大學(xué)物理學(xué)習(xí)資料：熱學(xué)

1、1 5-9 一質(zhì)量為一質(zhì)量為1.0 千克的質(zhì)點(diǎn)千克的質(zhì)點(diǎn),作簡諧振動作簡諧振動,其振幅其振幅 為為2.0 米米,質(zhì)點(diǎn)在離平衡位置最遠(yuǎn)處的加速度為質(zhì)點(diǎn)在離平衡位置最遠(yuǎn)處的加速度為 8.0 米米/秒秒 . (1) 試計算質(zhì)點(diǎn)的振動頻率試計算質(zhì)點(diǎn)的振動頻率; (2) 質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置的速度質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置的速度; (3) 質(zhì)點(diǎn)位移為質(zhì)點(diǎn)位移為1.2 米時的速度米時的速度; (4) 寫出作用在這質(zhì)點(diǎn)上的力作為位置的函數(shù)合作為寫出作用在這質(zhì)點(diǎn)上的力作為位置的函數(shù)合作為 時間的函數(shù)時間的函數(shù). 10 3 10 4 10 4 103 2 5 3 )cos( )(102 . 1)cos()2( )(3 . 1

2、 )sin() 1 ( )(100 . 1 2 )(103 . 6100 . 4 )cos( 4 1 3 1 37 max 2 2 max 2 A x t mtAx mAx tAx HZ A x AxtAx s s 解：解： ，過平衡點(diǎn)時，過平衡點(diǎn)時 3 )103 . 6cos(0 . 8)cos( )(100 . 4) 3( )(0 . 1 ) )(cos1()sin( 32 42 1 2 ttAmF NxxmkxF m tAtAx s 4 5-15 如圖所示振動系統(tǒng)，振子是一個作純滾動的圓柱如圖所示振動系統(tǒng)，振子是一個作純滾動的圓柱 體，以知圓柱體的質(zhì)量為體，以知圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為，

3、半徑為R，彈簧的倔強(qiáng)，彈簧的倔強(qiáng) 系數(shù)為系數(shù)為k，并且彈簧是系于圓柱體的中心旋轉(zhuǎn)對稱軸，并且彈簧是系于圓柱體的中心旋轉(zhuǎn)對稱軸 上。試求這一振動系統(tǒng)的頻率。上。試求這一振動系統(tǒng)的頻率。 解：設(shè)平衡點(diǎn)為彈簧原長時，又彈簧質(zhì)量不計，對圓解：設(shè)平衡點(diǎn)為彈簧原長時，又彈簧質(zhì)量不計，對圓 柱體在運(yùn)動中受力有：柱體在運(yùn)動中受力有： m k 5 ccccc cc cc x m k xxmxmkx xmfxmRmRfR xmfkx ) 3 2 ( 2 1 2 1 2 1 ) 2 1 ( 22 2 1 2 ) 3 2 ( 2 1 , 3 2 m k m k 6 5-16 如圖所示，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為如圖所示，彈簧的

4、倔強(qiáng)系數(shù)為k，定滑輪的質(zhì)量，定滑輪的質(zhì)量 為為 ，半徑為，半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為k，物體的質(zhì)量為物體的質(zhì)量為m。軸軸 處摩擦不計，彈簧和繩的質(zhì)量也不計，繩與滑輪間無處摩擦不計，彈簧和繩的質(zhì)量也不計，繩與滑輪間無 相對滑動，（相對滑動，（1）試求這一振動系統(tǒng)的振動頻率。（）試求這一振動系統(tǒng)的振動頻率。（2） 如果在彈簧處于原長時由靜止釋放物體如果在彈簧處于原長時由靜止釋放物體m， m向下具向下具 有最大速度時開始計時，并令有最大速度時開始計時，并令m向下運(yùn)動為向下運(yùn)動為x的正坐的正坐 標(biāo)，試寫出標(biāo)，試寫出m振動表達(dá)式。振動表達(dá)式。 m m k m 7 解：解： I (1)設(shè)彈簧原長設(shè)彈簧

