ARMA模型的時(shí)域特性

1、ARMA模型的時(shí)域特性 第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性 ARMA模型的時(shí)域特性 nARMA模型，一方面，它基于觀測(cè)時(shí)間序列 建立 起來(lái)的隨機(jī)微分方程，因而它解釋了動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的統(tǒng) 計(jì)特性；另一方面，由于 可視為某一系統(tǒng)的輸 出，因而，它又揭示了產(chǎn)生此動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)的動(dòng) 態(tài)特性。 n同時(shí)，不論是數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，還是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特 性，均可在時(shí)域和頻域中得到描述，所有這些特性， 構(gòu)成了ARMA模型的基本特性。 t x t x ARMA模型的時(shí)域特性 n本章重點(diǎn)討論ARMA模型的最主要的時(shí)域特性 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 和動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的自協(xié)方 差函數(shù) 。前者表征系統(tǒng)特性，在時(shí)序方法中又 稱

2、為Green函數(shù)，后者表征數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性。 n同時(shí)，還將介紹ARMA模型的另外兩個(gè)時(shí)域特性 逆函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。 j G k ARMA模型的時(shí)域特性 n討論模型特性的目的在于，一方面，它 是實(shí)際應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，很多實(shí)際問(wèn)題 的解決往往就是模型特性直接應(yīng)用的結(jié) 果；另一方面，它又是建立模型的必要 準(zhǔn)備。 ARMA模型的時(shí)域特性 線性常系數(shù)差分方程及其解的一般形式線性常系數(shù)差分方程及其解的一般形式 n在時(shí)間序列的時(shí)域分析中，線性差分方程是非 常重要，也是極為有效的工具。 n任何一個(gè)ARMA模型都是一個(gè)線性差分方程； 因此，ARMA模型的性質(zhì)往往取決于差分方程 根的性質(zhì)。 n為了更好地討論ARMA

3、模型的特性，先簡(jiǎn)單介 紹線性差分方程的一般知識(shí)。 ARMA模型的時(shí)域特性 時(shí)間序列模型與線性差分方程時(shí)間序列模型與線性差分方程 n線性差分方程在時(shí)間序列分析中有著重要的 應(yīng)用，常用的時(shí)間序列模型和某些模型的自 協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都可以視為線性差 分方程，而線性差分方程對(duì)應(yīng)的特征根的性 質(zhì)對(duì)判斷模型的平穩(wěn)性有著非常重要的意義。 ARMA模型的時(shí)域特性 n是普通的n階差分方程，其中 為系統(tǒng)參數(shù) 的函數(shù)，當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，就是常系數(shù)n階差 分方程， 是個(gè)離散序列，也叫驅(qū)動(dòng)函數(shù)； 是 系統(tǒng)的響應(yīng)。當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)?n稱為n階齊次差分方程。 10 ()(1) .( )( ) n y knay kna y

4、 ku k 10 ()(1) .( )0 n y knay kna y k 01 ,., n aa 01 ,., n aa ( )u k( )y k ( )0u k 線性差分方程 ARMA模型的時(shí)域特性 112211 .( ) tttnt n aaaau t ARMA模型的時(shí)域特性 n線性差分方程 n齊次線性差分方程 10 ()(1) .( )( ) n y knay kna y ku k 10 ()(1) .( )0 n y knay kna y k ARMA模型的時(shí)域特性 n設(shè) ( ) k y k ARMA模型的時(shí)域特性 AR(1)AR(1)模型的模型的GreenGreen函數(shù)函數(shù) n1、

5、AR(1)AR(1)模型的模型的GreenGreen函數(shù)函數(shù) ARMA模型的時(shí)域特性 n首先，將最簡(jiǎn)單的AR(1)模型作為一個(gè)例子。 n AR(1)模型： n反復(fù)進(jìn)行迭代 11ttt XXa 11 11 1121 2 1112 () . . ttt ttt ttt ttt XXa XXa Xaa aa ARMA模型的時(shí)域特性 n 1 0 j ttj j Xa 即： ARMA模型的時(shí)域特性 GreenGreen函數(shù)的定義函數(shù)的定義 n當(dāng)一個(gè)相關(guān)的平穩(wěn)時(shí)間序列可以用一個(gè)無(wú)關(guān)的平穩(wěn) 時(shí)間序列的現(xiàn)在值和過(guò)去值的線性組合表示時(shí)，其 “權(quán)權(quán)”定義為GreenGreen函數(shù)，即函數(shù)，即 式中，式中， 稱為稱

