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文檔簡介

1、第三章 扭 轉(zhuǎn) 1 概概 述述 變形特征變形特征:桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對 的轉(zhuǎn)動。 受力特征受力特征:在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi), 作用著一對力偶,其力偶矩相等、方向相反。 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角:任意兩橫截面間相對轉(zhuǎn)過的角度。 2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) v 1、各圓周線繞軸有相 對轉(zhuǎn)動,但形狀、大 小及兩圓周線間的距 離不變。 v 2、各縱向線仍為直線, 但都傾斜了同一角度 ,原來的小矩形變 成平行四邊形。 橫截面上沒有正應(yīng)力。 橫截面上必有存在,其 方向垂直于圓筒半徑。 每個(gè)小矩形的切應(yīng)變都等于縱向線傾斜的角度,故圓筒 表面上每個(gè)小矩形側(cè)面上的均相等。 :切應(yīng)變 直角的改變量 Me

2、 n n dA n n Me T TrdA A A AdA r 0 r 0 r 0 2 r 2 0 2 r T 0 2A T L rL L r T 0 2A T G 剪切胡克定律剪切胡克定律 G:切變模量切變模量 3 傳動軸的外力偶矩 . 扭矩及扭矩圖 外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系 mN n P M r kW e .1055.9 min/ 3 mnm n A B (a) 扭矩扭矩 扭矩圖扭矩圖 n x n T mI I T+ 右手定則:右手定則:右手四指內(nèi)屈,與扭矩轉(zhuǎn)向相 同,則拇指的指向表示扭矩矢的方向,若 扭矩矢方向與截面外法線相同,規(guī)定扭矩 為正,反之為負(fù)。

3、扭矩符號規(guī)定扭矩符號規(guī)定: mI T I m I I T mI T I m I I T T T 圖示圓軸中,各輪上的轉(zhuǎn)矩分別為mA4kNm, mB10kNm, mC6kN m,試求11截面和2 2截面上的扭矩,并畫扭矩圖。 A m B m C m 1 1 2 2 輪輪 軸軸 軸承軸承 6KNm 4KNm 一圓軸如圖所示,已知其轉(zhuǎn)速為n300轉(zhuǎn)分,主動輪A輸入的功率為PA 400KW,三個(gè)從動輪B、C和D輸出的功率分別為PBPC120KW,PD 160KW。試畫出此圓軸的扭距圖。 1 1 2 23 3 B m C m A m D m A m C m B m D m 軸的轉(zhuǎn)向軸的轉(zhuǎn)向 BC A D

4、 3.82kNm 7.64kNm 5.10kNm 4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力.強(qiáng)度條件 Me Me 變形幾何 平面假定 x dx T T d d dx dx d G G dx d G A TdA TdA dx d G A 2 Ip P GI T dx d P GI T P I T P I T P I Tr max r I W P P 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) P W T max 實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面 空心圓截面空心圓截面 d d A P dAI 2 A d 2 2 2 0 3 2 d d 32 4 d I P 16 3 d WP D d P I 2 2 3 2 D d d 44 32 dD D

5、d 4 4 1 32 D IP 4 3 1 16 D WP 由兩種不同材料組成的圓軸,里層和外層材料的切變 模量分別為G1和G2,且G1=2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓 軸受扭時(shí),里、外層之間無相對滑動。關(guān)于橫截面上的 切應(yīng)力分布,有圖中(A)、(B)、(C)、(D)所示 的四種結(jié)論,請判斷哪一種是正確的。 d2 d T 1 G 2 G O (A)(B)(C)(D) 解:圓軸受扭時(shí),里、外層之間無相對滑動,這表明 二者形成一個(gè)整體,同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假 定,二者組成的組合截面,在軸受扭后依然保持平面, 即其直徑保持為直線,但要相當(dāng)于原來的位置轉(zhuǎn)過一 角度。 因此,在里、外層交界處二者具有

6、相同的切應(yīng)變。 由于內(nèi)層(實(shí)心軸)材料的剪切彈性模量大于外層 (圓環(huán)截面)的剪切彈性模量(G1=2G2),所以內(nèi)層 在二者交界處的切應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的 切應(yīng)力。據(jù)此,答案(A)和(B)都是不正確的。 在答案(D)中,外層在二者交界處的切應(yīng)力等于 零,這也是不正確的,因?yàn)橥鈱釉诙呓唤缣幍那袘?yīng) 變不為零,根據(jù)剪切胡克定律,切應(yīng)力也不可能等于 零。 根據(jù)以上分析,正確答案是(C) 平衡嗎?平衡嗎? 切應(yīng)力互等定理 x y z dx dy dz 根據(jù)力偶平衡理論 dydxdzdxdydz)()( v 在相互垂直的兩個(gè)平 面上,切應(yīng)力必成對 出現(xiàn),兩切應(yīng)力的數(shù) 值相等,方向均垂直 于該平面