5、原長l0， ，平衡時伸 平衡時伸 長長x0， ，mg=k x0，以 ，以x0伸長時伸長時 m所在點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動所在點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動 中，有中，有 IRxxkT 0 x T x0 l0 mg xmTmg 對于對于m，有，有 Rx 又又 x R I mkx ) ( 2 聯(lián)立可得：聯(lián)立可得： )( 2 2 R I m k 2 )( 2 1 2 R I m f 8 （2）以彈簧原長時釋放）以彈簧原長時釋放m， k mg A k mg x 0 又：又： 2 0, 00 vAx 振動表達(dá)式為振動表達(dá)式為 2 cos 2 1 2 t R I m k k mg x 9 5-20 質(zhì)量質(zhì)量 千克的小球與輕

6、質(zhì)彈簧組成千克的小球與輕質(zhì)彈簧組成 的振動系統(tǒng)，按的振動系統(tǒng)，按 的規(guī)律振的規(guī)律振 動，式中各量均為動，式中各量均為SI單位。單位。 2 1001 .m )( 3 8105 3 tcosx 求：求：(1)振動的圓頻率、周期、振幅和初始相位；振動的圓頻率、周期、振幅和初始相位； (2)振動的速度和加速度振動的速度和加速度(函數(shù)式函數(shù)式)； (3)振動的總能量振動的總能量E； (4)振動的平均動能和平均勢能；振動的平均動能和平均勢能； (5) t =1.0秒、秒、10秒等時刻的相位。秒等時刻的相位。 解：解： )(.)( 3 8501 tcosx 與振動表達(dá)式與振動表達(dá)式 )( tAcosx比較比

7、較 便直接可得便直接可得 10 )(8 , )(.scm 4 12 50 TA 3 )( )()( 1 3 842 scm tsinx . )( )( 22 3 832 scm tcosx . )(108 2 1 2 1 )3( 26222 J AmKAE )()(J pk 26222 104 4 1 4 1 4 AmKAEE 11 5-27 火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過鐵軌接軌處即受一火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過鐵軌接軌處即受一 一次震動，使裝在彈簧上面的車廂上下振動。設(shè)每一次震動，使裝在彈簧上面的車廂上下振動。設(shè)每 段鐵軌長段鐵軌長12.5米，彈簧平均負(fù)重米，彈簧平均負(fù)重5.5噸，而彈簧每受噸，而

8、彈簧每受 1.0噸力將壓縮噸力將壓縮16毫米。試問，火車速度多大時，振毫米。試問，火車速度多大時，振 動特別強(qiáng)？動特別強(qiáng)？ 解：系統(tǒng)固有振動周期近似等于強(qiáng)迫力周期時發(fā)解：系統(tǒng)固有振動周期近似等于強(qiáng)迫力周期時發(fā) 生共振，此時振動特別強(qiáng)生共振，此時振動特別強(qiáng) 0000 xgmkkxgm )(595.022 0 0 s mx gm m k T 固固 此時火車恰好走一節(jié)鐵軌此時火車恰好走一節(jié)鐵軌 11 6 .7521 595. 0 5 .12 hkmsm s m v 12 5-28 已知兩個同方向的諧振動為已知兩個同方向的諧振動為 ) 5 3 10cos(05. 0 1 tx) 5 10cos(06.

9、 0 2 tx (1)求它們合振動的振幅和初始相位求它們合振動的振幅和初始相位; (2)另有一個同方向的簡諧振動另有一個同方向的簡諧振動 問問 為何值時為何值時, 的振幅為最大的振幅為最大? 為何值時為何值時 的振幅為最小的振幅為最小?(各量皆用各量皆用SI單位單位.) )10cos(07. 0 3 tx 31 xx 32 xx 解解: ) 55 3 cos(06. 005. 0206. 005. 0 22 A =0.0892(m) 13 5 cos06. 0 5 3 cos05. 0 5 sin06. 0 5 3 sin05. 0 arctan (2) A最大時最大時 5 3 )0(2 即即

10、取取k A最小時最小時 )( 5 或或 ) 5 4 ( 5 6 或或 14 解：仍是諧振動解：仍是諧振動 2),cos(tAX rad AA AA a25. 1 coscos sinsin tan 2211 2211 )(1029. 1cos2 2 21 2 2 2 1 mAAAAA 5-28 一質(zhì)點(diǎn)同時受兩個同頻率和同方向簡諧振動的作一質(zhì)點(diǎn)同時受兩個同頻率和同方向簡諧振動的作 用，它們的運(yùn)動方程分別為用，它們的運(yùn)動方程分別為x x1 1=1.0=1.01010-2 -2cos(2t+/4) cos(2t+/4) 和和x x2 2=0.6=0.61010-2 -2cos(2t+2/3), co