6、為GreenGreen函數(shù)，函數(shù)， ， 0 tjtj j XG a j G 0 1G 1 j j G ARMA模型的時(shí)域特性 tt XG B a（1）式可以記為 其中 0 j j j G BG B 式（1）表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時(shí)刻以前 的白噪聲通過(guò)系統(tǒng)“ ”的作用而生成， 是j個(gè) 單位時(shí)間以前加入系統(tǒng)的干擾項(xiàng) 對(duì)現(xiàn)實(shí)響應(yīng)的權(quán)，亦 即系統(tǒng)對(duì) 的“記憶”。 0 j j j G BG B j G tj a tj a 格林函數(shù)的意義格林函數(shù)的意義 格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。 ARMA模型的時(shí)域特性 nGr

7、een函數(shù)刻畫(huà)了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)衰減的快慢程 度。 nGreen函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)性完全取決于系統(tǒng)參 數(shù) 。 j ARMA模型的時(shí)域特性 則AR(1)模型的格林函數(shù)可以表示為： AR(1)模型可表示為 同時(shí)，可用一個(gè)無(wú)限階MA來(lái)逼近。 1 j j G 1 0 j ttj j Xa ARMA模型的時(shí)域特性 例例：下面是參數(shù)分別為0.9、0.1的AR（1）系統(tǒng) 對(duì) t a擾動(dòng)的記憶情況。（P46） ARMA模型的時(shí)域特性 AR(1)AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性系統(tǒng)的平穩(wěn)性 n系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念以及穩(wěn)定性與平穩(wěn)性的關(guān)系系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念以及穩(wěn)定性與平穩(wěn)性的關(guān)系 ARMA模型的時(shí)域特性 一階系統(tǒng)的穩(wěn)定性 nGreen

8、函數(shù)的另一個(gè)重要作用是， 可表明系統(tǒng) 的穩(wěn)定性這一重要的動(dòng)態(tài)特性。所謂一個(gè)系統(tǒng)是 不穩(wěn)定的，是指它在任意瞬間受到一個(gè)一瞬即逝 的干擾(即脈沖)后，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)偏離平衡位置越 來(lái)越遠(yuǎn)，這相當(dāng)于 ， 是發(fā)散的；反之， 如果其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最終能回到平衡位置上，這相當(dāng) 于 ，則稱系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的； j G j Glim j j G lim0 j j G ARMA模型的時(shí)域特性 n線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅由系統(tǒng)本身的固有特性所 決定，而與外界無(wú)關(guān)，即，ARMA模型所描述 的線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性只與AR部分有關(guān)，而與 MA部分無(wú)關(guān)，因此，AR(1)，ARMA(1,1)， ARMA(1,m)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一致的

9、， 從而可根據(jù)Green函數(shù)的取值情況判斷它們所 對(duì)應(yīng)的不同的一階系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ARMA模型的時(shí)域特性 n 11 11 1 (1)1limlim0, 1limlim 1lim1lim1 j jj jj j jj jj jj jj GG GG GG 當(dāng)時(shí)，收斂于零，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 (2)當(dāng)時(shí)，是發(fā)散的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (3)當(dāng)時(shí)，或，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 ARMA模型的時(shí)域特性 2、 AR(1)AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件 平穩(wěn)性的涵義就是干擾項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響逐漸減平穩(wěn)性的涵義就是干擾項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響逐漸減 弱，直到消失，對(duì)于一個(gè)弱，直到消失，對(duì)于一個(gè)ARAR（1

10、1）系統(tǒng)，將其寫成）系統(tǒng)，將其寫成 格林函數(shù)的表示形式格林函數(shù)的表示形式: : 0 tjtj j XG a ARMA模型的時(shí)域特性 如果系統(tǒng)是平穩(wěn)的，則預(yù)示隨著j，擾動(dòng)的權(quán) 數(shù) 0 j G 對(duì)于AR(1)系統(tǒng)0 j G 即 1 0 j 這要求 1 1 上述條件等價(jià)于AR(1)系統(tǒng)的特征方程 1 0 的根在單位圓內(nèi)(或方程( )0B 的根在單位圓外). ARMA模型的時(shí)域特性 AR（n）模型，即() tt B Xa 其中： 2 12 ( )1. n n BBBB 的平穩(wěn)性條件為： ( )0B的根在單位圓外 12 12 ( ).0 nnn n （或 的根在單位圓內(nèi)）。 AR（n）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件：

