函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題(含答案)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題(含答案)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. 已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點【解析】（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分14分。 （）解：當(dāng)時，所以曲線在點處的切線方程為 （）解：，令，解得因為，以下分兩種情況討論： （1）若變化時，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是。 （2）若，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 （）證明：由（）可知，當(dāng)時

2、，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論： （1）當(dāng)時，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。 （2）當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若所以內(nèi)存在零點。若所以內(nèi)存在零點。所以，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。綜上，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。2. 已知函數(shù)，（）設(shè)函數(shù)F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)，解關(guān)于x的方程；（）設(shè)，證明：本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：（），令，得（舍去）當(dāng)時；當(dāng)

3、時，故當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)為的極大值點，且（）方法一：原方程可化為，即為，且當(dāng)時，則，即，此時，此時方程僅有一解當(dāng)時，由，得，若，則，方程有兩解；若時，則，方程有一解；若或，原方程無解方法二：原方程可化為，即，當(dāng)時，原方程有一解；當(dāng)時，原方程有二解；當(dāng)時，原方程有一解；當(dāng)或時，原方程無解（）由已知得，設(shè)數(shù)列的前n項和為，且（）從而有，當(dāng)時，又即對任意時，有，又因為，所以則，故原不等式成立3. 設(shè)函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求所有實數(shù)，使對恒成立注：為自然對數(shù)的底數(shù)【解析】（21）本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力。滿分15分。

4、（）解：因為所以由于，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （）證明：由題意得，由（）知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要解得4. 設(shè)，其中為正實數(shù).（）當(dāng)時，求的極值點；（）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【解析】（18）（本小題滿分13分）本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，極值點的判斷，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對求導(dǎo)得 （I）當(dāng)，若綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點,是極大值點.（II）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號，結(jié)合與條件a0，知在R上恒成立，因此由此并結(jié)合，知5. 已知a，b為常數(shù)，且a0，函數(shù)f（x）=-ax+b+ax

5、lnx，f（e）=2（e=271828是自然對數(shù)的底數(shù)）。（I）求實數(shù)b的值；（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（mM），使得對每一個tm，M，直線y=t與曲線y=f（x）（x，e）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由。【解析】22本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，滿分14分。解：（I）由（II）由（I）可得從而，故：（1）當(dāng)（2）當(dāng)綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；當(dāng)時，函數(shù)的

6、單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為。（III）當(dāng)a=1時，由（II）可得，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時，的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2又的值域為1，2。據(jù)經(jīng)可得，若，則對每一個，直線y=t與曲線都有公共點。并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點。綜上，當(dāng)a=1時，存在最小的實數(shù)m=1，最大的實數(shù)M=2，使得對每一個，直線y=t與曲線都有公共點。6. 設(shè)函數(shù)，其中，a、b為常數(shù)，已知曲線與在點（2,0）處有相同的切線l。（I） 求a、b的值，并寫出切線l的方程；（II）若方程有三個互不相同的實根0、，其中，且對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥?0本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，（滿分13分）解：（）由于曲線在點（2，0）處有相同的切線，故有由此得所以，切線的方程為 （）由（）得，所以依題意，方程有