11、s(2t+2/3),試寫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方試寫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方 程。程。 15 5-30 一待測頻率的音叉與一頻率為一待測頻率的音叉與一頻率為440赫茲的標(biāo)準(zhǔn)音叉赫茲的標(biāo)準(zhǔn)音叉 并排放置，并同時振動。聲音響度有周期性起伏，每并排放置，并同時振動。聲音響度有周期性起伏，每 隔隔0.5秒聽到一次最大響度的音（即拍聲），問拍頻是秒聽到一次最大響度的音（即拍聲），問拍頻是 多少？音叉的頻率可能是多少？為了進(jìn)一步唯一確定多少？音叉的頻率可能是多少？為了進(jìn)一步唯一確定 其值，可以在待測測音叉上滴上一點(diǎn)石蠟，重做上述其值，可以在待測測音叉上滴上一點(diǎn)石蠟，重做上述 實(shí)驗(yàn)，若此時拍頻變低，則說明待測音叉的頻率是多實(shí)驗(yàn)

12、，若此時拍頻變低，則說明待測音叉的頻率是多 少？少？ 解：以知解：以知T=0.5s，得拍頻，得拍頻2 5 . 0 1 f )(44022 1212 Hzffff 或或 )(4382 12 Hzff 若在待測音叉上滴上一滴石蠟，其頻率變低，如若在待測音叉上滴上一滴石蠟，其頻率變低，如 果再測，拍頻變低果再測，拍頻變低 成立成立 fff 12 Hzf442 2 16 5-31 用振幅矢量法畫出用振幅矢量法畫出 ) 2 cos()1( tAx和和) 4 3 cos(2 tAy 的合振動的利薩如圖形；的合振動的利薩如圖形； tAx cos)2( 1 和和) 2 2cos(2 tAy 的合振動的利薩如圖

13、形。的合振動的利薩如圖形。 17 (1) 4 3 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 x yy x 18 (2) 1 2 3 4 5 6 7 0 04 3 7 2 6 1 5 5 4 3 2 1 0 7 6 x x y y 19 6-5 （1）波源的振動頻率表達(dá)式為）波源的振動頻率表達(dá)式為 ，我們，我們 的計時零點(diǎn)是怎樣選擇的？如果以波源所在處為坐標(biāo)的計時零點(diǎn)是怎樣選擇的？如果以波源所在處為坐標(biāo) 原點(diǎn)，波沿原點(diǎn)，波沿x正方向傳播，那么對應(yīng)的波函數(shù)應(yīng)該怎樣正方向傳播，那么對應(yīng)的波函數(shù)應(yīng)該怎樣 寫？（設(shè)波速為寫？（設(shè)波速為v）。）。 （2

14、）如果選取波源為）如果選取波源為y方向振動，且位移為方向振動，且位移為A/2的時刻的時刻 為計時零點(diǎn)，波源處為坐標(biāo)原點(diǎn)，波速仍為為計時零點(diǎn)，波源處為坐標(biāo)原點(diǎn)，波速仍為v，波函數(shù)，波函數(shù) 該怎樣寫？該怎樣寫？ （3）如果在上題中把波源的位置定為）如果在上題中把波源的位置定為x0點(diǎn)，波函數(shù)又點(diǎn)，波函數(shù)又 該怎樣寫？該怎樣寫？ 解解：（1）波源）波源 ，初相為，初相為0，是恰好在正，是恰好在正 的最大位移處開始計時，若的最大位移處開始計時，若x與與 同向，波函數(shù)為：同向，波函數(shù)為： （2） tAycos tAycos v )(cos v x tAy 2 0 A y 20 如右圖，如右圖， 3 y 0

15、 y 又又 3 3 )(cos v x tAy （3）若波源在）若波源在x0點(diǎn)，若點(diǎn)，若 與與x同向，任意同向，任意x的振動要比的振動要比 x0點(diǎn)落后點(diǎn)落后 x點(diǎn)點(diǎn)t 時刻的振動是時刻的振動是x0點(diǎn)在點(diǎn)在 時刻的振時刻的振 動動 v v x t 0 )()(cos)(cos 0 0 x vv x tA v xx tAy 其中其中 3 21 6-7 一沿很長弦線行進(jìn)的橫波波函數(shù)為一沿很長弦線行進(jìn)的橫波波函數(shù)為 ).sin(.txy 0402001006 2 式中各量均為國際單位。試求振幅、波長、頻率、式中各量均為國際單位。試求振幅、波長、頻率、 波速、波的傳播方向和弦線上質(zhì)元的最大橫向振動波速、