7、的交線,且 同時(shí)指向或背離其交 線。 v不論單元體上有無正應(yīng)力存在,切應(yīng)力互等定理都是成立的。不論單元體上有無正應(yīng)力存在,切應(yīng)力互等定理都是成立的。 v因?yàn)榍袘?yīng)力互等定理是由單元體的平衡條件導(dǎo)出的,與材料的性能無關(guān)。因?yàn)榍袘?yīng)力互等定理是由單元體的平衡條件導(dǎo)出的,與材料的性能無關(guān)。 所以不論材料是否處于彈性范圍,切應(yīng)力互等定理總是成立的所以不論材料是否處于彈性范圍,切應(yīng)力互等定理總是成立的。 v若單元體各個(gè)截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力,稱為純剪切狀態(tài)。若單元體各個(gè)截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力,稱為純剪切狀態(tài)。 試根據(jù)切應(yīng)力互等定理,判斷圖中所示的各單元體上試根據(jù)切應(yīng)力互等定理,判斷圖中所示的各單元體

8、上 的切應(yīng)力是否正確。的切應(yīng)力是否正確。 kN10 kN20 kN10 kN20 kN30 kN50 kN50 kN30 kN30 30kN T T 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面的應(yīng)力 A A e f sindA cosdA dA x n e f 0 F 0cossinsincos dAdAdA 0 F 0sinsincoscos dAdAdA 2sin 2cos 2sin 2cos 討論: 0 45 max 450 0 45 min 450 max min 0 0 45 0 0 45 0 0 0 0 0 max 00 強(qiáng)度條件 max 強(qiáng)度計(jì)算的三類問題 : (1)、強(qiáng)度校核 P W Tmax (2)、

9、截面設(shè)計(jì) max T WP (3)、確定許用荷載 P WT max 因不知道壁厚,所以不知道是不是薄壁圓筒。分別按薄壁圓筒 和空心圓軸設(shè)計(jì) 薄壁圓筒設(shè)計(jì) D d 設(shè)平均半徑 R0=(d+)/2 2 0 2 R T T d 2 2 T dd 2 2 223 Pa mN mm 6 3 2 3233 1080 1052 10100101002 mm7 . 3 空心圓軸設(shè)計(jì) P W T max 44 16 dD D WP 2 dD 44 16 dD DT 01081 . 0105161080 6 4 346 PamDmNDPa mmD7 .107 2 dD 2 1007 .107mmmm mm85.

10、3 當(dāng)R0/10時(shí),即可認(rèn)為是薄壁圓筒 一內(nèi)徑d=100mm的空心圓軸如圖示,已知圓軸受扭 矩T=5kNm,許用切應(yīng)力=80MPa,試確定空心圓軸 的壁厚。 :P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力40MPa,40MPa, 空心圓軸的內(nèi)外徑之比空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.5= 0.5。 : 實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑d d1 1和空心軸的外徑和空心軸的外徑D D2 2。 n P TM e 3 1055. 9 mN 2 .716 1 max p W T 3 6 1 1040 2 .71616 d 2 max p W T 3 64 2 10

11、405 . 01 2 .71616 D 100 5 . 7 1055. 9 3 3 1 16 d T MPa40 mm45 4 3 2 1 16 D T MPa40 mm45 5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形.剛度條件 P GI T dx d l d dx GI T l P 0 當(dāng)?shù)戎眻A桿有兩個(gè)以上的外力偶作用時(shí),需要先畫出扭矩圖,然后 分段計(jì)算各段的變形,各段變形的代數(shù)和即為桿的總變形。 當(dāng)?shù)戎眻A桿僅在兩端受一對外力偶作用時(shí) P GI TL i iP ii GI LT P GI T 如圖所示階梯軸。外力偶矩M10.8KNm, M2 2.3KNm, M31.5KNm,AB段的直徑d14cm,BC 段的

12、直徑d27cm。已知材料的剪切彈性模量G80GPa, 試計(jì)算AB和AC。 0.8kNm 1.5kNm 0.8m1.0m 1 M 2 M 3 M 1 d 2 d A B C 32 4 1 1 d I P 4 1 .25 cm 32 4 2 2 d I P 4 236cm 1 11 P AB GI LT rad0318. 0 2 22 P BC GI LT rad0079. 0 BCABAC radrad0079. 00318. 0 rad0239. 0 圖示一空心傳動軸,輪1為主動輪,力偶矩M19KNm,輪2、輪 3、輪4為從動輪,力偶矩分別為M24KNm,M33.5KNm,M4 1.5KNm。