11、）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件： AR(1)AR(1)的結(jié)論可以推廣到的結(jié)論可以推廣到AR(n)AR(n) ARMA模型的時(shí)域特性 ARMA(2,1)模型的Green函數(shù) n 1122 jj j Ggg 1121 12 1221 g,g 其中， 12 AR和是部分的特征根。 ARMA模型的時(shí)域特性 AR(2)和ARMA(1,1)模型的Green函數(shù) nAR(2)和ARMA(1,1)模型是ARMA(2,1)模型的特殊 形式； n描述動(dòng)態(tài)性的Green函數(shù)也有上述關(guān)系； ARMA模型的時(shí)域特性 ARMA(1,1)模型的Green函數(shù) n 1 111 1,0 (),1 jj j G j ARMA模型的時(shí)域特性

12、ARMA(2,1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性 n1、用特征根表示的平穩(wěn)性條件 n這個(gè)推論在AR(1)中平穩(wěn)性的條件，同樣對(duì)ARMA(2,1) 模型也依然適應(yīng)；此時(shí)， nARMA(2,1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件為： n即，特征方程的特征根的模在單位圓內(nèi) 0, j Gj 若則系統(tǒng)是漸進(jìn)平穩(wěn)的 1122 jj j Ggg 12 1,1 ARMA模型的時(shí)域特性 ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性 1,1, 2,., i in ARMA模型的時(shí)域特性 2、用自回歸系數(shù)表示的平穩(wěn)性條件 12 21 2 (2,1) 1 1 1 ARMA 系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件的系統(tǒng)參數(shù)形式為： 系統(tǒng)的平穩(wěn)性僅與自回歸參數(shù)有關(guān)，而與移動(dòng)平均參數(shù)無(wú)關(guān)。

13、 特征根的表示形式也說(shuō)明了這一點(diǎn)，由于特征根僅與自回歸 參數(shù)有關(guān)，與移動(dòng)平均參數(shù)無(wú)關(guān)。 ARMA模型的時(shí)域特性 AR(n)AR(n)模型的模型的GreenGreen函數(shù)函數(shù) nAR(n)AR(n)模型模型GreenGreen函數(shù)的遞推公式為：函數(shù)的遞推公式為： 0 1 G1 G,1,2,. , 0, j jkj k k k k Gj kn kn 其中： ARMA模型的時(shí)域特性 AR（n）模型，即() tt B Xa 其中： 2 12 ( )1. n n BBBB 的平穩(wěn)性條件為： ( )0B的根在單位圓外 12 12 ( ).0 nnn n （或 的根在單位圓內(nèi)）。 AR（n）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件

14、：）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件： ARMA模型的時(shí)域特性 第二節(jié)第二節(jié) 逆函數(shù)和可逆性逆函數(shù)和可逆性 （Invertibility） ARMA模型的時(shí)域特性 是零均值平穩(wěn)序列，如果白噪聲序列 t X t a 1 ttjtj j aXI X 能夠表示為 一、逆函數(shù)的定義逆函數(shù)的定義 設(shè) 則稱上式為平穩(wěn)序列 t X 式中的加權(quán)系數(shù) 0 1,2,.1 j IjI稱為逆函數(shù)。 的”逆轉(zhuǎn)形式“。 ARMA模型的時(shí)域特性 n1、逆函數(shù)逆函數(shù) 類似Green函數(shù)，逆函數(shù)定義為：當(dāng)一 個(gè)無(wú)關(guān)的平穩(wěn)時(shí)間序列 可以用一個(gè)相關(guān) 的平穩(wěn)時(shí)間序列 的現(xiàn)在值和過(guò)去值的線 性組合來(lái)表示時(shí)，其負(fù)“權(quán)”定義為逆函 數(shù). t a t X