16、波的傳播方向和弦線上質(zhì)元的最大橫向振動 速率。速率。 解：解： ).sin(.txy 04020006 )(.sin. 200 0406 x t 1 2000406 scmcmAv, . , . cmHz1002 2 v 22 x點(diǎn)比原點(diǎn)位相超前點(diǎn)比原點(diǎn)位相超前 與與x反向反向v x 0200. 又又)(.cos. 200 040406 x t . y )(. 1 240406 scmvm 23 6-8 如圖曲線如圖曲線(a)和和(b)分別表示分別表示t=0和和t=2.0秒的某秒的某 一平面間諧波的波形圖。寫出此平面簡諧波的表達(dá)式一平面間諧波的波形圖。寫出此平面簡諧波的表達(dá)式 解：從曲線解：從

17、曲線(a)可以看出可以看出A=2, =2, 用余弦函數(shù)表示時用余弦函數(shù)表示時 0 2 -2 12345 (a)(b) 0 v x (a)(b) y 從曲線從曲線(a) (b) t=2s kkvvt25 . 05 . 02 4 1 kv 2 , 1 , 0k 24 2 v又又 ) 4 1 ( 2 k v ) 4 1 )( 4 1 (cos2 k x tk y ) 4 1 (cos2xtk 波函數(shù)為波函數(shù)為 25 6-9 設(shè)在某一時刻，一個向右傳播的平面簡諧橫波曲設(shè)在某一時刻，一個向右傳播的平面簡諧橫波曲 線如圖所示，試分別說明圖中線如圖所示，試分別說明圖中A、B、C、D等各點(diǎn)在等各點(diǎn)在 該時刻的

18、振動方向，并作出該時刻的振動方向，并作出T/4前和前和T/4后的波形圖后的波形圖 C A BD E F G H I X Y 解：解： A B D E F G H I X Y v C 26 X Y 前前 4 T 后后 4 T 27 解：解： 6-11 已知一列波速為已知一列波速為V，沿，沿X正向傳播的波在正向傳播的波在t=0時的時的 波形曲線如圖所示。畫出圖中波形曲線如圖所示。畫出圖中A，B，C，D各點(diǎn)在第各點(diǎn)在第 一周期內(nèi)的振動曲線。一周期內(nèi)的振動曲線。 y A B C D x V0 V0 V0 A A/2 A v A點(diǎn)，點(diǎn)，t=0時，時，y=-A 振動表達(dá)式振動表達(dá)式 )cos(tAy B點(diǎn)

19、，點(diǎn)，t=0時，時，y0=0，并且，并且v00，見圖，見圖， 2 ) 2 cos( tAy 28 ) 3 cos( tAy ) 3 cos( tAy 3 , 0, 2 00 v A y 3 0, 2 00 v A y C點(diǎn)點(diǎn) D點(diǎn)點(diǎn) 29 t 0 y A點(diǎn) t 0 y C點(diǎn) t 0 y B點(diǎn) t 0 y D點(diǎn) 30 10 3 2 )(106 . 4 )14. 0( 4 1 300 300 103)2( )(1062 )(103 300 109 2 1 ,) 1 ( 7 25 3 5 3 5 3 J S v wSwE Jww J v I www vwI m m m m 解：解： 31 6-16

20、無線電波以無線電波以3.0108米米/秒的速度傳播，有一無線秒的速度傳播，有一無線 電波的波源功率為電波的波源功率為50千瓦，假設(shè)該波源在各向同性介千瓦，假設(shè)該波源在各向同性介 質(zhì)中發(fā)射球面波，求離波源質(zhì)中發(fā)射球面波，求離波源200公里遠(yuǎn)處無線電波的公里遠(yuǎn)處無線電波的 能量密度。能量密度。 解：解： vw r P I 2 4 8 2 3 3 2 103102004 1050 4 vr p w ).(103 . 3 316 mJ 32 6-20 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)B點(diǎn)發(fā)出的平面橫波在點(diǎn)發(fā)出的平面橫波在B點(diǎn)的振動表點(diǎn)的振動表 達(dá)式為達(dá)式為 ，沿，沿 方向傳播；方向傳播；C點(diǎn)發(fā)出點(diǎn)發(fā)出 的平面