13、已知空心軸內(nèi)外徑之比d/D1/2,試設(shè)計(jì)此軸的外徑D, 并求出全軸兩端的相對扭轉(zhuǎn)角24。G80GPa,60MPa。 5kN 1.5kN 4kN 500500 1 M 2 M 3 M 4 M 500 4 3 1 16 D WP max T WP max 4 3 1 16 TD 3 4 max 3 1 16 T D mm7 .76 mmD78mmd39 P GI LT21 21 rad00734. 0 P GI LT 13 13 rad00917. 0 P GI LT34 34 rad00275. 0 34132124 rad00458. 0 已知鉆探機(jī)桿的外徑D=60mm,內(nèi)徑d=50mm,功率

14、P=7.35kW, 轉(zhuǎn)速n=180r/min,鉆桿入土深度L=40m,G=80GPa,=40MPa。 設(shè)土壤對鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的,試求:(1)單位長度上土 壤對鉆桿的阻力矩M;(2)作鉆桿的扭矩圖,并進(jìn)行強(qiáng)度校核;(3) 求A、B兩截面相對扭轉(zhuǎn)角。 Me A l B A B )(xT x T n P MeT 3 1055. 9Nm390單位長度阻力矩 L T M m Nm 40 390 m Nm75. 9 P W T max 16 60 50 160 10390 4 3 3 MPa7 .17 l P AB GI dxxT 0 MxxTx L T dx GI l x T l P AB

15、0 2 l GI T P 21050601080 4039032 12449 rad148.0 一內(nèi)徑為d、外徑為D=2d的空心圓管與一直徑為d的實(shí) 心圓桿結(jié)合成一組合圓軸,共同承受轉(zhuǎn)矩Me。圓管與圓 桿的材料不同,其切變模量分別為G1和G2,且G1=G2/2, 假設(shè)兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對轉(zhuǎn)動,且均處于線彈性范圍。 試問兩桿橫截面上的最大切應(yīng)力之比1/2為多大?并畫 出沿半徑方向的切應(yīng)力變化規(guī)律。 d D 1 2 e M 2 1 因兩桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)無相對轉(zhuǎn)動 21 22 2 11 1 PP IG LT IG LT 22 11 2 1 P P IG IG T T 2 2 1 1 2 1 2 2 P

16、P I d T I D T d D IT IT P P 12 21 2 2 1 G G 1 一圓形截面桿和矩形截面桿受到相同扭矩T=400Nm作 用,圓桿直徑d=40mm,矩形截面為60mm20mm,試 比較這兩種桿的最大切應(yīng)力和截面面積。 圓桿: P W T max 3 16 d T 3 3 40 1040016 MPa9 .31 矩形桿:3 b h 267. 0 hb T 2 max 6020267. 0 10400 2 3 MPa4 .62 2 2 1260 4 mm d A 2 1200mmbhA 矩形面積與圓形面積相 近.但最大應(yīng)力卻增大了一 倍,且 h/b之值越大,切應(yīng) 力也越大,

17、因此工程中應(yīng)盡 量避免使用矩形截面桿作扭 轉(zhuǎn)桿件。 剛度條件 max m 0 0 max 180 P GI T 6 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能 x y z dx dz dy dxdydzdW 2 1 單元體外力作功 dxdydz 2 1 dVdW 應(yīng)變能密度 dV dV v dxdydz dxdydz 2 1 2 1 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能 V dVvV l A dAdxv v 2 1 G l A dAdx G V 2 2 P I T A P dA I T G l 2 2 2 P GI lT 2 2 7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 自由扭轉(zhuǎn): 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面不再保持平面而發(fā)生翹曲。

18、 約束扭轉(zhuǎn): 橫截面可以自由翹曲。 橫截面的翹曲受到限制。 橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力 橫截面上既有切應(yīng)力又有正應(yīng)力 角點(diǎn)切應(yīng)力等于零角點(diǎn)切應(yīng)力等于零 邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力沿 切線方向切線方向 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 發(fā)生在發(fā)生在 長邊中點(diǎn)長邊中點(diǎn) T max 1 t W T max 2 hbWt t GI T 3 hbIt max1 分別計(jì)算兩種截面桿最大切應(yīng)力 圓桿: 3 max 16 d T W T P 3 40 40016 mm mN MPa9 .31 矩形桿: 3 20 60 mm mm b h 查表:0.267 2 max hb T MPa4 .62 分別計(jì)算兩桿截面面積 圓桿: 2 2 1260 4 40 mm mm A 矩形桿: 22 12002060mmmmA 矩形截面面積與圓形面積相 近,但是最大切應(yīng)力卻增大 了近一倍,因此工程中應(yīng)盡 量避免使用矩形截面桿作扭 轉(zhuǎn)桿件。 一圓形截面桿和矩形截面桿受到相同扭矩T=400Nm 作用,圓桿直徑d=40

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