=1(a b0)的離心率為 工色,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為0）的自然曲線c的交點(diǎn)為m = w m, pl /j *- 4m = c a = stiff1 +m）0y = 4xi淺f.乂瓦j，5l.yj.刖二.13再而0q（芍-1x。-m*a& -號(hào) + jrs） + i + pm 0乂丈-乙,t足不等式零階產(chǎn)4. - + 苫居.+1 0*太為*行*益乃j2 m lu4由式.不等式苫份f府*=6口卜144產(chǎn)對(duì)任克實(shí)數(shù)八 府的殿小依為0,所以不等式對(duì)于一切成立笥除jh: *6m +1 0 - np3- jt/2 ai j + 2v2 .由此時(shí)知,有在龍效將i時(shí)過(guò)點(diǎn)”出.0且與曲ac有兩個(gè)父

19、點(diǎn)4 8的任一過(guò)也都有瑞而vo中只切的取依范陽(yáng)是（3-2萬(wàn)*3 + 2隹）.點(diǎn)評(píng)本題對(duì)于過(guò)點(diǎn) m （m, 0）直線方程的設(shè)為x=ty+m 是簡(jiǎn)化計(jì)算的一個(gè)技巧，對(duì)不等式恒成立問(wèn)題一般利用最值的方法處理.類型4:關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題中涉及線段分比的策略這類問(wèn)題主要是研究過(guò)一個(gè)定點(diǎn)p作直線與曲線產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn) ab,進(jìn)而研究p分兩個(gè)i ap i|bp|交點(diǎn)ab所成的比例關(guān)系.往往是兩種形式出現(xiàn)，一種是以比例：1| , 一種是向量：ap pb ,有時(shí)候是求直線方程，有時(shí)候是求分比的值或取值范圍等等，這種問(wèn)題主要是抓住分比與坐標(biāo)xi、x2(yi、y2)的關(guān)系，判斷在聯(lián)立方程時(shí)應(yīng)該消去x或y,以減少運(yùn)算量，然后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到韋達(dá)定理的應(yīng)用上【題11如圖所示，已知圓 c : (x 1)2 y2 8,定點(diǎn)a(1,0), m為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) p在am上，點(diǎn)n在cm匕 且滿足 am 2ap,np am 0,點(diǎn)n的軌跡為曲線 e.(1)求曲線e的方程;(2)