秋八級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)提公因式法新版新人教版

1、 新興一中決定購(gòu)買m臺(tái)電腦和m套 桌子,現(xiàn)在知道每臺(tái)電腦的單價(jià)為a元,每 套桌子的單價(jià)為b元,那么怎樣表示該校 購(gòu)買電腦和桌子總共需要的資金呢? 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 新新 知知 一: 購(gòu)買一臺(tái)電腦和一套桌子需(a+b)元, 購(gòu)買m臺(tái)電腦和m套桌子共需m(a+b)元. 二: 購(gòu)買m臺(tái)電腦需ma元,購(gòu)買m套桌子 需mb元,則購(gòu)m臺(tái)電腦和m套桌子共需 (ma+mb)元. 從這兩種方法中,我們發(fā)現(xiàn)了什么? 請(qǐng)把下列多項(xiàng)式寫成整式的積的形式: 一、因式分解 (1)x2+x=; (2)x2-1=. 等式左邊是多項(xiàng)式,右邊都是乘積的形式. 觀察上述兩個(gè)式子和 ma+mb=m(a+b),這些式子的共同特 點(diǎn)是什么?

2、因式分解 :把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè) 整式的積的形式,叫做因式分解,也 叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 正確理解因式分解要注意以下三點(diǎn): (1)因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式,不是單項(xiàng)式,也 不是以后我們要學(xué)習(xí)的分式. (2)因式分解的結(jié)果是整式的乘積的形式. (3)不能走回頭路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本 來已經(jīng)完成了對(duì)x2-1的因式分解,但習(xí)慣性 地按整式乘法算出x2-1的結(jié)果,就畫蛇添 足了. 知識(shí)拓展 下列從左到右的變形中,哪些是分解 因式?哪些不是分解因式?為什么? (1)12ab=3a4b; (2)(x+3)(x-3)=x2-9; (3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1;

3、(4)2ax-2ay=2a(x-y); (5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2. 是 是 (1)分解因式是多項(xiàng)式的恒等變形,也就 是分解因式的結(jié)果的積等于多項(xiàng)式; (2)分解因式的結(jié)果必須是整式的積的 形式,每個(gè)因式必須是整式且每個(gè)因式 的次數(shù)都不高于原來多項(xiàng)式的次數(shù). 因式分解時(shí),左邊必須是多項(xiàng)式,右 邊是幾個(gè)因式的乘積,且又是左、右兩 邊恒等,那么分解因式與整式乘法有什 么關(guān)系? 如果把整式乘法看作一個(gè)變形過程, 那么多項(xiàng)式的分解因式就是整式乘法的 逆過程;如果把多項(xiàng)式的分解因式看作一 個(gè)變形過程,那么整式乘法又是多項(xiàng)式的 分解因式的逆過程.因此,多項(xiàng)式的分解 因式與整式乘法互為逆過程

4、,一方面說明 了兩者之間的密切關(guān)系,另一方面又說明 了兩者的根本區(qū)別. 根據(jù)乘法運(yùn)算的算式, 把下列多項(xiàng)式分解因式: 乘法運(yùn)算分解因式 a(3a-5b)=3a2-5ab 3a2-5ab= (x-3y)(2x+y)=2x2 -5xy-3y2 2x2-5xy-3y2= (x-2y)(x+2y)=x2-4y2x2-4y2= (a-3b)2=a2-6ab+9b2a2-6ab+9b2= ma+mbm(a+b) 如圖,一塊菜園由兩個(gè)長(zhǎng)方形組 成,這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分別是3.8 m, 6.2 m,寬都是3.7 m,如何計(jì)算這塊菜 園的面積呢? 二、提公因式法 3.8 3.7 3.7 6.2 列式: 3.73.8

5、+3.76.2 有簡(jiǎn)便算法嗎? 解:3.73.8+3.76.2 =3.7(3.8+6.2) =3.710=37(m2). 在這一過程中,把3.7換成m, 3.8換成a,6.2換成b,于是有: ma+mb=m(a+b). 利用整式乘法驗(yàn)證: 多項(xiàng)式ma+mb有什么特點(diǎn)？ 各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m,我們把 因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式. 又如 :b是多項(xiàng)式ab-b2各項(xiàng)的公因式; 2xy是多項(xiàng)式4x2y-6xy2z各項(xiàng)的公因式. (1)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù) (當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時(shí)). (2)字母取各項(xiàng)的相同字母,且各字母的指數(shù)取 最低次冪,根據(jù)分配律,可得m(a+b)=ma+mb,

6、逆 變形得到ma+mb的因式分解形式 ma+mb=m(a+b),這說明多項(xiàng)式ma+mb各項(xiàng)都 含有的公因式可提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式 ma+mb寫成m(a+b)的形式,這種分解因式的方 法叫做提公因式法. 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以 把這個(gè)公因式提取出來,將多項(xiàng)式寫成 公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這 種分解因式的方法叫提公因式法. 例1 把8a3b2+12ab3c分解因式. 解析:從數(shù)、字母和字母的 次數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行分析;分解因式完成后要分析公 因式和另一個(gè)因式之間的關(guān)系,并思考:如果提出 公因式4ab,另一個(gè)因式是否還有公因式?從而把提 公因式的“提”的具體含義深刻化,這是提公因式 法

