高二數(shù)學(xué)上 7.6 圓的方程（一）優(yōu)秀教案

1、7.6圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目的：使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實(shí)際問題，并會推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟；根據(jù)具體條件正確寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實(shí)際問題 授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：學(xué)習(xí)了“曲線與方程“之后，作為一般曲線典體例子，安排了本節(jié)的“圓的方程” 圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用解析法研究它的方程，它與其

2、他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用 同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ) 也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用由于“圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性，對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程的要求層次是“掌握”；因為是第一次系統(tǒng)地介紹參數(shù)方程，對參數(shù)方程的學(xué)習(xí)有一個循序漸進(jìn)的過程，因而對圓的參數(shù)方程只要求“理解”，今后講圓錐曲線時還有所涉及 結(jié)合本節(jié)的內(nèi)容的特點(diǎn)，可以向?qū)W生滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，同時對學(xué)生的觀察類比、創(chuàng)新等多種能力的培養(yǎng)也十分有利 在運(yùn)用多種方法求圓的方程中，可培養(yǎng)學(xué)生大膽探索

3、創(chuàng)新的精神；通過知識的實(shí)際運(yùn)用和采用多媒體手段，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；而一些曲線上動點(diǎn)的變化，和方程形式，解法的多樣，也有助于學(xué)生樹立辯證唯物主義的運(yùn)動觀和普遍聯(lián)系的觀點(diǎn) 遵循從特殊到一般的原則，只有把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)透了，再過渡到學(xué)圓的一般也就不難，它們可以通過形式上的互相轉(zhuǎn)化而解決 因而本節(jié)的重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的位置關(guān)系（尤其是圓的切線） 又由于圓的一般方程中含有三個參變數(shù)D、E、F，對它的理解帶來一定的困難，因而本節(jié)的難點(diǎn)是對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運(yùn)用 突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是抓住一般方程的特點(diǎn)，把握住求圓的方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑依照大綱，本節(jié)分為三個課時進(jìn)行教學(xué) 第一

4、課時講解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 為了激發(fā)學(xué)生的主體意識，教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造，同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”型教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計 所謂“引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為若干問題，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的課堂教學(xué)模式，教師在教學(xué)過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機(jī)的結(jié)合起來。教師的每項教學(xué)措施，都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情景，一種動腦、動手、動口并主動參與的學(xué)習(xí)機(jī)會，激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生解決問題 其基本教學(xué)模式是：復(fù)習(xí)舊知以舊悟新提出問題嘗試探究例題示范探求方法反饋練習(xí)學(xué)會應(yīng)用點(diǎn)評矯正總結(jié)交流 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1圓的定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于

5、定長的點(diǎn)的軌跡稱為圓2求曲線方程的一般步驟為：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合；(可以省略，直接列出曲線方程)（3）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程;（4）化方程為最簡形式；（5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(可以省略不寫,如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明)二、講解新課：1建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：建系設(shè)點(diǎn)；寫點(diǎn)集；列方程；化簡方程 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ：已知圓心為，半徑為， 如何求的圓的方程？ 運(yùn)用上節(jié)課求曲線方程的方法，從圓的定義出發(fā)，正確地推導(dǎo)出：這個方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這時，則圓的方程就是

6、3圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要三個量確定了且0，圓的方程就給定了 這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨(dú)立的條件 確定，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決三、講解范例：例1 寫出下列各圓的方程(1)圓心在原點(diǎn),半徑是3. (2)圓心在(3,4),半徑是(3)經(jīng)過點(diǎn)P(5,1),圓心在點(diǎn)C(8,-3).例2 說出下列圓的圓心坐標(biāo)和半徑(1) (x-3)2+(y+2)2=4.(2) (x+4)2+(y-2)2=7.(3) x2+(y+1)2=16.例3 求以C(1,3)為圓心，并且和直線相切的圓的方程解：已知圓心坐標(biāo)C(1,

7、3)，故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 因為圓C和直線相切，所以半徑就等于圓心C到這條直線的距離 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是 點(diǎn)評： 由本題可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是由圓心坐標(biāo)和半徑兩因素決定的 而且圓的半徑與圓的切線有著非常密切的聯(lián)系，解題要注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì) 解題時畫出草圖可幫助思考例4 已知圓的方程，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程 解：分析(一)：如圖，設(shè)切線的斜率為，半徑OM的斜率為 因為圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，于是 經(jīng)過點(diǎn)M的切線方程是 ，整理得 因為點(diǎn)在圓上，所以，所求切線方程是分析(二)：利用向量。設(shè)P為切線上任意一點(diǎn)，則，所以：，即(x0，y0)(x-

8、x0，y-y0)=0所以圓心在圓點(diǎn)切線方程為：x0x+y0y=r2點(diǎn)評： 用斜率的知識來求切線方程，這就是“代數(shù)方程”：即設(shè)出圓的切線方程，將其代入到圓的方程，得到一個關(guān)于或的一元二次方程，利用判別式進(jìn)行求解，但此法不如用幾何方法簡練實(shí)用，幾何方法就是利用圓心到直線的距離等于半徑(本題利用了圓心到切點(diǎn)的距離為半徑的知識)，由此確定了斜率的，從而得到點(diǎn)斜式的切線方程，以上兩種方法只能求出存在斜率的切線，若斜率不存在，則要結(jié)合圖形配補(bǔ) xOyPBA11P2A2A1A3A4例5 如圖是某圓拱橋的一孔圓拱示意圖.該圓拱跨度AB=20，拱高OP=4，在建造時每隔4需要用一個支柱支撐，求支柱A2P2 的長

9、度（精確到0.01m）.例6 已知圓心在x軸上，且距原點(diǎn)距離3個單位，半徑為5的圓的方程. yO四、課堂練習(xí)：1求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）圓心在上且過兩點(diǎn)（2，0），（0，-4）；（2）圓心在直線上，且與直線切于點(diǎn)（2，-1）.（3）圓心在直線上，且與坐標(biāo)軸相切分析：從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為()，則所求圓的方程為,圓心在上， 又圓過（2，0），（0，-4） 由聯(lián)立方程組，可得所求圓的方程為（2）圓與直線相切，并切于點(diǎn)M（2，-1），則圓心必在過點(diǎn)M（2，-1）且垂直于的直線：上， ，即圓心為C（1，-2），=,所求圓的方程為：（3）設(shè)所求圓的方程為,圓與坐標(biāo)軸相切， 又圓心()在直線上，由，得所求圓的方程為：或2.已知圓求：（1）過點(diǎn)A（4，-3）的切線方程.（2）過點(diǎn)B（-5，2）的切線方程分析：求過一點(diǎn)的切線方程，當(dāng)斜率存在時可設(shè)為點(diǎn)斜式，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在時，結(jié)合圖形驗證；當(dāng)然若過圓上一點(diǎn)的切線方程，可利用公式求得解：（1）點(diǎn)A（4，-3）在圓上過點(diǎn)A的切線方程為：（2）點(diǎn)點(diǎn)B（-5，2）不在圓