15、ARMA模型的時(shí)域特性 可逆的定義可逆的定義 n可逆定義 n若一個(gè)模型能夠表示成為收斂的AR模型 形式，那么該模型具有可逆性，也就是可 逆的。 n可逆概念的重要性 n一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA 模型。 ARMA模型的時(shí)域特性 AR(1)模型的逆函數(shù)模型的逆函數(shù) 11 11 (1) ttt ttt ARXXa aXX 模 型 ： 即 ， 11 AR(1) ,0,1 j IIj 模型的逆函數(shù)為： 逆函數(shù)逆函數(shù) ARMA模型的時(shí)域特性 1 1 22 11 1 0 (1) 1 (1) (1) tt tt t j tj j BXa Xa B BBa a Green函數(shù)函數(shù) j1 AR(1)Gr

16、een G j 模型的函數(shù)為： ARMA模型的時(shí)域特性 1 1 1 (1) (1) j j jj G B IB IG 可 見(jiàn) ： 由 算 子求 得 由 算 子求 得 由 于 形 成的 算 子 是 形 成的 算 子 的 倒 數(shù) ， 所 以 稱 作 為 逆 函 數(shù) 。 “ 逆 ” 的 由 來(lái) ARMA模型的時(shí)域特性 MA(1)模型的逆函數(shù)模型的逆函數(shù) 11 1 (1) (1) ttt tt M AXaa XB a 模 型 ： 逆函數(shù)逆函數(shù) 1 22 11 1 1 1 (1) (1.) tt t j ttj j aX B BBX XX ARMA模型的時(shí)域特性 1 MA(1) j j I 模型的逆函數(shù)

17、為： 1 1 () j ttjt j XXa ARMA模型的時(shí)域特性 Green函數(shù)函數(shù) 011 AR(1)Green 1,0,1 j GGGj 模型的函數(shù)為： 11 1 (1) ttt t Xaa B a ARMA模型的時(shí)域特性 1 1 (1) 1 (1) j j jj GB I B IG 可見(jiàn)： 由算子求得 由算子求得 形成 的算子是形成的算子的倒數(shù) ARMA模型的時(shí)域特性 格林函數(shù)與逆函數(shù)間關(guān)系格林函數(shù)與逆函數(shù)間關(guān)系 11j1 AR(1),0,1G j j IIj： 0 111 1, MA(1): , 0,1 j j j G GI Gj j 1 1 AR(1)GMA(1) - .AR(1

18、)MA(1) j jjjj jj I GIIG IG 的與的 形式一致，只是符號(hào)相反，參數(shù) 互換.從而，可以根據(jù)求得 ，用代替，用 代 替同樣，的 與的形式也是一致. ARMA模型的時(shí)域特性 n格林函數(shù)與逆函數(shù)間的這種對(duì)偶性不只是 一階模型所有，對(duì)于任意階模型都成立。 n例如：ARMA(2,1)與ARMA(1,2) 111122 (1,2): ttttt ARMA XXaaa 模型 1122=0ttt aaa 逆函數(shù)的顯示表達(dá)： 令 ARMA模型的時(shí)域特性 2 12 12 2 12112 121 1 22 0 , 1 ,=+4 2 += =- VV V V V V V V VV 解之，得 設(shè)：

19、是特征根，則有 1 122 jj j VhVhV 由此可得該方程的通解： ARMA模型的時(shí)域特性 1121 12 1221 , VV hh VVVV 解得， 格林函數(shù)與逆函數(shù)的對(duì)偶性可見(jiàn)。 1111 122 211121 122 () IhVhV IhVhV 利用逆函數(shù)隱式與顯示對(duì)比可得 ARMA模型的時(shí)域特性 MA(m)模型逆函數(shù)的遞推公式 n如果一個(gè)MA(m)模型滿足可逆性條件，它就可 以寫成如下兩種等價(jià)形式： ( ) ( ) ( ) ( ) tt tt tt B aX B I B XX aI B X ARMA模型的時(shí)域特性 MA(m)模型模型逆函數(shù)的遞推公式逆函數(shù)的遞推公式 0 1 1

20、,1 , 0, l ljlj j j j I IIl jm jm 其中： ARMA模型的時(shí)域特性 MA模型的可逆條件 nMA(m)模型的可逆條件是： nMA(m)模型的特征根都在單位圓內(nèi) 1 i V ARMA模型的時(shí)域特性 ARMA(1,2)模型的可逆性條件模型的可逆性條件 12 12 2 (1,2) 1 1 1 ARMA 系統(tǒng)的可逆性條件的系統(tǒng)參數(shù)形式為： 12 (1,2) 1,1 ARMA VV 系統(tǒng)的可逆性條件的特征根形式為： ARMA模型的時(shí)域特性 例3.6續(xù):考察如下MA模型的可逆性 21 21 1 1 4 25 2 5 )4( 25 4 5 2 )3( 5 . 0)2( 2) 1