7、的正確性的重要保證. 解解:8a3b2+12ab3c =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc). 例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解. 對(duì)該多項(xiàng)式的每項(xiàng)因式的特點(diǎn) 進(jìn)行仔細(xì)觀察,從而發(fā)現(xiàn)把b+c看作 一個(gè)“整體”時(shí)公因式就是b+c,再 用提公因式法進(jìn)行分解. 解解:2a(b+c) 3(b+c) =(b+c)(2a-3). 例3 計(jì)算:0.8412+120.6-0.4412. 觀察并分析怎樣計(jì)算更簡(jiǎn)單? 1.因式分解 (1)定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整 式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分 解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.等式 特點(diǎn):左邊:多項(xiàng)式;右邊:整式整式,

8、整式 乘整式結(jié)果是多項(xiàng)式,而多項(xiàng)式也可以變 形為相應(yīng)的整式與整式的乘積,我們就把 這種多項(xiàng)式的變形叫做因式分解. 知識(shí)小結(jié) (2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c). (3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc. (4)聯(lián)系:都是由幾個(gè)相同的整式組成的等式. (5)區(qū)別:這幾個(gè)相同的整式所在的位置不 同,式是因式分解,式是整式乘法,兩者是 方向相反的恒等變形,二者是一個(gè)式子的不 同表現(xiàn)形式,一個(gè)是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式,一個(gè) 是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式. 2.公因式 (1)多項(xiàng)式pa+pb+pc中,各項(xiàng)都含 有一個(gè)公共的因式p,因式p叫做這個(gè)多項(xiàng) 式各項(xiàng)的公因式. (2)注意:公

9、因式是每一項(xiàng)都含有的因式, 是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式. (3)公因式的確定方法:各項(xiàng)系數(shù)的最大 公因數(shù)和相同字母的最低次冪的積. 3.提公因式 定義:一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式, 可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式 寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法 叫做提公因式法. 由定義可知,提公因式法的關(guān)鍵是如何正確 地尋找公因式. 1.下列各式由左邊到右邊的變形中,屬于分 解因式的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10 x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x 解析: A.是多項(xiàng)式乘法,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.右 邊不是

10、積的形式,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.提公因式 法,故選項(xiàng)正確;D.右邊不是積的形式,故 選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C. C 檢測(cè)反饋檢測(cè)反饋 B2.設(shè)x2+3x+y=(x+1)(x+2),則y的值為() A.1B.2C.3D.4 解析:(x+1)(x+2)=x2+3x+2, y=2.故選B. 3.觀察下列各式:2a+b和a+b ;5m(a-b)和 -a+b;3(a+b)和-a-b ;x2-y2和x2+y2.其中 有公因式的是 () A.B. C.D. B 解析：和a+b沒有公因式; 5m(a-b)和-a+b=-(a-b)的公因式為 a-b;3(a+b)和-a-b=-(a+b)的公因式 為a+b;x2-y2和x2+y

11、2沒有公因式.故 選B. 4.用提公因式法分解因式. (1)4x2-4xy+8xz; (2)6x4-4x3+2x2; (3)6m2n-15mn2+30m3n; (4)(a+b)-(a+b)2; (5)x(x-y)+y(y-x); (6)(m+n)2-2(m+n). 解析: 此題考查了因式分解 提公 因式法,熟練掌握提公因式的方法是解 本題的關(guān)鍵. 解:(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z). (2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1). (3)6m2n-15mn2+30m2n=3mn(2m-5n+10m2). (4)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(1-a-b).

12、 (5)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2. (6)(m+n)2-2(m+n)=(m+n)(m+n-2). 必做題 教材第115頁練習(xí)第1,2,3題. 選做題 教材第119頁習(xí)題14.3第1題. 布置作業(yè) 因式分解 :把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè) 整式的積的形式,叫做因式分解,也 叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. ma+mbm(a+b) (1)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù) (當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時(shí)). (2)字母取各項(xiàng)的相同字母,且各字母的指數(shù)取 最低次冪,根據(jù)分配律,可得m(a+b)=ma+mb,逆 變形得到ma+mb的因式分解形式 ma+mb=m(a+b),這說明多項(xiàng)式ma+mb各項(xiàng)都 含有的公因式可提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式 ma+mb寫成m(a+b)的形式,這種分解因式的方 法叫做提公因式法. 例1 把8a3b2+12ab3c分解因式. 解析:從數(shù)、字母和字母的 次數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行分析;分解因式完成后要分析公 因式和另一個(gè)因式之間的關(guān)系,并思考:如果提出 公因式4ab,另一個(gè)因式是否還有公因式?從而把提 公因式的“提”的具體含義深刻化,這是提公因式 法的正確性的重要保證. 解解:8a3b2