文科數(shù)學第四章第一節(jié)

1、( (文科文科) ) 第一節(jié)向量與向量的線性運算 第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復 數(shù)的引入數(shù)的引入 ( (文科文科) ) 考考 綱綱 要要 求求 1平面向量的實際背景及基本概念平面向量的實際背景及基本概念 (1)了解向量的實際背景了解向量的實際背景 (2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義 (3)理解向量的幾何表示理解向量的幾何表示 2向量的線性運算向量的線性運算 (1)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義 (2)掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的掌握向量

2、數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的 含義含義 (3)了解向量線性運算的性質及其幾何意義了解向量線性運算的性質及其幾何意義. ( (文科文科) ) 課課 前前 自自 修修 知識梳理知識梳理 一、平面向量的概念一、平面向量的概念 1平面向量平面向量 平面內既有大小又有方向的量叫做向量平面內既有大小又有方向的量叫做向量 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小 ( (文科文科) ) 2零向量零向量 長度為零的向量叫做零向量，記為長度為零的向量叫做零向量，記為0，其方向是任意的，其方向是任意的，0 與任意向量平行零向量與任意向量平行零向量a0|a|0. 由于

3、由于0的方向是任意的，且規(guī)定的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有平行于任何向量，故在有 關向量平行關向量平行(共線共線)的問題中務必看清楚是否有的問題中務必看清楚是否有“非零向量非零向量”這個這個 條件條件(注意注意“0”與與“0”的區(qū)別的區(qū)別) 3單位向量單位向量 模為模為1個單位長度的向量叫做單位向量向量個單位長度的向量叫做單位向量向量a0為單位向量為單位向量 |a0|1. ( (文科文科) ) 4平行向量平行向量(共線向量共線向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作ab.由于由于 向量可以進行任意的平移向量可以進行任意的平移(

4、即自由向量即自由向量)，平行向量總可以平移到，平行向量總可以平移到 同一直線上，故平行向量也稱為共線向量同一直線上，故平行向量也稱為共線向量 數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素， 起點可以任意選取，這里必須區(qū)分清楚共線向量中的起點可以任意選取，這里必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線共線” 與幾何中的與幾何中的“共線共線”的含義，要理解好平行向量中的的含義，要理解好平行向量中的“平行平行” 與幾何中的與幾何中的“平行平行”是不一樣的是不一樣的 5相等向量相等向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量經(jīng)過長度相等且方向相同的向

5、量叫做相等向量相等向量經(jīng)過 平移后總可以重合，記為平移后總可以重合，記為ab. ( (文科文科) ) 2向量的減法向量的減法 (1)相反向量：與相反向量：與a長度相等、方向相反的向量叫做長度相等、方向相反的向量叫做a的相反的相反 向量，記作向量，記作a.零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量 關于相反向量有：關于相反向量有：(a)a；a(a)(a)a0； 若若a，b是互為相反向量，則是互為相反向量，則ab，ba，ab0. (2)向量的減法：向量向量的減法：向量a加上加上b的相反向量叫做的相反向量叫做a與與b的差，記的差，記 作作aba(b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法求兩個向

6、量差的運算叫做向量的減法 (3)作圖法：作圖法：ab可以表示為從可以表示為從b的終點指向的終點指向a的終點的向量的終點的向量 (a，b有共同起點有共同起點) ( (文科文科) ) 3向量加、減法的向量加、減法的“三角形法則三角形法則”與與“平行四邊形法平行四邊形法 則則” (1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和 向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是 另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量 (2)三角形法則的特點是三角形

7、法則的特點是“首尾相接首尾相接”，由第一個向量的起，由第一個向量的起 點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和，點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和， 差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點 當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量 是首尾連接時，用三角形法則是首尾連接時，用三角形法則 ( (文科文科) ) 4實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積 (1)實數(shù)實數(shù)與向量與向量a的積是一個向量，記作的積是一個向量，記作a，它的長度與方，它的長度與方 向規(guī)定如下：向規(guī)定如下： |

8、a|=| |a|； 當當0時，時，a的方向與的方向與a的方向相同；當?shù)姆较蛳嗤划?時，時，a的方向的方向 與與a的方向相反；當?shù)姆较蛳喾?；?時，時，a0，方向是任意的，方向是任意的 (2)數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律 三、兩個向量共線定理三、兩個向量共線定理 向量向量b與非零向量與非零向量a共線共線有且只有一個實數(shù)有且只有一個實數(shù)，使得，使得b a. ( (文科文科) ) 基礎自測基礎自測 1(2012惠州市調研惠州市調研)已知向量已知向量a，b，則，則“ab”是是“ab0” 的的_條件條件() A充分不必要充分不必要 B必要不充分必要不充分 C充要