21、( tttt tttt ttt ttt x x x x ARMA模型的時(shí)域特性 (1)(2) n n n逆函數(shù) n逆轉(zhuǎn)形式 不可逆 122 1 ttt x 可逆 15 . 05 . 0 1 ttt x 0 5 . 0 k kt k t x 1,5 . 0 1 k I k k ARMA模型的時(shí)域特性 (3)(4) n n n逆函數(shù) n逆轉(zhuǎn)形式 可逆 1, 1 25 4 5 2 21221 tttt x , 1 , 0, 23, 0 133,) 1( 1 n nk nnk I kn k 或 0 13 131 0 3 31 4 . 0) 1(4 . 0) 1( n nt nn n nt nn t x

22、x 不可逆 1 4 25 4 25 4 25 2 5 2221 tttt x ARMA模型的時(shí)域特性 ARMA模型 一、一、ARMA(n,m)模型可分別表示為：模型可分別表示為： ()() tt B XB a 其中：其中： 2 12 ( )1., n n BBBB 為n階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。 2 12 ( )1. m m BBBBm ，為 階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。 ARMA模型的時(shí)域特性 平穩(wěn)條件與可逆條件 nARMA(n,m)模型的平穩(wěn)條件 nn階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 的根都在單位圓外 n即ARMA(n,m)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平 穩(wěn)性決定 nARMA(n,m)模型的可逆條件 nm階移動(dòng)

23、平均系數(shù)多項(xiàng)式 的根都在單位圓外 n即ARMA(n,m)模型的可逆性完全由其移動(dòng)平滑部分的 可逆性決定 ( )0B ( )0B ARMA模型的時(shí)域特性 理論自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) 對(duì)于ARMA系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，設(shè)序列的均值為零，則自協(xié)方差函數(shù) ktt k E X X 第三節(jié)第三節(jié) 自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 0 k k 樣本自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算 在擬合模型之前，我們所有的只是序列的一個(gè)有限 樣本數(shù)據(jù)，無(wú)法求得理論自相關(guān)函數(shù)，只能求樣本的自 協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。樣本自協(xié)方差樣本自協(xié)方差有兩種形式： * 1 1 ,0,1,2,.,1 N ktt k t k X XkN

24、Nk 一、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) ARMA模型的時(shí)域特性 則相應(yīng)的樣本自相關(guān)函數(shù)為：樣本自相關(guān)函數(shù)為： 11 22 0 11 1 1 NN ttkttk ktktk kNN tt tt X XX X N XX N * * 11 22 0 11 1 1 NN tt ktt k kt kt k kNN it tt X XX X NNk Nk XX N 1 1 ,0,1,2,.,1 N ktt k t k X XkN N ARMA模型的時(shí)域特性 1 1、AR(n)AR(n)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)ACFACF 1階自回歸模型階自回歸模型AR(1) Xt=Xt-1+ at 的k階滯后自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)

25、方差函數(shù)為： 011 )( k kttktk XXE k=1,2, 因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為 k kk 0 k=1,2, 若若AR(1) 穩(wěn)定，則穩(wěn)定，則| | | 1，因此，因此，k k時(shí)，呈指數(shù)形時(shí)，呈指數(shù)形 衰減，直到零衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾拖尾或稱AR(1)有無(wú)窮記憶有無(wú)窮記憶 （infinite memory）。 注意注意， 0時(shí)，呈振蕩衰減狀。 ARMA模型的時(shí)域特性 一般地，n階自回歸模型階自回歸模型AR(n) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + nXt-n + at k k期滯后協(xié)方差為期滯后協(xié)方差為: : nknkk tntnttKtk XXXXE