21、橫波在的平面橫波在C點(diǎn)的振動表達(dá)式為點(diǎn)的振動表達(dá)式為 沿沿 方向傳播，兩式中各量均為方向傳播，兩式中各量均為SI單位，單位， 設(shè)設(shè) =0.40米，米， =0.50米，波速為米，波速為0.2米米/秒，求秒，求 （1）兩列波傳到）兩列波傳到P處時的相位差；處時的相位差； （2）如果這兩列波的振動方向相同，求）如果這兩列波的振動方向相同，求P點(diǎn)的合成振點(diǎn)的合成振 幅；幅； （3）如果這兩列波的振動方向垂直，則合成振動的振）如果這兩列波的振動方向垂直，則合成振動的振 幅如何？幅如何？ t2cos102 3 BP CP )2cos(102 3 t 解：解：是兩同頻率的波是兩同頻率的波 0) 5 . 04

22、 . 0( 2 . 0 2 1212 rr v BPCP 33 （2）如果振動方向也相同，得到兩相干波）如果振動方向也相同，得到兩相干波 )(10410222 33 1 mAA （3）如果振動方向垂直又同相，合成后仍是諧振動，）如果振動方向垂直又同相，合成后仍是諧振動， 2 2 2 1 2 AAA )(10222 3 1 mAA 34 6-22 在同一媒質(zhì)中的兩個相干波源位于在同一媒質(zhì)中的兩個相干波源位于AB兩點(diǎn)，其兩點(diǎn)，其 振動方向相同，振幅皆為振動方向相同，振幅皆為5厘米，頻率皆為厘米，頻率皆為100赫茲，赫茲， 但但A點(diǎn)為波峰時，點(diǎn)為波峰時，B點(diǎn)適為波谷，且在此媒質(zhì)中波速點(diǎn)適為波谷，且在

23、此媒質(zhì)中波速 為為10米米/秒。設(shè)秒。設(shè)AB相距相距20米，經(jīng)過米，經(jīng)過A點(diǎn)作一條垂線，點(diǎn)作一條垂線， 在此垂線上取一點(diǎn)在此垂線上取一點(diǎn)P，AP=15米，米， (1)試分別寫出試分別寫出P點(diǎn)處兩波在該點(diǎn)的振動表達(dá)式點(diǎn)處兩波在該點(diǎn)的振動表達(dá)式 (2)求兩波在求兩波在P點(diǎn)的相位差點(diǎn)的相位差 (3)寫出干涉后的振動表達(dá)式寫出干涉后的振動表達(dá)式(波動中振幅不變波動中振幅不變) 解：解：ttyAP200cos105) 10 15 (1002cos105) 1 ( 22 )200cos(105)(cos 2 t v r tAyBP )()2( 或或 00 相消干涉)3( yA 35 6-26 在一個兩端固

24、定的在一個兩端固定的3.0米長的弦上有米長的弦上有3個波腹的個波腹的 “駐波駐波”，其振幅為，其振幅為1.0厘米，弦上波速為厘米，弦上波速為100米米/秒。秒。 (1)試計算頻率；試計算頻率；(2)若視為入、反射波疊加的，理想若視為入、反射波疊加的，理想 駐波寫出產(chǎn)生此駐波的兩個波的表達(dá)式。駐波寫出產(chǎn)生此駐波的兩個波的表達(dá)式。 波節(jié)波節(jié)波節(jié)波節(jié) 123 o x 2 3x3m )1( 解：解： m2 100 )(50 2 100 Hz v 36 (2) 若為理想駐波若為理想駐波)(100 . 12 2 1 mAA 因此駐波端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，若以左端為因此駐波端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，若以左端為x=0，其駐波，其駐波 表達(dá)式為表達(dá)式為 xtAy 2 sinsin2 1 設(shè)入射波波函數(shù)為設(shè)入射波波函數(shù)為 ) 2 cos( 11 xtAy 則反射波波函數(shù)為則反射波波函數(shù)為 37 )2( 2