9、充要 D既不充分也不必要既不充分也不必要 解析：解析： “ab”只要求兩向量共線，而只要求兩向量共線，而“ab0”要求反要求反 向共線且模相等故選向共線且模相等故選B. 答案：答案：B ( (文科文科) ) 3(2011上海市黃浦區(qū)二模上海市黃浦區(qū)二模)已知已知e1，e2是平面上兩個不共線的向是平面上兩個不共線的向 量，向量量，向量a2e1e2，bme13e2，若，若ab，則實數(shù)，則實數(shù) m _. 6 1 2 ( (文科文科) ) 考考 點點 探探 究究 考點一考點一 向量有關概念、結論的正誤判斷向量有關概念、結論的正誤判斷 【例例1】給出下列命題：給出下列命題： 若若|a|b|，則，則ab；

10、若；若A，B，C，D是不共線的四點，是不共線的四點， 則則 是四邊形是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若為平行四邊形的充要條件；若ab， bc，則，則ac；ab的充要條件是的充要條件是|a|b|且且ab；若；若ab， bc，則，則ac.其中正確的序號是其中正確的序號是_ ( (文科文科) ) 點評：本例主要復習向量的基本概念向量的基本概念點評：本例主要復習向量的基本概念向量的基本概念 較多，因而容易遺忘為此，復習時一方面要構建良好的知較多，因而容易遺忘為此，復習時一方面要構建良好的知 識結構，正確理解向量的有關概念另一方面要善于與物理識結構，正確理解向量的有關概念另一方面要善于與物理 中

11、、生活中的模型進行類比和聯(lián)想中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想 ( (文科文科) ) 變式探究變式探究 1給出下列命題：時間、速度、加速度都是向量；向量的給出下列命題：時間、速度、加速度都是向量；向量的 模是一個正實數(shù)；所有的單位向量都相等；共線向量一模是一個正實數(shù)；所有的單位向量都相等；共線向量一 定在同一直線上其中真命題的個數(shù)為定在同一直線上其中真命題的個數(shù)為() A0 B1 C2 D3 解析：由向量、向量的模、共線向量的含義知中時間不解析：由向量、向量的模、共線向量的含義知中時間不 是向量；中?？蔀榱悖恢袉挝幌蛄糠较虿煌瑒t不等；是向量；中?？蔀榱悖恢袉挝幌蛄糠较虿煌瑒t不等； 中共線向量可以平

12、行，不一定在同一直線上故中共線向量可以平行，不一定在同一直線上故 均不對故選均不對故選A. 答案：答案：A ( (文科文科) ) 考點二考點二 平面向量的線性運算平面向量的線性運算 ( (文科文科) ) 點評：在進行向量線性運算時要盡可能轉化到平行四邊形點評：在進行向量線性運算時要盡可能轉化到平行四邊形 或三角形中，根據(jù)向量的幾何加減法則即平行四邊形法則和三或三角形中，根據(jù)向量的幾何加減法則即平行四邊形法則和三 角形法則，能對圖形中的向量進行互相表示，把未知向量轉化角形法則，能對圖形中的向量進行互相表示，把未知向量轉化 為與已知向量有直接關系的向量來求解為與已知向量有直接關系的向量來求解 (

13、(文科文科) ) 變式探究變式探究 ( (文科文科) ) ( (文科文科) ) 考點三考點三 平面圖形中的向量問題平面圖形中的向量問題 ( (文科文科) ) 點評：向量的加法可以用幾何法進行正確理解向量的各點評：向量的加法可以用幾何法進行正確理解向量的各 種運算的幾何意義，能進一步加深對種運算的幾何意義，能進一步加深對“向量向量”的認識，并能體會的認識，并能體會 用向量處理問題的優(yōu)越性用向量處理問題的優(yōu)越性 ( (文科文科) ) 變式探究變式探究 ( (文科文科) ) 考點四考點四 共線向量定理的應用共線向量定理的應用 ( (文科文科) ) 變式探究變式探究 ( (文科文科) ) 課時升華課時

14、升華 1向量具有大小和方向兩個要素用有向線段表示向量時，向量具有大小和方向兩個要素用有向線段表示向量時， 與有向線段起點的位置沒有關系同向且等長的有向線段都表與有向線段起點的位置沒有關系同向且等長的有向線段都表 示同一向量示同一向量 2用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和 向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是 另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量 3三角形法則的特點是三角形法則的特點是“首尾相接首尾相接”，由第一個向量的

15、起，由第一個向量的起 點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和，點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和， 差向量是兩個向量始點重合時，從減向量的終點指向被減向量差向量是兩個向量始點重合時，從減向量的終點指向被減向量 的終點的終點 ( (文科文科) ) 4對于兩個向量平行的充要條件：對于兩個向量平行的充要條件： abab，只有，只有b0時才是正確的而當時才是正確的而當b0時，時，ab 是是ab的必要不充分條件的必要不充分條件 5特別注意：特別注意： (1)向量的加法與減法是互逆運算向量的加法與減法是互逆運算 (2)相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必 要條件要條件 (3)向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包