26、 2211 2211 )( 從而有自相關(guān)函數(shù)從而有自相關(guān)函數(shù) : : 可見(jiàn)，無(wú)論無(wú)論k k有多大，有多大， k 的計(jì)算均與其到的計(jì)算均與其到n n階滯后階滯后 的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀呈拖尾狀。 如果如果AR(n)AR(n)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則| | k k| |遞減且趨于零遞減且趨于零。 1122 . kkknk n ARMA模型的時(shí)域特性 其中：zi是AR(n)特征方程(z)=0的特征根， 由AR(n)平穩(wěn)的條件知，|zi|1時(shí)，時(shí)， k k=0，即，即Xt與與Xt-k不相關(guān)，不相關(guān)，MA(1)MA(1)自自 相關(guān)函數(shù)是截尾的。相關(guān)函數(shù)是截尾的。 ARMA模型的時(shí)

27、域特性 其自協(xié)方差系數(shù)自協(xié)方差系數(shù)為 一般地，一般地，m階移動(dòng)平均過(guò)程階移動(dòng)平均過(guò)程MA(m) 相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)為 2222 12 2 11 (1.)0 ()(.) 0 am ktt kakkm km k rE X Xkm km s s 當(dāng) 當(dāng)1 當(dāng) 11 . tttmt m Xaaa 222 1112 0 10 (.)/(1.) 0 k kkkm kmm k r km r km 當(dāng) 當(dāng)1 當(dāng) ARMA模型的時(shí)域特性 n 可見(jiàn)，當(dāng)km時(shí)， Xt與與Xt-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因 此，當(dāng)當(dāng)km時(shí)，時(shí)， k k=0是是MA(m)的一個(gè)特征的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某

28、一點(diǎn)開(kāi)始一直為可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開(kāi)始一直為0 0來(lái)來(lái) 判斷判斷MA(m)MA(m)模型的階。模型的階。 ARMA模型的時(shí)域特性 二、偏自相關(guān)函數(shù)二、偏自相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了給出了X Xt t與與X Xt-1 t-1的總體相關(guān)性， 的總體相關(guān)性， 但總體但總體 相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān) 系。系。 例如，在AR(1)隨機(jī)過(guò)程中，Xt與Xt-2間有相關(guān)性相關(guān)性 可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關(guān)性帶來(lái)的: )()( 211 2 1 2 2 tttt XXEXXE ARMA模型的時(shí)域特性 n即自相關(guān)函數(shù)中

29、包含了這種所有的“間接” 相關(guān)。 與之相反，與之相反，X Xt t與與X Xt-kt-k間的偏自相關(guān)函數(shù)間的偏自相關(guān)函數(shù) (partial autocorrelation(partial autocorrelation，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為PACF)PACF) 則是消除了中間變量則是消除了中間變量Xt-1Xt-1，Xt-k+1 Xt-k+1 帶帶 來(lái)的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知來(lái)的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知 序列值序列值Xt-1Xt-1，Xt-k+1Xt-k+1的條件下，的條件下，XtXt與與 Xt-kXt-k間關(guān)系的度量。間關(guān)系的度量。 ARMA模型的時(shí)域特性 從Xt中去掉Xt-1

30、的影響，則只剩下隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)at， 顯然它與Xt-2無(wú)關(guān)，因此我們說(shuō)Xt與Xt-2的偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù) 為零，記為 在AR(1)中， 0),( 2 * 2 tt XCorr 對(duì)于AR(1) 過(guò)程，當(dāng)k = 1時(shí), 1 0，當(dāng)k 1時(shí), k* =0，所以AR(1) 過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k = 1出現(xiàn) 峰值（ 1 = 1*）然后截尾。 AR(n)模型模型 ARMA模型的時(shí)域特性 自相關(guān)函數(shù)： 平滑地指數(shù)衰減平滑地指數(shù)衰減 偏自相關(guān)函數(shù)： k=1時(shí)有正峰值然后截尾時(shí)有正峰值然后截尾 AR(1)模型相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)對(duì)比模型相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)對(duì)比 ARMA模型的時(shí)域特性 同樣地，在同樣地，在AR(n)過(guò)程中，對(duì)所有的過(guò)程中，對(duì)所有的kn，Xt與與Xt-k間的間的 偏自相關(guān)函數(shù)為零。偏自相關(guān)函數(shù)為零。 AR(n)的一個(gè)主要特征是的一個(gè)主要特征是: kn時(shí)，時(shí)， k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即即 k*在在n以后是截尾的。以后是截尾的。 一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則：一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則： 若若Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在的偏自相關(guān)函數(shù)在n n以